Bishop–Gromovの体積比較定理

要点：(1) と rem-bg-cut-facts の (b) から両方の包含が出る。

要点：平行な正規直交枠で Jacobi 方程式を成分に書くと 1 になり、$p$ で消える Jacobi 場が指数写像の微分を表すことから 2・3 が出る。

要点：正値性は $\mathcal A(t)/t\to I$ と連続性から、体積の式は切断跡が測度 $0$ であることと、$\exp_p|_{\mathrm{ID}(p)}$ による変数変換と極座標から得られる。

要点：定曲率では $\mathcal A=s_\kappa I$ である。$\exp_p$ が $B_{T_\kappa}(0)$ の上で単射であることから切断時刻が $T_\kappa$ 以上になり、$\kappa>0$ では Bonnet–Myers の補題から $T_\kappa$ 以下になる。あとは prop-bg-polar に代入する。

対数微分の対称性。 $W:=(\mathcal A')^{\mathsf T}\mathcal A-\mathcal A^{\mathsf T}\mathcal A'$ とおくと、lem-bg-jacobi-matrix の 1 と $\mathcal R^{\mathsf T}=\mathcal R$ から
$$ W'=(\mathcal A'')^{\mathsf T}\mathcal A-\mathcal A^{\mathsf T}\mathcal A''=-\mathcal A^{\mathsf T}\mathcal R\mathcal A+\mathcal A^{\mathsf T}\mathcal R\mathcal A=0 $$
であり、$W(0)=0$ なので $W\equiv0$ である。$(0,T)$ で $U:=\mathcal A'\mathcal A^{-1}$ とおくと、$U^{\mathsf T}=(\mathcal A^{\mathsf T})^{-1}(\mathcal A')^{\mathsf T}\mathcal A\,\mathcal A^{-1}=(\mathcal A^{\mathsf T})^{-1}\mathcal A^{\mathsf T}\mathcal A'\mathcal A^{-1}=U$ なので $U$ は対称である。
Riccati 方程式。 $(\mathcal A^{-1})'=-\mathcal A^{-1}\mathcal A'\mathcal A^{-1}$ から
$$ U'=\mathcal A''\mathcal A^{-1}-\mathcal A'\mathcal A^{-1}\mathcal A'\mathcal A^{-1}=-\mathcal R-U^2 $$
である。$m:=\operatorname{tr}U$ とおくと、行列式の微分の公式 $(\det\mathcal A)'=\det\mathcal A\cdot\operatorname{tr}(\mathcal A'\mathcal A^{-1})$ により $m=(\log\det\mathcal A)'$ であり、跡をとって
$$ m'=-\mathrm{Ric}(\dot\gamma,\dot\gamma)-\operatorname{tr}(U^2) $$
を得る。$U$ は実対称なので固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}$ は実数で、Cauchy–Schwarzの不等式 により $\operatorname{tr}(U^2)=\sum_i\lambda_i^2\ge\frac1{n-1}\bigl(\sum_i\lambda_i\bigr)^2=\frac{m^2}{n-1}$ である（$n-1\ge1$ を使う）。よって
$$ m'\le-(n-1)\kappa-\frac{m^2}{n-1}\quad(0< t< T)\qquad\text{(2)} $$
比較の相手。 $m_\kappa:=(n-1)s_\kappa'/s_\kappa$ は $(0,T)$ で定義され（$T\le T_\kappa$ なので $s_\kappa>0$）、$s_\kappa''=-\kappa s_\kappa$ から
$$ m_\kappa'=(n-1)\frac{s_\kappa''s_\kappa-(s_\kappa')^2}{s_\kappa^2}=-(n-1)\kappa-\frac{m_\kappa^2}{n-1} $$
を満たす。これは空間形での (2) の等号の場合である。
比較。 $\psi:=m-m_\kappa$ とおくと、(2) から引き算して
$$ \psi'\le-\frac{m^2-m_\kappa^2}{n-1}=-\frac{m+m_\kappa}{n-1}\,\psi $$
である。$h:=(\det\mathcal A)^{1/(n-1)}s_\kappa>0$ とおくと $h'/h=(m+m_\kappa)/(n-1)$ なので
$$ (h\psi)'=h\Bigl(\frac{m+m_\kappa}{n-1}\psi+\psi'\Bigr)\le0 $$
であり、$h\psi$ は $(0,T)$ で単調非増加である。$t\to0$ での振る舞いを見る。$\mathcal A''(0)=-\mathcal R(0)\mathcal A(0)=0$ なので Taylor の定理により $\mathcal A(t)=t\bigl(I+O(t^2)\bigr)$、$\mathcal A'(t)=I+O(t^2)$ であり、$U=t^{-1}I+O(t)$、$m=\frac{n-1}t+O(t)$ である。同様に $s_\kappa(t)=t+O(t^3)$、$s_\kappa'(t)=1+O(t^2)$ から $m_\kappa=\frac{n-1}t+O(t)$ である。よって $\psi=O(t)$、$h=O(t^2)$ で、$h\psi\to0$ である。単調非増加で極限が $0$ なので $h\psi\le0$、したがって $(0,T)$ で $\psi\le0$ である。
結論。 $\bigl(\log(\det\mathcal A/s_\kappa^{n-1})\bigr)'=m-m_\kappa=\psi\le0$ なので、比は単調非増加である。また $\det\mathcal A(t)=t^{n-1}(1+O(t^2))$、$s_\kappa(t)^{n-1}=t^{n-1}(1+O(t^2))$ から、比は $t\to0$ で $1$ に収束する。$\square$

要点：$s\le r\le t$ で $F(s)G(t)\ge F(t)G(s)$ を $s\in(0,r)$、$t\in(r,r')$ について積分する。

準備。 $\theta\in U_p$ と $t>0$ について、$t< c(\theta)$ なら $f(t,\theta):=\det\mathcal A_\theta(t)$、$t\ge c(\theta)$ なら $f(t,\theta):=0$ とおく。$\kappa>0$ なら、仮定 $\mathrm{Ric}\ge(n-1)\kappa\,g$ と Bonnet–Myersの定理 の補題「長い測地線は最短でない」（$a=1/\sqrt\kappa$、$n\ge2$）により、長さが $\pi/\sqrt\kappa$ を超える測地線は最短でないので、$c(\theta)\le T_\kappa$ である。$\kappa\le0$ なら $T_\kappa=\infty$ なので、どの場合も $c(\theta)\le T_\kappa$ である。
各方向の単調性。 $\theta$ を固定する。prop-bg-polar により $(0,c(\theta))$ で $\det\mathcal A_\theta>0$ であり、$c(\theta)\le T_\kappa$ なので lem-bg-riccati を $T=c(\theta)$ で当てられる。よって $q_\theta(t):=f(t,\theta)/s_\kappa(t)^{n-1}$ は $(0,c(\theta))$ で正で単調非増加であり、$[c(\theta),T_\kappa)$ では $0$ である。したがって $q_\theta$ は $(0,T_\kappa)$ 全体で単調非増加である。
積分の比。 $F(t):=\int_{U_p}f(t,\theta)\,d\sigma(\theta)$、$G(t):=\omega_{n-1}\bar s_\kappa(t)^{n-1}$ とおく。prop-bg-polar と Tonelli の定理、lem-bg-model により
$$ \operatorname{Vol}B(p,r)=\int_0^rF(t)\,dt,\qquad V_\kappa(r)=\int_0^rG(t)\,dt $$
である。$(0,T_\kappa)$ で $F/G=\omega_{n-1}^{-1}\int_{U_p}q_\theta\,d\sigma$ は単調非増加である。$M$ は完備なので、Hopf–Rinowの定理 により $B(p,r)$ の閉包はコンパクトで、$\operatorname{Vol}B(p,r)< \infty$ である。lem-bg-ratio により、$\Phi(r):=\operatorname{Vol}B(p,r)/V_\kappa(r)$ は $(0,T_\kappa)$ で単調非増加である。$\kappa>0$ のときは、$t\ge T_\kappa$ で $F(t)=G(t)=0$ なので、$r\ge T_\kappa$ では分子・分母とも $r=T_\kappa$ での値に等しい。分子と分母は $r$ の連続関数なので、$\Phi$ は $(0,\infty)$ 全体で単調非増加である。
$r\to0$ の極限。 rem-bg-cut-facts の (a) により $c$ はコンパクトな $U_p$ の上の正の値の連続関数なので、$c_0:=\min_\theta c(\theta)>0$ である。$J(v):=|\det d(\exp_p)_v|$（正規直交基底に関する行列式）は $v\in T_pM$ の連続関数で $J(0)=1$ であり、lem-bg-jacobi-matrix の 3 により $0< t< c_0$ で $f(t,\theta)/t^{n-1}=J(t\theta)$ である。よって $f(t,\theta)/t^{n-1}\to1$ が $\theta$ について一様に成り立ち、$s_\kappa(t)/t\to1$ と合わせて $F(t)/G(t)\to1$（$t\to0$）である。$\varepsilon>0$ に対し、$\delta>0$ を $0< t< \delta$ で $(1-\varepsilon)G\le F\le(1+\varepsilon)G$ となるようにとれば、$0< r< \delta$ で $1-\varepsilon\le\Phi(r)\le1+\varepsilon$ である。
最後に、単調非増加で $r\to0$ の極限が $1$ なので、すべての $r>0$ で $\Phi(r)\le1$ である。$\square$

要点：1 は $V_0(r)=\omega_{n-1}r^n/n$ と相対体積比較、2 は Bonnet–Myers の定理の直径の評価で $B(p,r)=M$（$r>\pi a$）となることによる。