Stickelbergerの定理

前提知識: 円分体, イデアル類群, Gauss和, 分解群と惰性群

Stickelbergerの定理（Stickelberger's theorem）とは、円分体 $K=\mathbb Q(\zeta_m)$ の Galois 群 $G$ の群環 $\mathbb Z[G]$ の中に、$K$ のイデアル類群を消す元をはっきり書き下す定理である。鍵になるのは Stickelberger 元
$$ \theta=\frac1m\sum_{\substack{0< a< m\\ (a,m)=1}}a\,\sigma_a^{-1}\in\mathbb Q[G] $$
で、$\beta\theta$ が整数係数になる $\beta\in\mathbb Z[G]$ をとると、$\beta\theta$ はすべてのイデアル類を単位元に移す。$\theta$ の係数 $a/m$ は、有限体上の Gauss和 の素イデアル分解に現れる指数そのものである。Gauss 和は数だから、それが生成するイデアルは単項であり、分解の式がそのまま類群の関係式になる。
類群は一般には計算しにくいが、Stickelberger の定理は $\mathbb Z[G]$ の具体的な元で類群に制約をかける。$m=p$ が素数のとき、この制約を $\mathbb Z_p[G]$ の固有空間に分けると Bernoulli数 が現れ、$\mathbb Q(\zeta_p)$ の類群の成分と Bernoulli 数の割り切れ方を結ぶ Herbrand–Ribetの定理 の片方の向きになる。
この記事では、(1) 有限体上の Gauss 和の基本性質、(2) Gauss 和の素イデアル分解 $(g(\chi_P)^m)=P^{m\theta}$、(3) Stickelberger イデアルが $\mathbb Q(\zeta_m)$ の類群を消すこと、を完全に証明する。$\mathbb Q(\zeta_p)$ の場合は Kummer が、一般の場合は Stickelberger が証明した（Was82 第 6 章の注、p. 111）。代数体の判別式の符号についての Stickelbergerの判別式定理 とは別の定理である。

定義

$m\ge3$ を整数、$\zeta_m=e^{2\pi i/m}$、$K:=\mathbb Q(\zeta_m)$ とし、$G:=\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)$ とする。$m$ と互いに素な整数 $a$ について $\sigma_a\in G$ を $\sigma_a(\zeta_m)=\zeta_m^a$ で定める。$a\mapsto\sigma_a$ は同型 $(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times\cong G$ を与える（円分体）。実数 $x$ の小数部分を $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$ と書く。

$\mathbb Z[G]$ は $K$ の分数イデアルの群に $\mathfrak A^{\beta}:=\prod_{\sigma}\sigma(\mathfrak A)^{n_\sigma}$（$\beta=\sum_\sigma n_\sigma\sigma$）で作用し（群環）、単項イデアルを単項イデアルに移すので、イデアル類群 $\operatorname{Cl}(K)$ にも作用する。$G$ は可換なので $(\mathfrak A^{\beta})^{\gamma}=\mathfrak A^{\beta\gamma}$ である。

$\{a/m\}+\{-a/m\}=1$（$m\nmid a$）なので
$$ (1+\sigma_{-1})\,\theta=\sum_{a}\sigma_a^{-1}=:N_G $$
である。$N_G$ はイデアルをそのノルムの生成する単項イデアルに移すので類群では自明に働く。したがって Stickelberger 元の情報は、複素共役が $-1$ で働く部分（相対類群の側）に集まっている（Was82 §6.2 の例 (a)、p. 94）。

これは Was82 Lemma 6.9（p. 94）、Lan90 Chapter 1 §2 の Lemma 2（p. 11）である。$K$ を $\mathbb Q(\zeta_m)$ の真の部分体に替えると 2 は成り立たない（下の反例の表）。

有限体上の Gauss 和

$p$ を素数、$F$ を $q=p^f$ 元の有限体、$\operatorname{Tr}:F\to\mathbb F_p$ を跡写像 $x\mapsto x+x^p+\dots+x^{p^{f-1}}$ とし、$\psi(x):=\zeta_p^{\operatorname{Tr}(x)}$ とおく（$\zeta_p^t$ は $t\in\mathbb F_p$ の代表元によらない）。$F^\times$ から $\mathbb C^\times$ への準同型を 乗法的指標 といい、$\chi(0):=0$ と延ばす（自明な指標 $\mathbf 1$ も $\mathbf 1(0)=0$ とする）。$F^\times$ は位数 $q-1$ の巡回群なので、指標の値は $1$ の $q-1$ 乗根である。

$q=p$ のとき、これは Gauss和 の定義「Gauss和」の $g(\chi)$ と同じである。Was82（§6.1、p. 88）は全体に符号 $-1$ を付けて定義するが、この記事の議論は生成するイデアルだけを使うので符号は影響しない。

1〜5 は Was82 Lemma 6.1・6.2・Corollary 6.3・Lemma 6.4・6.5（pp. 88–90）と Lan90 Chapter 1 §1（pp. 1–6）にある。

Gauss 和の素イデアル分解

素イデアルに付随する指標

$P$ を $\mathcal O_K$ の素イデアルで $m\notin P$ となるものとし、$p$ を $P$ の下の素数、$q:=\lvert\mathcal O_K/P\rvert$ とする。円分体 の定理「円分体における素数の分解」により、$p\nmid m$ で $q=p^f$（$f$ は $p$ の法 $m$ での位数）であり、特に $m\mid q-1$ である。
$\prod_{j=1}^{m-1}(X-\zeta_m^j)=1+X+\dots+X^{m-1}$ に $X=1$ を代入すると $\prod_{j=1}^{m-1}(1-\zeta_m^j)=m\notin P$ なので、$1$ の $m$ 乗根は法 $P$ で相異なる。$x\in(\mathcal O_K/P)^\times$ について $x^{(q-1)/m}$ は $X^m=1$ の根で、この方程式の根は $1$ の $m$ 乗根の剰余で尽くされる。

位数がちょうど $m$ なのは、$(\mathcal O_K/P)^\times$ が位数 $q-1$ の巡回群で、$x\mapsto x^{(q-1)/m}$ の像が $m$ 個の元からなるからである。

付値の計算

以下の補題では、$q=p^f\ge3$ を素数冪とし、$E:=\mathbb Q(\zeta_{q-1})$、$E':=E(\zeta_p)=\mathbb Q(\zeta_{p(q-1)})$、$\mathfrak p$ を $p$ の上の $E$ の素イデアル、$\mathfrak P$ を $\mathfrak p$ の上の $E'$ の素イデアル、$v:=v_{\mathfrak P}$ とする。円分体 の定理「円分体における素数の分解」を $n=q-1$ と $n=p(q-1)$ に使うと、$\mathcal O_E/\mathfrak p$ は $q$ 元体で、$p$ は $E$ で不分岐、$E'$ では分岐指数 $p-1$ をもつ。したがって $v(p)=p-1$ で、$E^\times$ の上の $v$ の値はすべて $p-1$ の倍数である（代数体における素イデアルの分解 の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」）。円分体 の命題「素数冪の円分体」の 2 により $p$ は $(1-\zeta_p)^{p-1}$ の単元倍なので、$v(\zeta_p-1)=1$ である。
$1$ の $q-1$ 乗根は（上と同じ理由で）法 $\mathfrak p$ で相異なり、$q-1$ 個あるので、$(\mathcal O_E/\mathfrak p)^\times$ と一対一に対応する。$\omega(x)\equiv x\pmod{\mathfrak p}$ で定まる指標 $\omega:(\mathcal O_E/\mathfrak p)^\times\to\mu_{q-1}$ を Teichmüller 指標 という。

この補題は Was82 Lemma 6.11・6.12・Proposition 6.13・Lemma 6.14（pp. 96–98）と Lan90 Chapter 1 §2 の Theorem 2.1 と Lemma 1（pp. 7–10）にあたる。

分解定理

これは Was82（pp. 97–99、$(g(\chi)^m)=\mathfrak p^{m\theta}$ の式）と Lan90 Chapter 1 §2 の Theorem 2.2（p. 10）にあたる。$m$ 乗をとるのは、$g(\chi_P)$ 自身は一般には $K$ に入らず（下の ex-stk-cubic）、分解の指数 $a/m$ も整数でないからである。

Stickelberger の定理

この証明は Lan90 Chapter 1 §2 の Theorem 2.3・2.4（pp. 12–13）と同じ筋道である。Was82 Theorem 6.10（p. 94、証明 pp. 96–100）は、$\mathbb Q(\zeta_m)$ の部分体 $M$ についても同じ主張を証明している：$m$ を $M\subset\mathbb Q(\zeta_m)$ となる最小の整数とし、$\theta(M):=\sum_{a}\{a/m\}\sigma_a^{-1}|_M\in\mathbb Q[\operatorname{Gal}(M/\mathbb Q)]$ とおくと、$\mathbb Z[\operatorname{Gal}(M/\mathbb Q)]\theta(M)\cap\mathbb Z[\operatorname{Gal}(M/\mathbb Q)]$ は $M$ の類群を消す。この記事では部分体の場合を証明しない。

例

この例は、$p\equiv1\pmod3$ の素数が $\mathbb Z[\rho]$ で具体的な元 $J(\chi,\chi)$ によって分解することを示している（$7=(2+3\rho)(2+3\rho^2)$）。$m=4$ でも同様に、$p\equiv1\pmod4$ の素数を Jacobi 和が $\mathbb Z[i]$ で分解し、Gauss和 の系「2つの平方数の和」になる。
$m=p$ が奇素数のとき、thm-stk-main を $\mathbb Z_p[G]$ の固有空間に分けると、指標 $\omega^i$（$\omega$ は $\mathbb F_p^\times$ の Teichmüller 指標）の成分に $\sum_a a\,\omega^{-i}(a)/p$、すなわち一般化 Bernoulli 数 $B_{1,\omega^{-i}}$ が掛かる（Was82 §6.3、p. 101）。これが Herbrand–Ribetの定理 の Herbrand の向きの証明である。$p=37$ では $B_{1,\omega^{-5}}$ が $37$ で割り切れ、$\omega^5$ の成分だけが類群に残りうる。また $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ では、$\mathbb Z[G]$ の $-1$ 固有部分 $R^-$ と Stickelberger イデアルの $-1$ 固有部分 $I^-$ の指数が相対類数に等しい（Was82 Theorem 6.19、p. 103。岩澤による。この記事では証明しない）。剰余 $R^-/I^-$ の位数が相対類群の位数と同じになるが、両者が加群として同型かどうかは一般には知られていない（Vandiver予想 を仮定すると $p$ 部分が同型になる。Was82 Theorem 10.14、p. 195）。

反例と注意

注意を 2 つ挙げる。

• Gauss 和の合同式．lem-stk-digits の $s(1)=1$ の計算を精密にすると、$g(\omega^{-a})$ の法 $(\zeta_p-1)^{s(a)+1}$ での値が桁の階乗で表される（Was82 p. 97 の注意。この記事では証明しない）。これは $p$ 進ガンマ関数による Gross–Koblitz の公式につながる（同 第 6 章の注、p. 111）。
• $p$ 進 $L$ 関数との関係．$\mathbb Q(\zeta_{p^{n+1}})$ の Stickelberger 元を $n$ について並べると、岩澤による $p$ 進 $L$ 関数の構成が得られる（Was82 §7.2、第 6 章の序文 p. 87。岩澤理論）。

関連項目

• 前提: 円分体, イデアル類群, Gauss和, 分解群と惰性群, 群環
• 比較: 一般化Bernoulli数, Stickelbergerの判別式定理
• 直後に読む: Herbrand–Ribetの定理
• 発展: Vandiver予想, 岩澤理論, 正則素数