基本局所同型
概要
基本局所同型（fundamental local isomorphism）とは、スキーム $X$ の閉部分スキーム $Y$ が局所的に長さ $n$ の正則列で切り出されるとき、任意の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について成り立つ自然な同型 $\mathcal{E}xt^n(\mathcal O_Y,\mathcal F)\cong\mathcal F|_Y\otimes\omega_{Y/X}$ のことである。ここで $\omega_{Y/X}$ は余法層の最高外冪の双対（法束の行列式）で、Koszul 複体による局所的な同一視が方程式の取り替えで行列式だけずれるのを打ち消して貼り合わせる。最高次数以外の Ext 層が消えることは茎の Tor の消滅と同値で、$\mathcal F$ が平坦なら成り立つ。
スキーム $X$ の閉部分スキーム $Y$ が、局所的に $n$ 個の「互いに独立な」方程式（正則列）で切り出されているとする。このとき $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ に対する Ext層 $\mathcal{E}xt^j_{\mathcal O_X}(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ は、局所的には Koszul 複体で計算でき、最高次数 $j=n$ では $\mathcal F$ を $Y$ に制限したもの $\mathcal F/\mathcal J\mathcal F$ になる。ただし、この局所的な同一視は方程式の選び方に依存し、選び方を変えると係数行列の行列式だけずれる。そのずれをちょうど打ち消すのが、余法層の最高外冪（法束の行列式）$\omega_{Y/X}$ である。こうして得られる大域的な同型
$$
\mathcal{E}xt^n_{\mathcal O_X}(\mathcal O_Y,\mathcal F)\cong\mathcal F|_Y\otimes_{\mathcal O_Y}\omega_{Y/X}
$$
を基本局所同型という。
基本局所同型は、双対化層 の記事の定理「局所完全交叉の双対化層」のように、局所完全交叉の双対化層を周りの空間の双対化層と法束で表す計算の土台であり、Grothendieck双対性 の構成で、有限射の双対と射影空間の射の双対という 2 つの手続きを結びつける鍵にもなる（Har66 III §7 の冒頭、p. 176）。この記事では、任意の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について基本局所同型を証明し、さらに最高次数以外の Ext 層が消えるための条件を、Koszul 複体の自己双対性によって Tor の消滅で言い表す。
設定と定義
$X$ をスキーム、$i\colon Y\to X$ を閉埋め込み、$\mathcal J\subset\mathcal O_X$ をそのイデアル層とし、$n\ge0$ を整数とする。環 $A$ の元の列 $f_1,\dots,f_n$ は、各 $f_k$ が $A/(f_1,\dots,f_{k-1})$ の非零因子であるとき $A$ 正則であるという（最後の商が $0$ でないことは要求しない）。
$i$ が余次元 $n$ の正則閉埋め込みであるとは、$Y$ の各点が $X$ のアフィン開近傍 $U=\operatorname{Spec}A$ で、$\mathcal J(U)$ が $A$ 正則な列 $f_1,\dots,f_n$ で生成されるものをもつことをいう。このような $(U;f_1,\dots,f_n)$ を局所方程式と呼ぶ。
$X$ が局所Noetherスキームなら、これは 正則埋め込み の定義「正則埋め込み」で $Y$ のすべての点で余次元 $n$ であることと同値である。実際、局所方程式があれば $A$ 正則な列は局所化しても各段で非零因子のままであり（局所化は平坦）、逆向きは 正則埋め込み の命題「正則な点は開集合をなす」による。
局所方程式 $(U;f_1,\dots,f_n)$ の上で、正則埋め込み の補題「正則列の余法加群」により、余法層 $\mathcal J/\mathcal J^2$ は $\bar f_1,\dots,\bar f_n$ を基底とする自由 $\mathcal O_Y$ 加群である（余法層）。よって $\bigwedge^n(\mathcal J/\mathcal J^2)$ は $\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n$ を基底とする可逆層である。
$\omega_{Y/X}:=\mathcal{H}om_{\mathcal O_Y}\bigl(\textstyle\bigwedge^n(\mathcal J/\mathcal J^2),\mathcal O_Y\bigr)$ とおく。これは法層 $\mathcal N_{Y/X}=(\mathcal J/\mathcal J^2)^\vee$ の最高外冪 $\det\mathcal N_{Y/X}$ と同型な可逆 $\mathcal O_Y$ 加群である。局所方程式の上では、$\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n$ を $1$ に送る元 $(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*$ が $\omega_{Y/X}$ の基底になる。
$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ に対し、$\mathcal F|_Y:=i^*\mathcal F$ は $\mathcal F/\mathcal J\mathcal F$ を $Y$ 上の層とみたものである。$\mathcal{E}xt^j_{\mathcal O_X}(i_*\mathcal O_Y,\mathcal F)$ は $\mathcal J$ で消される（$f\in\mathcal J$ の掛け算は $i_*\mathcal O_Y$ 上で $0$ なので、Ext 層の第 1 変数の関手性により $0$ を誘導する）ので、$Y$ 上の $\mathcal O_Y$ 加群とみなせる。以下では $i_*$ を省いて $\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ と書く。
Koszul 複体による局所計算
局所方程式 $(U;f)$、$f=(f_1,\dots,f_n)$ をとる。$\mathcal E:=\mathcal O_U^n$（基底 $e_1,\dots,e_n$）とし、Koszul複体の定義「Koszul複体」と同じ符号で $K_p(f):=\bigwedge^p\mathcal E$、
$$
d(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p})=\sum_{k=1}^p(-1)^{k-1}f_{i_k}\,e_{i_1}\wedge\cdots\widehat{e_{i_k}}\cdots\wedge e_{i_p}
$$
とおく。$f$ は $A$ 正則なので、Koszul複体の定理「正則列のKoszulホモロジー」により $K_\bullet(f)\to\mathcal O_{Y}|_U$ は有限階数の自由 $\mathcal O_U$ 加群による分解である（準連接層の完全性は大域切断の完全性から従う）。Ext層の定理「局所自由分解による Ext 層の計算」により、$U$ の上で
$$
\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,\mathcal F)\cong h^j\bigl(\mathcal{H}om(K_\bullet(f),\mathcal F)\bigr)
$$
である。右辺の複体の次数 $p$ の項は $\mathcal{H}om(\bigwedge^p\mathcal E,\mathcal F)$ で、微分は $\alpha\mapsto\alpha\circ d$ である。$p>n$ では $K_p(f)=0$ なので、$j>n$ で $\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,\mathcal F)=0$ である。
最高次数では、$\alpha\in\mathcal{H}om(K_{n-1}(f),\mathcal F)$ について $(\alpha\circ d)(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)=\sum_k(-1)^{k-1}f_k\,\alpha(e_1\wedge\cdots\widehat{e_k}\cdots\wedge e_n)$ であり、$\alpha$ の値は自由にとれるので、$\mathcal{H}om(K_n(f),\mathcal F)\cong\mathcal F$（$\beta\mapsto\beta(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)$）の中での像は $\mathcal J\mathcal F$ である。よって
$$
\varphi_f\colon\mathcal{E}xt^n(\mathcal O_Y,\mathcal F)|_U\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal F/\mathcal J\mathcal F,\qquad[\beta]\mapsto\beta(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)\bmod\mathcal J\mathcal F
$$
という同型を得る。$\varphi_f$ は $\mathcal F$ について自然である。
方程式の取り替え
$U=\operatorname{Spec}A$ の上で $f=(f_1,\dots,f_n)$ と $g=(g_1,\dots,g_n)$ がともに $\mathcal J(U)$ を生成する $A$ 正則な列であり、$g_i=\sum_jc_{ij}f_j$（$C=(c_{ij})\in M_n(A)$）とする。このとき $\bar C$ を $C$ の $A/\mathcal J(U)$ への像として、$\det\bar C$ は $A/\mathcal J(U)$ の単元であり、
$$
\varphi_g=\det(\bar C)\cdot\varphi_f,\qquad (\bar g_1\wedge\cdots\wedge\bar g_n)^*=\det(\bar C)^{-1}\,(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*
$$
が成り立つ。
$K_\bullet(g)$ の基底を $e'_1,\dots,e'_n$ とし、$\lambda(e'_i):=\sum_jc_{ij}e_j$ の外冪 $\lambda=\bigwedge^\bullet C\colon K_\bullet(g)\to K_\bullet(f)$ を考える。Koszul 複体の微分は外積代数の次数付き微分（$d(x\wedge y)=dx\wedge y+(-1)^{p}x\wedge dy$、$x$ は次数 $p$）であり、$\lambda$ は外積代数の準同型で、生成元の上で $d\lambda(e'_i)=\sum_jc_{ij}f_j=g_i=\lambda(de'_i)$ が成り立つ。両辺とも次数付き微分の性質で積に広がるので $d\lambda=\lambda d$ であり、$\lambda$ は次数 $0$ で恒等写像の鎖写像、すなわち $\mathcal O_Y|_U$ の 2 つの分解の比較写像である。次数 $n$ では $\lambda(e'_1\wedge\cdots\wedge e'_n)=\det(C)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n$ である。
比較写像による引き戻し $\lambda^*$ は、2 つの分解による $\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ の表示を互いに移す。
理由を開く
$L$ を有限階数の自由加群による分解とすると、$\mathcal{H}om(L_p,-)$ は完全関手なので、$\mathcal F\mapsto h^j(\mathcal{H}om(L,\mathcal F))$ は $\mathcal F$ の短完全列に長完全列を対応させる $\delta$ 関手である。$\mathcal F$ が入射的 $\mathcal O_U$ 加群なら $\mathcal{H}om(-,\mathcal F)$ が完全なので $j>0$ で $0$ になり、この $\delta$ 関手は普遍的である。Ext層 の定理「局所自由分解による Ext 層の計算」の同型は、次数 $0$ で $\mathcal{H}om(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ の恒等写像になる $\delta$ 関手の同型であり、$\lambda^*$ も次数 $0$ で恒等写像になる $\delta$ 関手の射である。普遍 $\delta$ 関手の間の射は次数 $0$ で決まるので、$\lambda^*$ は 2 つの同型と両立する（入射層を開集合に制限しても入射的であることは Ext層 の補題「入射層の制限」による）。
よって $\xi\in\mathcal{E}xt^n(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ が $\beta\in\mathcal{H}om(K_n(f),\mathcal F)$ で表されるとき、$K_\bullet(g)$ による表示では $\beta\circ\lambda$ で表され、
$$ \varphi_g(\xi)=\beta\bigl(\lambda(e'_1\wedge\cdots\wedge e'_n)\bigr)=\det(C)\,\beta(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)=\det(\bar C)\,\varphi_f(\xi) $$
となる（$\mathcal F/\mathcal J\mathcal F$ の上では $\det C$ は $\det\bar C$ として作用する）。一方 $\bar g_i=\sum_j\bar c_{ij}\bar f_j$ なので $\bar g_1\wedge\cdots\wedge\bar g_n=\det(\bar C)\,\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n$ である。両辺とも可逆層 $\bigwedge^n(\mathcal J/\mathcal J^2)$ の基底なので $\det\bar C$ は単元であり、双対基底について第 2 式が成り立つ。$\square$
主定理：基本局所同型
$i\colon Y\to X$ を余次元 $n$ の正則閉埋め込みとする。任意の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について、$\mathcal F$ について自然な $\mathcal O_Y$ 加群の同型
$$
\psi\colon\mathcal{E}xt^n_{\mathcal O_X}(\mathcal O_Y,\mathcal F)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal F|_Y\otimes_{\mathcal O_Y}\omega_{Y/X}
$$
で、各局所方程式 $(U;f)$ の上で $\psi(\xi)=\varphi_f(\xi)\otimes(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*$ となるものがただ 1 つ存在する。また $j>n$ で $\mathcal{E}xt^j_{\mathcal O_X}(\mathcal O_Y,\mathcal F)=0$ である。
各局所方程式 $(U;f)$ の上で $\psi_f(\xi):=\varphi_f(\xi)\otimes(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*$ と定める。$\varphi_f$ は同型で、$(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*$ は $\omega_{Y/X}|_U$ の基底なので、$\psi_f$ は同型である。
2 つの局所方程式 $(U;f)$、$(U';g)$ の上の $\psi_f$ と $\psi_g$ が $U\cap U'$ で一致することを示す。$U\cap U'$ は、$U$ と $U'$ の両方で基本開集合であるようなアフィン開集合 $W=\operatorname{Spec}B$ で覆われる。$B$ は $A$ の局所化であり、局所化は平坦なので、$f$ と $g$ の $B$ での像はともに $B$ 正則で $\mathcal J(W)$ を生成する。とくに $g_i\in(f_1,\dots,f_n)B$ なので $g_i=\sum_jc_{ij}f_j$ となる $C\in M_n(B)$ がある。lem-fli-change により $W$ の上で
$$
\psi_g(\xi)=\det(\bar C)\varphi_f(\xi)\otimes\det(\bar C)^{-1}(\bar f_1\wedge\cdots\wedge\bar f_n)^*=\psi_f(\xi)
$$
である。よって局所的な同型 $\psi_f$ は貼り合って、$Y$ 全体の同型 $\psi$ を与える（層の射は局所的に決まるので、$\psi$ はただ 1 つである）。$\varphi_f$ は $\mathcal F$ について自然なので $\psi$ も自然である。$j>n$ での消滅は、前節で局所的に示した。$\square$
この主張は Har66 III 命題 7.2（p. 179、証明は p. 180）にあり、方程式の取り替えは同補題 7.1（pp. 178–179）である。同書でも $\mathcal F$ は任意の $\mathcal O_X$ 加群であり、証明では右辺を $\mathcal{H}om_{\mathcal O_Y}(\bigwedge^n\mathcal J/\mathcal J^2,\mathcal F/\mathcal J\mathcal F)$ と書き直して局所的に同型を定めている。
ほかの次数の消滅
最高次数より下の Ext 層は一般には消えない。消えるための条件は、Koszul 複体が自分自身の双対と同型であることを使うと、Tor の消滅で言い表せる。
局所方程式 $(U;f)$ の上で、$\{1,\dots,n\}$ の $p$ 元部分集合 $I=\{i_1<\cdots< i_p\}$ について $e_I:=e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}$、補集合を $I^c$ とし、$e_I\wedge e_{I^c}=\varepsilon_I\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n$（$\varepsilon_I=\pm1$）で符号を定める。
$$
\Phi_p\colon\mathcal{H}om(K_p(f),\mathcal F)\to K_{n-p}(f)\otimes\mathcal F,\qquad \Phi_p(\alpha)=(-1)^{p(p-1)/2}\sum_{|I|=p}\varepsilon_I\,e_{I^c}\otimes\alpha(e_I)
$$
は同型であり、$\Phi_{p+1}(\alpha\circ d)=d(\Phi_p(\alpha))$ をみたす。したがって $U$ の上で
$$
\mathcal{E}xt^p(\mathcal O_Y,\mathcal F)\cong h_{n-p}\bigl(K_\bullet(f)\otimes\mathcal F\bigr)\qquad(0\le p\le n)
$$
である。
$\Phi_p$ は $\mathcal{H}om(K_p,\mathcal F)\cong\mathcal F^{\binom np}$ の成分 $e_I$ を $K_{n-p}\otimes\mathcal F$ の成分 $e_{I^c}$ に符号つきで移すので同型である。符号を除いた $\Phi^0_p(\alpha):=\sum_I\varepsilon_Ie_{I^c}\otimes\alpha(e_I)$ について $\Phi^0_{p+1}(\alpha\circ d)=(-1)^pd\Phi^0_p(\alpha)$ を示せば、$(-1)^{(p+1)p/2}(-1)^p=(-1)^{p(p-1)/2}$ より主張が従う。両辺は $\alpha$ について加法的なので、$\alpha$ が 1 つの $e_I$ だけで値 $m$ をとり、他の基底で $0$ の場合に示せばよい。
計算を開く
$j\notin I$ について $J=I\cup\{j\}$ とし、$j$ が $J$ の中で $r$ 番目、$I^c$ の中で $s$ 番目とする。$d e_J$ のうち $e_I$ の成分は $(-1)^{r-1}f_je_I$ なので、$\Phi^0_{p+1}(\alpha\circ d)=\sum_{j\notin I}\varepsilon_J(-1)^{r-1}f_j\,e_{J^c}\otimes m$ である。一方 $d e_{I^c}=\sum_{j\in I^c}(-1)^{s-1}f_je_{I^c\setminus\{j\}}$ で $J^c=I^c\setminus\{j\}$ なので、$d\Phi^0_p(\alpha)=\sum_{j\notin I}\varepsilon_I(-1)^{s-1}f_j\,e_{J^c}\otimes m$ である。$e_J=(-1)^{r-1}e_j\wedge e_I$、$e_{I^c}=(-1)^{s-1}e_j\wedge e_{J^c}$ から、$\varepsilon_J(-1)^{r-1}e_1\wedge\cdots\wedge e_n=e_j\wedge e_I\wedge e_{J^c}$ であり、$\varepsilon_Ie_1\wedge\cdots\wedge e_n=(-1)^{s-1}e_I\wedge e_j\wedge e_{J^c}=(-1)^{s-1}(-1)^pe_j\wedge e_I\wedge e_{J^c}$ である。よって $\varepsilon_J(-1)^{r-1}=(-1)^p\varepsilon_I(-1)^{s-1}$ となり、$\Phi^0_{p+1}(\alpha\circ d)=(-1)^pd\Phi^0_p(\alpha)$ である。
$\Phi$ は複体 $\mathcal{H}om(K_\bullet(f),\mathcal F)$（次数 $p$）から $K_\bullet(f)\otimes\mathcal F$（次数 $n-p$）への複体の同型なので、コホモロジーが一致する。左辺は前節で見たとおり $\mathcal{E}xt^p(\mathcal O_Y,\mathcal F)|_U$ である。$\square$
$x\in U$ での茎をとると、$K_\bullet(f)_x$ は $\mathcal O_{X,x}$ 加群 $\mathcal O_{Y,x}$ の有限自由分解なので（局所化は完全）、$h_q(K_\bullet(f)\otimes\mathcal F)_x\cong\operatorname{Tor}_q^{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal O_{Y,x},\mathcal F_x)$ である（Koszul複体 の節「自由解像度とTorの計算」）。これと lem-fli-self-dual から次を得る。
$i\colon Y\to X$ を余次元 $n$ の正則閉埋め込み、$\mathcal F$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。次は同値である。
- $j\neq n$ のすべての $j$ について $\mathcal{E}xt^j_{\mathcal O_X}(\mathcal O_Y,\mathcal F)=0$ である。
- すべての $y\in Y$ と $q>0$ について $\operatorname{Tor}_q^{\mathcal O_{X,y}}(\mathcal O_{Y,y},\mathcal F_y)=0$ である。
とくに $\mathcal F$ が平坦な $\mathcal O_X$ 加群（たとえば局所自由層）なら 1 が成り立つ。
$j>n$ と $q>n$ ではどちらも自動的に $0$ である。$0\le j\le n$ について、lem-fli-self-dual と上の茎の計算から、$Y$ の点 $y$ での茎について $\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,\mathcal F)_y\cong\operatorname{Tor}_{n-j}^{\mathcal O_{X,y}}(\mathcal O_{Y,y},\mathcal F_y)$ である。$Y$ の外では両側とも $0$ なので、$j$ が $0\le j< n$ を動くとき 1 と 2 は同値である。$\mathcal F_y$ が平坦なら正の次数の Tor は $0$ である（Tor関手 の命題「平坦加群に対する消滅」）。$\square$
条件 2 は、Har66 III §7（p. 180）が「$\mathcal F$ は $i^*$ 非輪状」と呼ぶ Tor 層の消滅を茎ごとに述べたものである。Ext と Tor の局所的な同型は同 p. 178 の式 (1) に述べられている。
例
$n=1$ とする。局所方程式は 1 つの非零因子 $f$ で、$\mathcal J$ は可逆層である。$\mathcal O_X(Y):=\mathcal J^\vee$ とおくと $\mathcal J/\mathcal J^2=\mathcal J\otimes\mathcal O_Y$ なので $\omega_{Y/X}\cong\mathcal O_X(Y)|_Y$ であり、主定理は
$$
\mathcal{E}xt^1(\mathcal O_Y,\mathcal F)\cong\mathcal F\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal O_X(Y)|_Y
$$
を与える。一方 $\mathcal{E}xt^0(\mathcal O_Y,\mathcal F)=\mathcal{H}om(\mathcal O_Y,\mathcal F)$ は、局所的には $f$ で消される $\mathcal F$ の切断のなす部分層 $\{s\mid fs=0\}$ である。これが $0$ であることは $f$ が各茎 $\mathcal F_y$ の非零因子であることで、$\operatorname{Tor}_1^{\mathcal O_{X,y}}(\mathcal O_{X,y}/(f),\mathcal F_y)$ が $\mathcal F_y$ の $f$ 倍の核であることと合わせて、thm-fli-vanishing の $n=1$ の場合を直接確かめたことになる。
$k$ を体、$X=\mathbb P^2_k$、$Y=L$ を 1 次式 $\ell$ が定める直線とし、$\mathcal F=\mathcal O_X$ とする。$0\to\mathcal O_X(-1)\xrightarrow{\ \ell\ }\mathcal O_X\to\mathcal O_L\to0$ は局所自由分解なので、$\mathcal{H}om(-,\mathcal O_X)$ をとって $\mathcal{E}xt^1(\mathcal O_L,\mathcal O_X)\cong\operatorname{coker}\bigl(\mathcal O_X\xrightarrow{\ell}\mathcal O_X(1)\bigr)=\mathcal O_L(1)$ を得る（Ext層 の定理「局所自由分解による Ext 層の計算」）。主定理の側では $\mathcal J\cong\mathcal O_X(-1)$、$\mathcal J/\mathcal J^2\cong\mathcal O_L(-1)$、$\omega_{L/X}\cong\mathcal O_L(1)$ で、両者は一致する。$L\cong\mathbb P^1_k$ の上で $\mathcal O_L(1)$ は $\mathcal O_L$ と同型でない（射影直線 の定理「自己同型群と Picard 群」）ので、主定理の右辺から $\omega_{Y/X}$ を省くことはできない。局所的な同一視 $\varphi_f$ が方程式の取り替えで $\det$ だけずれることが、大域的にはこの捩れとして現れる。
$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[x,y]$、$Y$ を原点（$\mathcal J=(x,y)$、$n=2$）とする。$\mathcal F=\mathcal O_X$ なら thm-fli-vanishing により $\mathcal{E}xt^0=\mathcal{E}xt^1=0$ で、$\mathcal{E}xt^2(\mathcal O_Y,\mathcal O_X)\cong\omega_{Y/X}\cong k$ である。$\mathcal F=\mathcal O_Y=k$ なら、$\mathcal{H}om(K_\bullet(x,y),k)$ の微分は $x,y$ 倍なのですべて $0$ で、$\mathcal{E}xt^j(\mathcal O_Y,k)$ の次元は $j=0,1,2$ で $1,2,1$ である。最高次数 $\mathcal{E}xt^2\cong k\otimes\omega_{Y/X}$ は主定理どおりだが、$\operatorname{Tor}_2^{k[x,y]}(k,k)\cong k\neq0$ なので低い次数は消えない。
射影空間 $P=\mathbb P^N_k$ の中の余次元 $r$ の局所完全交叉 $Z$ と $\mathcal F=\omega_P$（可逆層）に主定理と thm-fli-vanishing を当てると、$\mathcal{E}xt^r_P(\mathcal O_Z,\omega_P)\cong\omega_P|_Z\otimes\omega_{Z/P}$ で、ほかの次数は $0$ である。これが 双対化層 の定理「局所完全交叉の双対化層」で双対化層を求める局所計算にあたる。
反例：仮定を外すと崩れること
$k$ を体とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\mathcal J$ が局所的に正則な列で生成されること | $X=\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$、$Y=\operatorname{Spec}k$（$\mathcal J=(\varepsilon)$）、$\mathcal F=\mathcal O_X$ | thm-fli-main の同型（余法層は階数 $1$ の自由加群だが $\mathcal{E}xt^1=0$） |
| 余次元が一定であること | $X=\operatorname{Spec}k[x,y]$、$Y$ は直線 $y=0$ と点 $(0,1)$ の和、$\mathcal F=\mathcal O_X$ | 1 つの $n$ での thm-fli-vanishing の消滅（$\mathcal F$ は平坦） |
| $\mathcal F$ が平坦（茎の Tor の消滅） | $X=\operatorname{Spec}k[x,y]$、$Y$ は原点、$\mathcal F=\mathcal O_Y$ | thm-fli-vanishing の消滅（$\mathcal{H}om(\mathcal O_Y,\mathcal F)\neq0$） |
各行の確かめ
1 行目：$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ で $\varepsilon$ は零因子なので、$(\varepsilon)$ は正則な列で生成されない。$\mathcal J^2=0$ なので $\mathcal J/\mathcal J^2=(\varepsilon)\cong k$ は階数 $1$ の自由 $k$ 加群であり、$n=1$ とした右辺 $\mathcal F|_Y\otimes\omega_{Y/X}$ は $k$ である。一方 $\cdots\xrightarrow{\varepsilon}A\xrightarrow{\varepsilon}A\to k\to0$ は $k$ の自由分解で、$\operatorname{Hom}_A(-,A)$ をとった複体 $A\xrightarrow{\varepsilon}A\xrightarrow{\varepsilon}\cdots$ のコホモロジーは、次数 $0$ で $\ker\varepsilon=(\varepsilon)\cong k$、正の次数で $\ker\varepsilon/\operatorname{im}\varepsilon=(\varepsilon)/(\varepsilon)=0$ である。よって $\operatorname{Ext}^1_A(k,A)=0$ で同型は成り立たない（$\operatorname{Hom}_A(k,A)\neq0$ でもある）。
2 行目：直線の近傍では $Y$ は余次元 $1$、点の近傍では余次元 $2$ の正則閉埋め込みである。主定理を各近傍で当てると、$\mathcal{E}xt^1(\mathcal O_Y,\mathcal O_X)$ は直線上で $\omega$ と同型で点では $0$、$\mathcal{E}xt^2(\mathcal O_Y,\mathcal O_X)$ は直線上で $0$ で点では $k$ である。$n=1$ とすると点で $\mathcal{E}xt^2\neq0$、$n=2$ とすると直線上で $\mathcal{E}xt^1\neq0$ であり、$\mathcal O_X$ は平坦なのに、どちらの $n$ でも最高次数以外の Ext 層が消えない。$n=1$ では主定理の同型も点で崩れる（左辺は $0$、$\mathcal{H}om(\mathcal J/\mathcal J^2,\mathcal O_Y)$ は点で階数 $2$）。$n=2$ では $\bigwedge^2(\mathcal J/\mathcal J^2)$ が直線上で $0$ になるので、主定理の両辺は直線上でともに $0$ となり、同型の形だけは残るが、直線上の $\mathcal{E}xt^1$ は捉えられない。
3 行目：ex-fli-origin の計算である。
関連項目
参考文献
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