Segal圏

前提知識: 単体的集合, 脈体, 単体的豊穣圏, Kan–Quillenモデル構造

Segal圏（Segal category）は、∞圏 の模型の一つである。単体的空間 $X$ で、$X_n$ を「長さ $n$ の合成可能な射の列の空間」と読み、対象の集まり $X_0$ はただの集合（定値な単体的集合）とし、$n$ 単体をその隣り合う辺の列に送る Segal 写像がすべて弱同値であるものをいう。射の合成は一つに決まらないが、Segal 写像が弱同値であることから、ホモトピーを除いて定まり、結合律もホモトピーを除いて成り立つ。Segal 圏は Dwyer、Kan、Smith が導入した対象で、その一般化である Segal $n$ 圏は Hirschowitz と Simpson、Tamsamani が弱い $n$ 圏の模型として調べた（Ber07 §1, p. 1）。
この記事の主定理（thm-segcat-pi0-nerve）は、Segal 圏の各次数の連結成分をとると通常の圏の脈体が得られること、つまり Segal 圏から「ホモトピー圏」が回収されることである。これにより、Segal 圏の間の射が圏として同値であることを表す DK 同値が定義できる。単体的豊穣圏 は Segal 写像が同型である Segal 圏を与え（prop-segcat-simplicial-category）、Segal 前圏の圏の二つのモデル構造のファイブラント対象は、それぞれ、単体的空間として Reedy ファイブラントな Segal 圏と、各次数が Kan 複体である Segal 圏として特徴づけられる（thm-segcat-fibrant）。
完備Segal空間 は、対象の空間 $W_0$ を一般の空間とし、その代わりに完備性を課す別の模型である。Segal 圏では対象の集合が定値なので、対象の同型は $X_0$ には記録されず、射の空間の中のホモトピー同値として現れる。この記事は、対象の集合が定値であることを使ってホモトピー圏を直接作る点と、定値な対象の集合のまま考えるモデル構造の点で、完備Segal空間の記事と主題が異なる（両者の関係は rem-segcat-css）。

定義

以下 単体的空間 は関手 $X\colon\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{sSet}$ のこと（完備Segal空間 の定義「単体的空間」）、弱同値は Kan–Quillenモデル構造 の弱同値である。集合 $O$ に対し、各次数に $O$ を置きすべての作用を恒等写像とする単体的集合を $cO$ と書く（単体的集合 の例「定値単体的集合」）。

$n$ 単体の頂点を取り出す $n+1$ 本の写像 $X_n\to X_0$ をまとめた写像 $X_n\to X_0^{n+1}=c(O^{n+1})$ を考える。対象の列 $x_0,\dots,x_n$ の上のファイバーを $X(x_0,\dots,x_n)$ と書く。とくに $X(x,y)$ を $x$ から $y$ への 写像空間 という。

$n\ge2$ について、$n$ 単体をその隣り合う辺 $\{i-1,i\}$（$1\le i\le n$）の列に送る写像
$$ \varphi_n\colon X_n\longrightarrow X_1\times_{X_0}X_1\times_{X_0}\cdots\times_{X_0}X_1\qquad(n\text{ 個の }X_1) $$
を Segal 写像 という。ファイバー積は $d_0$ と $d_1$ で結ぶ。lem-segcat-constant-base の 1 により、両辺は対象の列ごとの非交和であり、$\varphi_n$ は写像
$$ X(x_0,\dots,x_n)\longrightarrow X(x_0,x_1)\times X(x_1,x_2)\times\cdots\times X(x_{n-1},x_n) $$
の非交和である。

定義は Ber07 Definition 1.1・1.2（p. 2）による。$X_0$ を定値と仮定しない単体的空間で、Reedy ファイブラントかつ Segal 写像が弱同値なものが 完備Segal空間 の Segal 空間である。

主定理：連結成分の圏

単体的集合 $K$ の連結成分の集合を $\pi_0K$ と書く。単体的空間 $X$ の各次数の連結成分をとると単体的集合 $\pi_0X$（$(\pi_0X)_n=\pi_0(X_n)$、作用は $X$ の作用が誘導する写像）が得られる。弱同値は連結成分の間の全単射を誘導する（幾何学的実現 の命題「実現と余単位の連結成分」の 1）。

$\operatorname{Ho}X$ を Segal 圏 $X$ の ホモトピー圏 という。Segal 圏の射 $F\colon X\to Y$ は $\pi_0$ を通して単体的写像 $\pi_0X\to\pi_0Y$ を誘導し、脈体 の命題「脈体関手は充満忠実である」により関手 $\operatorname{Ho}F\colon\operatorname{Ho}X\to\operatorname{Ho}Y$ を与える。$X$ が Reedy ファイブラントなら、$X$ は 完備Segal空間 の意味の Segal 空間で、その記事の定義「ホモトピー圏」の圏（合成を合成の選択の結果の類で定めるもの）は $\operatorname{Ho}X$ と同じ圏である。合成の選択は $X(x,y,z)$ の頂点で背骨が $(f,g)$ のものなので、その結果の類は上の $[d_1\sigma]$ に等しい。

逆は成り立たない。ホモトピー圏の同値は写像空間の連結成分しか見ないからである（ex-segcat-circle）。

例

モデル構造とファイブラント対象

Segal 前圏の圏には二つのモデル構造 $\mathrm{SeCat}_c$ と $\mathrm{SeCat}_f$ がある（Ber07 Theorem 2.1（p. 3）と §4（p. 6）。この記事では証明しない）。どちらも弱同値は同じで、Segal 前圏 $X$ を、対象の集合が同じで Segal 空間でもある Segal 圏 $L_cX$ に取り替える関手を施したあと、完備Segal空間 の定理「完備Segal空間のモデル構造」の意味の弱同値になる射、すなわち Segal 空間の間の DK 同値になる射である（同記事の系「DK 同値とモデル構造の弱同値」）。$\mathrm{SeCat}_c$ の余ファイブレーションは単射であり、すべての Segal 前圏は余ファイブラントである。$\mathrm{SeCat}_f$ の余ファイブレーションとファイブレーションの記述は込み入っているので、ここでは述べない。

Reedy ファイブラントなら $\ell_1=(d_1,d_0)\colon X_1\to X_0\times X_0=c(O\times O)$ は Kan ファイブレーションなので、各写像空間 $X(x,y)$ は Kan 複体である。さらに Segal 写像の制限 $X(x_0,\dots,x_n)\to X(x_0,x_1)\times\cdots\times X(x_{n-1},x_n)$ は自明 Kan ファイブレーションである（完備Segal空間 の定義「Segal 写像」の後の説明）。したがってファイブラントな Segal 圏では、射の対 $(f,g)$ の合成の選び方（$X(x,y,z)$ の頂点で背骨が $(f,g)$ のもの）のなす単体的集合は、空でない可縮な Kan 複体である。

反例の表

thm-segcat-pi0-nerve と thm-segcat-fibrant の 1 の仮定を、一つずつ外す。単体的集合 $K$ に対し、各次数を定値な単体的集合 $cK_n$ とする単体的空間を $dK$ と書く（完備Segal空間 の定義「単体的空間」の離散な単体的空間）。

発展

$\mathbf{sSet}$ の代わりに、扱いやすい（tractable）左固有でカルテジアンなモデル圏 $M$ に値をとる前圏を考えると、同じ形の Segal 条件と、Reedy の場合のモデル構造が得られる。このモデル圏は再び同じ三つの性質をもつので、$M$ として繰り返し使うことができ、Segal $n$ 圏の模型が得られる（Sim10 Theorem 21.3.2（p. 445）と第 22 章の冒頭（p. 448）。この記事では証明しない）。Segal 圏、完備Segal空間、準圏（Joyalモデル構造）、単体的豊穣圏 は互いに Quillen 同値なモデル圏で結ばれ、どれも同じ∞圏のホモトピー論を表す（Ber07 §1, p. 2）。

関連項目

• 前提: 単体的集合, 脈体, 単体的豊穣圏, Kan–Quillenモデル構造
• 比較: 完備Segal空間, 準圏, Joyalモデル構造, ∞圏
• 関連: モデル圏, 圏同値, ∞圏のホモトピー圏, Reedyモデル構造