一般コホモロジー理論

1：対 $(X,X)$ の完全列 $h^n(X)\xrightarrow{\mathrm{id}}h^n(X)\xrightarrow{\delta}h^{n+1}(X,X)\xrightarrow{j^*}h^{n+1}(X)\xrightarrow{\mathrm{id}}h^{n+1}(X)$ で、恒等写像は全射なので $\delta=0$、単射なので $j^*=0$ である。よって $h^{n+1}(X,X)=\ker j^*=\operatorname{im}\delta=0$ である。
2：$\{x_0\}=\mathrm{pt}$ とみなすと $c\circ i=\mathrm{id}_{\mathrm{pt}}$ なので $i^*c^*=\mathrm{id}$ であり、$i^*$ は全射、$c^*$ は単射で、$h^n(X)=\ker i^*\oplus\operatorname{im}c^*$ である。対 $(X,x_0)$ の完全列 $h^{n-1}(X)\xrightarrow{i^*}h^{n-1}(x_0)\xrightarrow{\delta}h^n(X,x_0)\xrightarrow{j^*}h^n(X)\xrightarrow{i^*}h^n(x_0)$ で、$i^*$ が全射だから $\delta=0$ となり、$j^*$ は単射で像は $\ker i^*$ である。$\square$

関手性、$\delta$ の自然性、ホモトピー公理、切除公理は、各成分の gct-ex-ordinary の性質を直積に並べたものである（成分ごとの同型の直積は同型）。完全性公理：各成分の列は完全で、完全列の直積は完全である（各位置で核と像が成分ごとに計算される）。加法性公理：直積の順序を入れ替えた $\prod_i\prod_\alpha=\prod_\alpha\prod_i$ と各成分の加法性による。係数：$H^m(\mathrm{pt};G_i)$ は $m=0$ でだけ $G_i$ で、ほかは $0$ なので、$h^n(\mathrm{pt})=H^0(\mathrm{pt};G_n)=G_n$ である。$\square$

可換性 $\beta j=j'\alpha$、$\gamma i=i'\beta$、$\alpha\delta=\delta'\gamma$ と各行の完全性だけを使う。
$R\oplus Q'$ での完全性：$\psi\varphi(x)=\gamma ix-i'\beta x=0$ である。逆に $\psi(r,y)=0$、すなわち $\gamma r=i'y$ とする。$\alpha\delta r=\delta'\gamma r=\delta'i'y=0$ で $\alpha$ は単射なので $\delta r=0$ となり、$r=ix_0$ と書ける。$i'(y-\beta x_0)=\gamma r-\gamma ix_0=0$ なので $y-\beta x_0=j'p'$ と書け、$p:=\alpha^{-1}p'$ とおくと $\beta jp=j'p'$ である。$x:=x_0+jp$ は $ix=r$（$ij=0$）、$\beta x=y$ を満たす。
$R'$ での完全性：$\Delta\psi(r,y)=j\alpha^{-1}(\alpha\delta r-\delta'i'y)=j\delta r=0$ である。逆に $\Delta s=0$ なら、$\alpha^{-1}\delta's\in\ker j=\operatorname{im}\delta$ なので $\alpha^{-1}\delta's=\delta r$ と書け、$\delta'(s-\gamma r)=0$ から $s-\gamma r=i'y$ となり、$s=\psi(r,-y)$ である。
$Q$ での完全性：$i\Delta s=ij(\cdot)=0$、$\beta\Delta s=j'\alpha\alpha^{-1}\delta's=0$ である。逆に $\varphi(x)=0$ なら、$ix=0$ から $x=jp$ と書け、$j'\alpha p=\beta jp=0$ から $\alpha p=\delta's$ と書けるので、$\Delta s=j\alpha^{-1}\delta's=jp=x$ である。$\square$

1．$e$ は同型． $A\cap B\ne\emptyset$ のとき、$k$ は連続な全単射 $\bar k\colon B/(A\cap B)\to X/A$ を誘導する。両辺は胞体 $X\setminus A=B\setminus(A\cap B)$ と $1$ つの $0$ 胞体からなる CW 複体で、$X/A$ の各胞体の特性写像は $X$ の特性写像 $\Phi$ と商写像 $q_X$ の合成である（Hat02 p. 8）。$\bar k^{-1}\circ q_X\circ\Phi=q_B\circ\Phi$ は連続なので、CW複体 の定理「胞体ごとの判定」により $\bar k^{-1}$ は連続であり、$\bar k$ は同相写像である。$q_X\circ k=\bar k\circ q_B$ から $k^*q_X^*=q_B^*\bar k^*$ となり、切除公理により $q_X^*$、$q_B^*$ は同型なので $e=k^*$ も同型である。$A\cap B=\emptyset$ のときは、$A,B$ は互いに交わらない閉集合で $X$ を覆うので、$X=A\sqcup B$ は位相的な非交和である。加法性公理により $h^n(X,A)\cong h^n(A,A)\times h^n(B)$ であり、第 1 成分は gct-prop-split の 1 により $0$ なので、$e$ は同型である。
2．梯子． 対 $(X,A)$ と $(B,A\cap B)$ の完全列を上下に並べ、制限を縦の写像とする。関手性と $\delta$ の自然性により各四角形は可換で、1 により $P^n:=h^n(X,A)\to P'^n:=h^n(B,A\cap B)$ は同型である。$Q^n=h^n(X)$、$R^n=h^n(A)$、$Q'^n=h^n(B)$、$R'^n=h^n(A\cap B)$ として gct-lem-ladder を当てると、$\varphi$・$\psi$・$\Delta$ は主張のものになり、列は完全である。$\square$

すべての次数で $T$ が同型であることを「$T$ は $(X,A)$ で同型」という。$T$ は自然で $\delta$ と可換なので、対の完全列を $h^*$ と $h'^*$ で並べた図式は可換である。並んだ 5 つの縦の写像のうち外側の 4 つが同型なら、五項補題 の定理「五項補題」により中央も同型である。以下これを「五項補題により」という。
1．$0$ 次元． $X$ が $0$ 次元なら、$X=\bigsqcup_{x\in X}\{x\}$ は一点の非交和である。$T$ は包含と可換なので、加法性公理の同型 $h^n(X)\cong\prod_xh^n(\mathrm{pt})$ と $h'^n$ の同じ同型を通して $T$ は成分ごとの $T$ の直積になり、同型である。
2．次元についての帰納法． $m\ge1$ とし、次元が $m$ より小さいすべての CW 複体で $T$ が同型であるとする。$X$ を $m$ 次元とする。$m$ 胞体の特性写像を並べた対の写像を
$$ \Phi\colon(D,S):=\Bigl(\bigsqcup_\alpha D^m_\alpha,\ \bigsqcup_\alpha\partial D^m_\alpha\Bigr)\to(X,X^{m-1}) $$
とする（$m$ 胞体がなければ $X=X^{m-1}$ で、帰納法の仮定に含まれる）。

• $(D,S)$ で同型：$D^m$ は可縮なので、ホモトピー公理により一点への写像は同型 $h^*(\mathrm{pt})\to h^*(D^m)$ を誘導し、$T$ の自然性から $T$ は $D^m$ で同型である。$\partial D^m=S^{m-1}$ は $(m-1)$ 次元の CW 複体なので、帰納法の仮定により同型である。五項補題により $T$ は $(D^m,\partial D^m)$ で同型であり、1 と同じく加法性公理により $(D,S)$ で同型である。
• $(X,X^{m-1})$ で同型：$\Phi$ は連続な全単射 $\bar\Phi\colon D/S\to X/X^{m-1}$ を誘導する。$X/X^{m-1}$ の $m$ 胞体の特性写像は $q_X\circ\Phi_\alpha$ であり、$\bar\Phi^{-1}\circ q_X\circ\Phi_\alpha$ は $D^m_\alpha\to D/S$ の商写像なので連続である。gct-prf-mv の 1 と同じく $\bar\Phi$ は同相写像で（両辺は $m$ 次元球面のウェッジ和である。Hat02 p. 137）、$q_X\circ\Phi=\bar\Phi\circ q_D$ と切除公理から $\Phi^*\colon h^*(X,X^{m-1})\to h^*(D,S)$ は同型であり、$h'^*$ についても同様である。$T$ は $\Phi^*$ と可換なので、$T$ は $(X,X^{m-1})$ で同型である。
• $X$ で同型：$T$ は $X^{m-1}$ で帰納法の仮定により同型なので、対 $(X,X^{m-1})$ の完全列に五項補題を当てればよい。

3．対． $X$ が有限次元なら部分複体 $A$ も有限次元なので、2 により $T$ は $X$ と $A$ で同型であり、五項補題により $(X,A)$ で同型である。$\square$

要点：骨格の増大列 $X^0\subset X^1\subset\cdots$ について、どのコホモロジー理論にも Milnor の完全列 $0\to\varprojlim^1h^{n-1}(X^k)\to h^n(X)\to\varprojlim h^n(X^k)\to0$ があり（Hat02 Theorem 3F.8、p. 314。この記事では証明しない）、$T$ はこれと可換である。