優収束定理
概要
優収束定理（dominated convergence theorem）とは、測度空間上の可測関数の列 $f_n$ がほとんど至るところ $f$ に収束し、$n$ によらない可積分な関数 $g$ ですべての項が $\lvert f_n\rvert\le g$ と押さえられるならば、$f$ は可積分で $\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\to0$、とくに $\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu$ が成り立つという定理である。Fatou の補題から導かれ、質量が無限遠へ逃げる列や一点に集中する列を可積分な優関数の条件で排除する。有界収束定理、級数の項別積分、パラメータを含む積分の連続性や積分記号の下での微分を導き、Riemann 積分では一様収束が必要だった極限と積分の交換を広く正当化する。
前提知識: Lebesgue積分, 測度, 上極限と下極限
「極限をとってから積分する」ことと「積分してから極限をとる」ことは、いつでも入れ替えられるわけではない。$\mathbb{R}$ 上の $f_n=1_{[n,n+1]}$ は各点で $0$ に収束するのに、積分はずっと $1$ である。$(0,1)$ 上の $f_n=n\,1_{(0,1/n)}$ も各点で $0$ に収束するのに、積分は $1$ のままである。前者では面積が無限遠に逃げ、後者では面積が一点のそばに集中して、極限の関数からは見えなくなる。
優収束定理は、こうした逃げ方を一度に封じる条件を与える。列のすべての項が、$n$ によらない 1 つの可積分な関数 $g$ で $\lvert f_n\rvert\le g$ と押さえられていれば、面積は $g$ の下にしか置けない。$g$ の積分は有限なので、遠くへ逃げる面積も、細く高い山に集まる面積も、$g$ の「尾」や「高い所」の小さな積分で抑えられてしまう。このとき各点の収束から積分の収束が従う。Riemann 積分では一様収束のような強い仮定が要った極限と積分の交換が、Lebesgue 積分ではこの 1 つの条件で済む。積分記号の下での微分や、パラメータを含む積分の連続性も、この定理から導かれる。
設定と主張
以下、$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし（測度 の記事の定義「測度」）、可測関数・積分・可積分性・「ほとんど至るところ」は Lebesgue積分 の記事の定義に従う。関数の値は実数でも複素数でもよい。複素数値の関数 $f$ は、実部と虚部がともに可測なとき可測といい、$\int\lvert f\rvert\,d\mu<\infty$ のとき可積分といって、$\int f\,d\mu:=\int\operatorname{Re}f\,d\mu+i\int\operatorname{Im}f\,d\mu$ と定める（Lp空間 の記事の「定義」の節と同じ約束）。実数値の場合の積分の線形性（Lebesgue積分 の記事の定理「積分の線形性と単調性」）を実部と虚部に当てると、複素数値の可積分関数についても積分は複素線形である。
複素数値の可積分関数 $f$ についても $\bigl\lvert\int f\,d\mu\bigr\rvert\le\int\lvert f\rvert\,d\mu$ である。実際、$\int f=re^{i\theta}$（$r\ge0$）と書いて $\alpha:=e^{-i\theta}$ とおくと、$r=\alpha\int f=\int\alpha f$ は実数なので
$$
\Bigl\lvert\int f\,d\mu\Bigr\rvert=\int\operatorname{Re}(\alpha f)\,d\mu\le\int\lvert\alpha f\rvert\,d\mu=\int\lvert f\rvert\,d\mu
$$
となる（$\operatorname{Re}(\alpha f)\le\lvert\alpha f\rvert$ と、実数値の積分の単調性による）。
可測関数の列 $(f_n)$ に対し、値が $[0,\infty]$ の可測関数 $g$ で $\int g\,d\mu<\infty$ を満たし、各 $n$ についてほとんど至るところ $\lvert f_n\rvert\le g$ となるものを、$(f_n)$ の可積分な優関数（integrable dominating function）という。
優関数は列の全体に共通な 1 つの関数であることが肝心である。各 $f_n$ が可積分であるだけでは足りない（ex-dct-counterexamples の 2）。
可測関数 $f_n,f\colon X\to\mathbb{C}$（$n\ge1$）について、ほとんど至るところ $f_n\to f$ とし、$(f_n)$ が可積分な優関数 $g$ をもつとする。このとき $f_n$ と $f$ は可積分で
$$
\lim_{n\to\infty}\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.
$$
例外集合をまとめる．$\int g<\infty$ なので $\{g=\infty\}$ は零集合である（Lebesgue積分 の記事の補題「零集合と積分」の 2）。$f_n\to f$ が成り立たない点の集合を含む零集合と、各 $n$ の $\{\lvert f_n\rvert>g\}$ を合わせて、零集合 $N$ をとる（零集合の可算個の和は零集合である。測度 の記事の命題「測度の基本性質」の 4）。$N$ の外では $g(x)<\infty$、$\lvert f_n(x)\rvert\le g(x)$、$f_n(x)\to f(x)$ であり、したがって $\lvert f(x)\rvert=\lim_n\lvert f_n(x)\rvert\le g(x)$ である。
可積分性．$\lvert f_n\rvert$ と $\lvert f\rvert$ はほとんど至るところ $g$ 以下なので、零集合の上の値を無視して（同じ補題の 3）$\int\lvert f_n\rvert\le\int g<\infty$、$\int\lvert f\rvert\le\int g<\infty$ である。
差の積分が $0$ に近づくこと．$\tilde g:=g1_{X\setminus N}$、$h_n:=\lvert f_n-f\rvert1_{X\setminus N}$ とおく。$\tilde g$ は実数値で可積分、$h_n$ は実数値の可測関数で、各点で $0\le h_n\le\lvert f_n\rvert1_{X\setminus N}+\lvert f\rvert1_{X\setminus N}\le2\tilde g$ かつ $h_n\to0$ である。したがって $2\tilde g-h_n$ は非負の可測関数で、各点で $2\tilde g$ に収束する。Fatou の補題（Lebesgue積分 の記事の補題「Fatouの補題」）を使うと
$$
\int2\tilde g\,d\mu=\int\liminf_{n\to\infty}\bigl(2\tilde g-h_n\bigr)\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int\bigl(2\tilde g-h_n\bigr)\,d\mu
$$
である。$\tilde g$ と $h_n$ は実数値の可積分関数なので、積分の線形性により右辺は $\int2\tilde g-\limsup_n\int h_n$ に等しい。有限の数 $\int2\tilde g$ を両辺から引くと $\limsup_n\int h_n\le0$ である。$h_n\ge0$ なので $\int h_n\to0$ であり、$h_n$ は $\lvert f_n-f\rvert$ とほとんど至るところ等しいので $\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=\int h_n\,d\mu\to0$ である。
積分の収束．積分の線形性と上で示した不等式 $\bigl\lvert\int u\bigr\rvert\le\int\lvert u\rvert$ から
$$
\Bigl\lvert\int f_n\,d\mu-\int f\,d\mu\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\int(f_n-f)\,d\mu\Bigr\rvert\le\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\to0.\qquad\square
$$
証明の中心は、非負の関数 $2\tilde g-h_n$ に Fatou の補題を使うところにある。Fatou の補題は「極限をとると積分は増えない」という片側の不等式しか与えないが、それを $2\tilde g$ から $\lvert f_n-f\rvert$ を引いた関数に使うと、$\lvert f_n-f\rvert$ の積分が極限で増えないこと、すなわち $0$ に近づくことが出てくる。優関数の可積分性は、$\int2\tilde g$ を両辺から引くところで使われる。Fatou の補題そのものとその変形は Fatouの補題 の記事で詳しく扱う。
結論の前半 $\int\lvert f_n-f\rvert\to0$ は、$L^1$ ノルムでの収束 $\|f_n-f\|_1\to0$ である（Lp空間）。積分の値の収束（後半）よりも強く、たとえば可測集合 $E$ ごとの積分 $\int_Ef_n$ が $\int_Ef$ に $E$ について一様に収束することを含む。
定理では極限 $f$ が可測であることを仮定した。ほとんど至るところの極限として $f$ を定めるときは、収束しない零集合 $N$ の上で $0$ とおいた $f:=\lim_nf_n1_{X\setminus N}$ を使えば、可測関数の列の各点の極限なので可測である（実部・虚部ごとに 上極限と下極限 の記事の命題「可測関数列の上極限と下極限」を使い、極限が上極限に等しいことによる）。測度が完備でないとき、ほとんど至るところ $f_n$ の極限に等しい関数が可測とは限らないので、この選び方が要る。
よく使う形
有界収束定理と項別積分
$\mu(X)<\infty$ とし、可測関数 $f_n,f\colon X\to\mathbb{C}$ がほとんど至るところ $f_n\to f$ を満たし、ある定数 $M$ について各 $n$ でほとんど至るところ $\lvert f_n\rvert\le M$ とする。このとき $\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\to0$ である。
定数関数 $g=M$ は $\int g=M\mu(X)<\infty$ を満たす可積分な優関数なので、thm-dct-main による。$\square$
確率空間では全体の測度が $1$ なので、一様に有界な確率変数の列がほとんど確実に収束すれば期待値も収束する（期待値）。
可測関数 $f_k\colon X\to\mathbb{C}$（$k\ge1$）が $\sum_k\int\lvert f_k\rvert\,d\mu<\infty$ を満たすとする。このとき、ほとんどすべての $x$ で $\sum_kf_k(x)$ は絶対収束し、その和 $f$（絶対収束しない点の集合は零集合であり、その上では $0$ とおく）は可積分で
$$
\int f\,d\mu=\sum_{k=1}^\infty\int f_k\,d\mu
$$
である。
$G_n:=\sum_{k\le n}\lvert f_k\rvert$ は非負可測関数の増加列で、各点で $G:=\sum_k\lvert f_k\rvert\in[0,\infty]$ に収束する。非負可測関数の積分の加法性（Lebesgue積分 の記事の定理「積分の線形性と単調性」の 1）と単調収束定理（同じ記事の定理「単調収束定理」）により $\int G=\lim_n\sum_{k\le n}\int\lvert f_k\rvert=\sum_k\int\lvert f_k\rvert<\infty$ である。よって零集合 $N$ の外で $G<\infty$ であり（同じ記事の補題「零集合と積分」の 2）、そこで $\sum_kf_k(x)$ は絶対収束する。部分和 $s_n:=\sum_{k\le n}f_k1_{X\setminus N}$ は各点で $f$ に収束し、$\lvert s_n\rvert\le G$ である。thm-dct-main と積分の線形性から $\int f=\lim_n\int s_n=\lim_n\sum_{k\le n}\int f_k$ を得る。$\square$
パラメータを含む積分
$t$ をパラメータとする関数 $F(t,x)$ を $x$ について積分した $\Phi(t):=\int F(t,x)\,d\mu(x)$ の連続性・微分可能性も、優収束定理から分かる。以下では、例外の零集合 $N$ が $t$ によらずに選べることを仮定に含めている。
$(T,d)$ を距離空間、$t_0\in T$ とし、$F\colon T\times X\to\mathbb{C}$ は各 $t\in T$ について $F(t,\cdot)$ が可測であるとする。零集合 $N$ と可積分な $g\colon X\to[0,\infty]$ があって、$x\notin N$ ならば
- $t\to t_0$ のとき $F(t,x)\to F(t_0,x)$、
- すべての $t\in T$ で $\lvert F(t,x)\rvert\le g(x)$
を満たすとする。このとき $\Phi(t):=\int F(t,x)\,d\mu(x)$ はすべての $t$ で定まり、$t\to t_0$ のとき $\Phi(t)\to\Phi(t_0)$ である。とくに、$x\notin N$ で $t\mapsto F(t,x)$ が連続なら $\Phi$ は連続である。
2 から各 $F(t,\cdot)$ は可積分なので $\Phi$ は定まる。$\Phi(t)\to\Phi(t_0)$ でないと仮定すると、ある $\varepsilon>0$ について、各 $n$ で $d(t_n,t_0)<\frac1n$ かつ $\lvert\Phi(t_n)-\Phi(t_0)\rvert\ge\varepsilon$ となる $t_n$ がある（$n$ ごとに 1 つ選ぶ。可算選択公理）。$f_n:=F(t_n,\cdot)$ は、$x\notin N$ で 1 から $f_n(x)\to F(t_0,x)$ を満たし、2 から $g$ を可積分な優関数にもつ。thm-dct-main により $\Phi(t_n)=\int f_n\to\int F(t_0,\cdot)=\Phi(t_0)$ となり、矛盾する。$\square$
$I\subset\mathbb{R}$ を開区間とし、$F\colon I\times X\to\mathbb{C}$ は各 $t\in I$ について $F(t,\cdot)$ が可積分であるとする。零集合 $N$ と可積分な $g\colon X\to[0,\infty]$ があって、$x\notin N$ ならば $t\mapsto F(t,x)$ は $I$ 上で微分可能で、すべての $t\in I$ について $\lvert\partial_tF(t,x)\rvert\le g(x)$ とする。このとき $\Phi(t):=\int F(t,x)\,d\mu(x)$ は $I$ 上で微分可能であり、
$$
\Phi'(t)=\int\partial_tF(t,x)\,d\mu(x)\qquad(t\in I)
$$
である。ここで右辺の被積分関数は、$N$ の上では $0$ とおいたものとする。
$t\in I$ を固定し、$D(x):=\partial_tF(t,x)$（$x\notin N$）、$D(x):=0$（$x\in N$）とおく。$0$ でない実数の列 $h_n\to0$ で $t+h_n\in I$ を満たすものを任意にとり、
$$
q_n(x):=\frac{F(t+h_n,x)-F(t,x)}{h_n}
$$
とおく。$q_n$ は可積分関数の差の定数倍なので可積分で、$\int q_n=\frac{\Phi(t+h_n)-\Phi(t)}{h_n}$ である。
$x\notin N$ では、微分の定義から $q_n(x)\to D(x)$ である。$D$ は可測関数 $q_n1_{X\setminus N}$ の各点の極限なので可測である。さらに $x\notin N$ では、実部 $\operatorname{Re}F(\cdot,x)$ に平均値の定理を使うと、$t$ と $t+h_n$ の間の $\xi$ で $\operatorname{Re}q_n(x)=\partial_t\operatorname{Re}F(\xi,x)$ となるので $\lvert\operatorname{Re}q_n(x)\rvert\le\lvert\partial_tF(\xi,x)\rvert\le g(x)$ であり、虚部も同様なので $\lvert q_n(x)\rvert\le2g(x)$ である。$2g$ は可積分な優関数なので、thm-dct-main により
$$
\frac{\Phi(t+h_n)-\Phi(t)}{h_n}=\int q_n\,d\mu\longrightarrow\int D\,d\mu
$$
である。$|D|\le g$ から $D$ は可積分である。$0$ に収束する列 $h_n$ は任意だったので、$\Phi$ は $t$ で微分可能で $\Phi'(t)=\int D\,d\mu$ である（もし差分商が $\int D$ に近づかなければ、prf-dct-parameter と同じように、差が $\varepsilon$ 以上となる $h_n\to0$ を選べて矛盾する）。$\square$
多変数の場合は、各変数について順に当てればよい。
$U\subset\mathbb{R}^m$ を開集合、$k\ge1$ とし、$F\colon U\times X\to\mathbb{C}$ について零集合 $N$ があって、$x\notin N$ では $F(\cdot,x)$ が $U$ 上で $C^k$ 級であるとする。さらに、$U$ の各点 $t$ に対し、$t$ を中心とする開球 $B\subset U$ と可積分な $g_B$ があって、位数 $\lvert\alpha\rvert\le k$ のすべての偏導関数について $\lvert\partial^\alpha F(s,x)\rvert\le g_B(x)$（$s\in B$、$x\notin N$）とし、各 $s\in U$ で $F(s,\cdot)$ は可測とする。このとき $\Phi(s):=\int F(s,x)\,d\mu(x)$ は $U$ 上で $C^k$ 級で、$\lvert\alpha\rvert\le k$ について $\partial^\alpha\Phi(s)=\int\partial^\alpha F(s,x)\,d\mu(x)$ である（被積分関数は $N$ の上で $0$ とおく）。
要点：偏導関数を 1 つずつ thm-dct-differentiation で積分の中へ入れ、連続性は thm-dct-parameter で確かめる。
詳しい証明を開く
$\lvert\alpha\rvert$ についての帰納法で、$\partial^\alpha\Phi$ が存在して $\int\partial^\alpha F$ に等しいことを示す。$\lvert\alpha\rvert=0$ は定義である。$\lvert\alpha\rvert< k$ で成り立つとし、$G(s,x):=\partial^\alpha F(s,x)$（$x\notin N$）、$G(s,x):=0$（$x\in N$）とおく。$G(s,\cdot)$ は可測であり（$\lvert\alpha\rvert\ge1$ なら差分商の各点の極限として、prf-dct-differentiation と同じ理由による）、$B$ の上で $\lvert G\rvert\le g_B$ なので可積分である。$s\in B$ と座標方向 $e_j$ について、開区間 $\{r\mid s+re_j\in B\}$ の上で $r\mapsto G(s+re_j,x)$ に thm-dct-differentiation を当てると、その導関数 $\partial_j\partial^\alpha F$ は $g_B$ で押さえられているので、$\partial_j\partial^\alpha\Phi(s)=\int\partial_j\partial^\alpha F(s,x)\,d\mu(x)$ を得る。$U$ は開球 $B$ で覆われるので、これは $U$ のすべての点で成り立つ。最後に、$\lvert\alpha\rvert\le k$ の $\partial^\alpha\Phi$ が連続であることは、$B$ の上で $\partial^\alpha F(\cdot,x)$ が連続で $g_B$ に押さえられていることから thm-dct-parameter で分かる。$\square$
すべての $k$ でこの仮定が満たされれば、$\Phi$ は $C^\infty$ 級である。たとえばコンパクトな台をもつ滑らかな関数と局所可積分な核の畳み込みが滑らかになることは、この系の典型的な使い方である（Dolbeaultの定理 の証明でも、局所可積分な核 $1/\zeta$ を含む積分をこの形で微分している）。
例
$$
\lim_{n\to\infty}\int_0^n\Bigl(1-\frac xn\Bigr)^ndx=1
$$
である。$f_n(x):=(1-\frac xn)^n1_{[0,n]}(x)$ を $[0,\infty)$ 上の関数とみる。$0\le u<1$ で $\log(1-u)\le-u$ なので、$0\le x< n$ で $0\le f_n(x)=e^{n\log(1-x/n)}\le e^{-x}$ であり、$x=n$ では $f_n(x)=0$ である。また各 $x\ge0$ で、$n>x$ なら $n\log(1-\frac xn)\to-x$ なので $f_n(x)\to e^{-x}$ である。$e^{-x}$ は $[0,\infty)$ 上で可積分で、Lebesgue積分 の記事の命題「非負関数の広義積分との一致」により $\int_{[0,\infty)}e^{-x}\,d\lambda=\lim_{R\to\infty}(1-e^{-R})=1$ である。thm-dct-main により $\int f_n\to1$ を得る。$f_n$ は連続なので、$\int f_n$ は Riemann 積分 $\int_0^n(1-\frac xn)^ndx$ に等しい（同じ記事の定理「Riemann積分との一致」）。直接計算すると $\int_0^n(1-\frac xn)^ndx=\frac n{n+1}$ であり、結果と合う。
$$
\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}\,dx=\frac\pi2
$$
である。$f_n(x):=\frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}$（$x>0$）とおく。$\lvert\sin u\rvert\le\lvert u\rvert$ から $\lvert f_n(x)\rvert\le\frac1{1+x^2}$ であり、$\frac{\sin u}u\to1$（$u\to0$）から各 $x>0$ で $f_n(x)\to\frac1{1+x^2}$ である。$\frac1{1+x^2}$ は $(0,\infty)$ 上で可積分で、積分は $\lim_{R\to\infty}\arctan R=\frac\pi2$ である（Lebesgue積分 の記事の命題「非負関数の広義積分との一致」）。thm-dct-main から結論を得る。ここで各 $f_n$ を直接積分するのは易しくない。極限の関数だけを積分すればよいのが、この定理の使い方である。
$t>0$ について $\Phi(t):=\int_0^\infty e^{-tx}\,dx=\frac1t$ である。$U=(0,\infty)$ の点 $t$ に対して $B:=(t/2,2t)$ をとると、$s\in B$、$x\ge0$ で $\lvert\partial_s^je^{-sx}\rvert=x^je^{-sx}\le x^je^{-tx/2}$ であり、右辺は $[0,\infty)$ 上で可積分である（$x^je^{-tx/2}\le C_je^{-tx/4}$ となる定数 $C_j$ がある）。cor-dct-smooth により $\Phi$ は $C^\infty$ 級で、$k$ 回微分すると
$$
\int_0^\infty x^ke^{-tx}\,dx=(-1)^k\Phi^{(k)}(t)=\frac{k!}{t^{k+1}}
$$
を得る。$t=1$ とすると $\int_0^\infty x^ke^{-x}dx=k!$ であり、ガンマ関数 の値 $\Gamma(k+1)=k!$ が部分積分なしで出る。同じ方法で Gauss 関数の Fourier 変換も計算できる（Gauss積分 の記事の系「Gauss関数のFourier変換」）。
$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度では積分は絶対収束する級数の和なので（Lebesgue積分 の記事の例「数え上げ測度による積分と級数」）、thm-dct-main は次の形になる：$a_{n,k}\to b_k$（$n\to\infty$、各 $k$）で、$\lvert a_{n,k}\rvert\le c_k$、$\sum_kc_k<\infty$ ならば $\sum_ka_{n,k}\to\sum_kb_k$。たとえば $a_{n,k}=\binom nk n^{-k}$（$k\le n$）、$a_{n,k}=0$（$k>n$）とすると、$\sum_ka_{n,k}=(1+\frac1n)^n$ である。$a_{n,k}=\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\bigl(1-\frac jn\bigr)$ なので $0\le a_{n,k}\le\frac1{k!}$、$a_{n,k}\to\frac1{k!}$ であり、$\sum_k\frac1{k!}<\infty$ だから $(1+\frac1n)^n\to\sum_{k\ge0}\frac1{k!}$ である。
反例：条件を外すと何が崩れるか
thm-dct-main と thm-dct-differentiation の仮定を 1 つずつ外す。測度は Lebesgue 測度である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 優関数の可積分性 | $\mathbb{R}$ 上の $f_n=1_{[n,n+1]}$（$1_{[0,\infty)}$ が押さえるが可積分でない） | $\int f_n\to\int f$ |
| 優関数が $n$ によらないこと | $(0,1)$ 上の $f_n=n\,1_{(0,1/n)}$（各 $f_n$ は可積分） | $\int f_n\to\int f$ |
| ほとんど至るところの収束 | $f_n=1_{[0,1]}$（$n$ が偶数）、$f_n=0$（$n$ が奇数） | $\int f_n$ が収束すること |
| 導関数の可積分な優関数 | $(-1,1)\times\mathbb{R}$ 上の $F(t,x)=e^{-x^2/t^2}$（$t\ne0$）、$F(0,x)=0$ | $\Phi'(0)=\int\partial_tF(0,x)\,dx$ |
- $f_n=1_{[n,n+1]}$ は各点で $0$ に収束し、$\lvert f_n\rvert\le1_{[0,\infty)}$ だが $\int f_n=1\not\to0$。どの優関数 $g$ もほとんど至るところ $g\ge\sup_nf_n=1_{[1,\infty)}$ を満たすので可積分でない。外れているのは優関数の可積分性だけである。
- $f_n=n\,1_{(0,1/n)}$ は各点で $0$ に収束し、各 $f_n$ は可積分（$\int f_n=1$）で $\lvert f_n\rvert$ 自身が $f_n$ の可積分な押さえになる。しかし $n$ によらない押さえは $\sup_nf_n$ 以上でなければならず、$x\in[\frac1{n+1},\frac1n)$ で $\sup_mf_m(x)\ge n\ge\frac1{2x}$ なので可積分でない（Lebesgue積分 の記事の命題「非負関数の広義積分との一致」）。結論は $\int f_n=1\not\to0$ で破れる。
- $\lvert f_n\rvert\le1_{[0,1]}$ は可積分な優関数だが、$[0,1]$ の各点で $f_n(x)$ は $1,0$ を交互にとり収束しない。$\int f_n$ は $1$ と $0$ を交互にとり、収束しない。
- $x\ne0$ を固定すると、$t\mapsto F(t,x)$ は $t\ne0$ で滑らか、$t=0$ でも差分商 $\frac{e^{-x^2/h^2}}h\to0$ なので微分可能で $\partial_tF(0,x)=0$ である。$x=0$ は零集合なので、仮定のうち微分可能性と各 $F(t,\cdot)$ の可積分性は成り立つ。一方 $\Phi(t)=\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/t^2}dx=\sqrt\pi\,\lvert t\rvert$（Gauss積分 の記事の定理「Gauss積分の値」で $a=1/t^2$）は $t=0$ で微分可能でなく、$\int\partial_tF(0,x)\,dx=0$ とも等しくなりえない。$t\ne0$ で $\partial_tF(t,x)=\frac{2x^2}{t^3}e^{-x^2/t^2}$ であり、$0<\lvert x\rvert<1$ のとき $\lvert t\rvert=\lvert x\rvert$ とおくと $\lvert\partial_tF(t,x)\rvert=\frac{2}{e\lvert x\rvert}$ となるので、すべての $t$ を押さえる関数は $0$ の近くで $\frac2{e\lvert x\rvert}$ 以上であり可積分でない。外れているのは導関数の優関数の仮定だけである。
補足
Riemann 積分の範囲では、極限と積分の交換は主に一様収束を仮定して示される（一様収束 の記事の定理「一様収束と積分の交換」）。有界閉区間の上で一様収束する連続関数の列は十分先で一様に有界なので、cor-dct-bounded の特別な場合になる（Lebesgue積分 の記事の定理「優収束定理」のあとの説明）。ex-dct-sine のように無限区間の上の積分や、ex-dct-exponential のように積分区間自体が動く積分は、一様収束の枠では扱いにくいが、優関数を 1 つ見つければすぐに片づく。
Lebesgue 積分の 3 つの収束定理は、仮定と結論が次のように異なる。
| 定理 | 列の仮定 | 結論 |
|---|---|---|
| 単調収束定理 | 非負で単調増加 | $\int\lim f_n=\lim\int f_n$（値 $\infty$ も可） |
| Fatou の補題 | 非負 | $\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$ |
| 優収束定理 | ほとんど至るところ収束し、可積分な優関数をもつ | $\int\lvert f_n-f\rvert\to0$ |
単調収束定理は Lebesgue積分 の記事の定理「単調収束定理」、Fatou の補題は Fatouの補題 の記事にある。$L^p$ 空間の完備性（Riesz–Fischerの定理）の証明では、$\lvert f_n-f\rvert^p$ に優収束定理を当てて $L^p$ での収束を示す。Fubiniの定理 は、積分の順序の交換についての対応する定理である。
Bre11 Theorem 4.2（p. 90）は、$L^1$ の関数の列がほとんど至るところ $f$ に収束し、すべての $n$ でほとんど至るところ $\lvert f_n\rvert\le g$ となる $g\in L^1$ があれば、$f\in L^1$ かつ $\|f_n-f\|_1\to0$ となる形で述べている（同書の第 4 章は σ-有限な測度空間と実数値の関数を前提にしている。この記事の証明は σ-有限性を使わない）。同じ頁に単調収束定理（Theorem 4.1）と Fatou の補題（Lemma 4.1）がある。
関連項目
- 前提: Lebesgue積分, 測度, 上極限と下極限
- 比較: Fatouの補題, 一様収束, Fubiniの定理
- 直後に読む: Riesz–Fischerの定理, Lp空間, 期待値
- 発展: 畳み込み, Gauss積分, ガンマ関数, Dolbeaultの定理
参考文献
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