Grassmann多様体

前提知識: 射影空間, 多様体, 外積代数

ベクトル空間 $V$ の原点を通る直線（1 次元部分空間）の全体が射影空間 $\mathbb{P}(V)$ であった。直線を $k$ 次元部分空間に替えたもの、すなわち「$V$ の $k$ 次元部分空間を 1 点とみなした空間」が Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,V)$ である。たとえば $\mathbb{R}^3$ の中の原点を通る平面の全体や、3 次元射影空間の中の直線の全体（$\operatorname{Gr}(2,K^4)$）がそうである。部分空間を行列の行空間として書くと、Grassmann 多様体は $\binom nk$ 個の座標近傍で覆われた次元 $k(n-k)$ の多様体になり（thm-grass-manifold）、部分空間に基底の外積を対応させると射影空間の中の 2 次式で定まる図形として実現される（Plücker 埋め込み、thm-grass-plucker）。各点にその部分空間自身を対応させるトートロジー束は、次元を無限にした極限ではベクトル束を引き戻しで分類する普遍的な束になり、Grassmann 多様体は特性類・分類空間・Schubert 計算の舞台になる。

定義

以下、$K$ を体、$V$ を $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、$0\le k\le n$ とする。

$\operatorname{Gr}_k(V)$、$G(k,n)$、$G_k(K^n)$ とも書く。$V$ の $k$ 次元部分空間は射影空間 $\mathbb{P}(V)$ の中の $(k-1)$ 次元の線形部分空間に対応するので、射影幾何の文脈では同じものを $G(k-1,n-1)$ と書くこともある。$\operatorname{Gr}(1,V)=\mathbb{P}(V)$ であり、$\operatorname{Gr}(0,V)$ と $\operatorname{Gr}(n,V)$ は 1 点である。

行列による表示と座標近傍

$W\in\operatorname{Gr}(k,n)$ の基底 $w_1,\dots,w_k$ を行に並べると、階数 $k$ の $k\times n$ 行列 $A$ で行空間が $W$ のものが得られる。2 つの階数 $k$ の行列 $A,A'$ の行空間が等しいことは、ある $g\in GL_k(K)$ で $A'=gA$ となることと同値である（基底の取り替え）。したがって
$$ \operatorname{Gr}(k,n)=\{\text{階数 }k\text{ の }k\times n\text{ 行列}\}/GL_k(K) $$
である。$k$ 元部分集合 $I\subset\{1,\dots,n\}$ について、$A$ の第 $I$ 列からなる $k\times k$ 小行列を $A_I$ と書く。$\det(gA)_I=\det g\cdot\det A_I$ なので、「$\det A_I\ne0$」は $W$ だけで決まる条件である。$K^{k(n-k)}$ の元を $k\times(n-k)$ 行列 $X$ とみなし、第 $I$ 列が単位行列 $I_k$、残りの列（番号の順）が $X$ である $k\times n$ 行列を $M_I(X)$ と書く。たとえば $I=\{1,\dots,k\}$ なら $M_I(X)=\begin{pmatrix}I_k&X\end{pmatrix}$ である。

$W\in U_I$ であることは、$W$ が $e_j$（$j\notin I$）の張る $(n-k)$ 次元部分空間と $0$ でしか交わらないことと同値である（$A$ の行を $e_i$（$i\in I$）の成分へ射影した $k$ 個のベクトルが 1 次独立であることと同じなので）。座標によらない形では、$k$ 次元部分空間 $W_0$ と補空間 $W'$（$V=W_0\oplus W'$）を 1 組選ぶと、$W'$ と $0$ でしか交わらない $W$ は、線形写像 $\psi\colon W_0\to W'$ のグラフ $\{w+\psi(w)\mid w\in W_0\}$ としてただ 1 通りに書ける（Nic26 Example 1.2.22）。$U_I$ は $W_0=\operatorname{span}(e_i\mid i\in I)$、$W'=\operatorname{span}(e_j\mid j\notin I)$ の場合で、$X$ はグラフを定める写像の行列である。

多様体の構造

$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。階数 $k$ の $k\times n$ 行列の全体 $\mathrm{St}$ は $K^{kn}$ の開集合（$k\times k$ 小行列式のどれかが $0$ でない集合）であり、行空間をとる写像 $q\colon\mathrm{St}\to\operatorname{Gr}(k,n)$ は全射である。$\operatorname{Gr}(k,n)$ に $q$ による商空間の位相を入れる。

$0< k< n$ なら $\operatorname{Gr}(k,n)$ は次元が $1$ 以上のコンパクトな多様体なので、1 つの座標近傍では覆えない（局所座標 の記事の定理「コンパクトな多様体は 1 つの局所座標では覆えない」）。Nicolaescu は $\operatorname{Gr}(k,V)$ を階数 $k$ の直交射影の全体と同一視して位相を入れ、上のグラフによる座標近傍で多様体の構造を与えている（Nic26 Example 1.2.22、Lemma 1.2.23）。どちらの方法でも、$\bar P$ が単射連続でコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので像への同相になり、同じ位相を与える。

例

$k=n-1$ では $\operatorname{Gr}(n-1,V)\cong\mathbb{P}(V^*)$、すなわち $V$ の超平面の全体は双対空間の射影空間である。$K=\mathbb{R}$ で内積を使えば、零化空間の代わりに直交補空間 $W\mapsto W^{\perp}$ で $\operatorname{Gr}(k,\mathbb{R}^n)\cong\operatorname{Gr}(n-k,\mathbb{R}^n)$ となる。

有限体上の点の個数

3 の多項式の係数には意味がある。行空間 $W$ の行列表示を行既約階段形にすると、主成分の列の集合 $I$ ごとに、残りの自由な成分が $K^{d_I}$ を動く。$\operatorname{Gr}(k,n)$ はこれらの部分集合（Schubert 胞体）に分かれ、各部分は $K^{d_I}$ と同じ形をしている（Vak25 7.7 の冒頭の注意）。$\operatorname{Gr}(2,4)$ では $d_I$ は $4,3,2,2,1,0$ で、$\mathbb{F}_q$ 上の点を数えると $q^4+q^3+2q^2+q+1$ になる。複素 Grassmann 多様体の Betti 数も同じ多項式で与えられ、$\operatorname{Gr}(k,\mathbb{C}^n)$ の Poincaré 多項式は $\binom nk_{t^2}$ に等しい（Nic26 §7.4.5 の最後の式）。たとえば $\operatorname{Gr}(2,\mathbb{C}^4)$ の Poincaré 多項式は $1+t^2+2t^4+t^6+t^8$ で、Euler 標数は $6$ である。

トートロジー束

$k=1$ のとき、これは ベクトル束 の記事の例「射影空間上のトートロジー束」である（Nic26 Example 2.1.36 も参照）。$n\to\infty$ の極限 $\operatorname{Gr}(k,K^\infty)=\bigcup_n\operatorname{Gr}(k,K^n)$（無限 Grassmann 多様体）とその上のトートロジー束は普遍的であり、パラコンパクト Hausdorff 空間 $B$ 上の階数 $k$ のベクトル束の同型類は、$B\to\operatorname{Gr}(k,K^\infty)$ のホモトピー類と一対一に対応する（ベクトル束 の記事の定理「ホモトピー不変性と分類」）。$\operatorname{Gr}(k,\mathbb{C}^\infty)$ は $U(k)$ の分類空間であり（同記事の例「ユニタリ群とGrassmann多様体」）、そのコホモロジー環の生成元を引き戻したものが Chern類 である（同記事の注意「存在の証明の出典」）。

Plücker 埋め込み

$W\in\operatorname{Gr}(k,V)$ の基底 $w_1,\dots,w_k$ をとり、$k$ 次の外冪 $\bigwedge^kV$ の元 $w_1\wedge\cdots\wedge w_k$ を考える。基底を取り替えるとこの元は $0$ でない定数倍だけ変わる（外積代数 の記事の命題「分解可能な $k$ ベクトルと部分空間」）ので、射影空間 $\mathbb{P}(\bigwedge^kV)$ の点が定まる。

$p$ の像は、Plücker 座標のあいだの 2 次の関係式（Plücker の関係式）で定まる $\mathbb{P}(\bigwedge^kV)$ の閉部分集合であり、任意の体の上で $\operatorname{Gr}(k,n)$ を射影多様体として実現する（Vak25 16.4.2、Exercise 16.4.G、16.4.3）。最も簡単な場合を完全に示す。

$\mathbb{P}^3$ の直線の全体は、$\mathbb{P}^5$ の中の 2 次超曲面（Klein の 2 次曲面）と同一視される（Vak25 Exercise 16.4.J）。標数が $2$ でなければ $Q(\omega)=0$ は $\omega\wedge\omega=0$ と同値であり、分解可能でない $2$ ベクトル $e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$（外積代数 の記事の例「反例：分解可能でない 2 ベクトル」）は $Q=1\ne0$ で、実際に像に入らない。

等質空間としての記述

$GL_n(K)$ は $K^n$（列ベクトル）に左から作用し、部分空間を部分空間に写すので、$\operatorname{Gr}(k,n)$ に $g\cdot W:=g(W)$ で作用する。$W_0:=\operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)$ とおく。

完全旗の全体についての同じ記述が 旗多様体 の記事の命題「等質空間としての記述」である。$P_{k,n}$ は放物型部分群の例であり、代数群の言葉では $\operatorname{Gr}(k,n)=GL_n/P_{k,n}$ は一般化された旗多様体の 1 つである（同記事の注意「一般の旗多様体と実形」）。

反例

1 行目は prop-grass-klein の直後の段落で確かめた。2 行目：複素多様体はつねに向き付け可能であり、とくに複素 Grassmann 多様体は向き付け可能である（Nic26 Proposition 3.4.12）。一方、実の Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(1,\mathbb{R}^3)=\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は Möbius の帯を含むので向き付け不可能である（射影平面 の記事の命題「実射影平面は Möbius の帯を含む」とその直後の段落）。3 行目：$k=0,n$ では $\operatorname{Gr}(k,n)$ は 1 点で 1 つの座標近傍 $U_I$ が全体であるが、$0< k< n$ ではコンパクトで次元 $k(n-k)\ge1$ なので 1 つでは覆えない（thm-grass-manifold の直後の段落）。

代数多様体・スキームとしての Grassmann 多様体

任意の体、さらに任意の環 $A$ の上でも、prop-grass-charts の座標近傍と座標変換の式をそのまま使って、$\binom nk$ 個のアフィン空間 $\mathbb{A}^{k(n-k)}_A$ を貼り合わせたスキーム $G(k,n)$ が作られる（Vak25 §7.7、Exercise 7.7.B・7.7.C）。Plücker 埋め込みは閉埋め込み $G(k,n)\to\mathbb{P}^{\binom nk-1}$ であり、$G(k,n)$ は射影的である（Vak25 Exercise 16.4.G）。とくに体上の Grassmann 多様体は射影多様体であり、完備（固有射）である。

関連項目

• 前提: 射影空間, 多様体, 外積代数
• 比較: 旗多様体, 射影束
• 直後に読む: ベクトル束, Chern類
• 発展: 分類空間, Schur多項式, 交叉理論