Riemann予想

同義語：リーマン予想Riemann hypothesis

概要

Riemann予想（Riemann hypothesis）とは、Riemann ゼータ関数 $\zeta(s)$ の非自明な零点、すなわち帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ にある零点の実部がすべて $\frac12$ であるという予想である。1859 年に Riemann が述べ、Hilbert の第 8 問題と Millennium 懸賞問題に含まれ、未解決である。$\operatorname{Re}s>\frac12$ に零点がないことと同値で、さらに $\pi(x)=\operatorname{Li}(x)+O(\sqrt x\log x)$ や、任意の $\varepsilon>0$ での $\psi(x)=x+O(x^{1/2+\varepsilon})$ とも同値であり、素数の分布の誤差の大きさを決める問題である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: Riemannゼータ関数, 素数定理, von Mangoldt関数, Möbius関数

Riemann予想 は、Riemann ゼータ関数 $\zeta(s)$ の非自明な零点の実部がすべて $\frac12$ であるという予想である。1859 年に Riemann が述べ、現在も未解決である。Hilbert が 1900 年に挙げた問題の第 8 問題（素数の問題）に含まれ（Hil02 pp. 456–457）、Clay 数学研究所の Millennium 懸賞問題の 1 つでもある（Bom06）。予想は素数の分布の誤差の大きさと同値で、$x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ が対数積分 $\operatorname{Li}(x)$ から $\sqrt x\log x$ の程度しかずれないことと言い換えられる。この記事では予想を述べ、零点について分かっていることを整理し、素数の個数・$\psi(x)$・Möbius 関数の和による言い換えを証明する。

主張

$s=\sigma+it$（$\sigma,t$ は実数）と書く。Riemannゼータ関数 は $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上の正則関数で、零点は負の偶数 $-2,-4,\dots$（自明な零点）と、帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$（臨界帯）の中の零点（非自明な零点）からなる（同記事の系「零点の位置」）。直線 $\operatorname{Re}s=\frac12$ を 臨界線 という。

Riemann予想

$\zeta$ の非自明な零点は、すべて臨界線 $\operatorname{Re}s=\frac12$ の上にある。

Riemann は $s=\frac12+it$ とおいた関数 $\xi(t)$ を考え、その零点がすべて実数であることを「非常にありそうだ」と述べた（Rie59 p. 4、Bom06 pp. 107–108）。$\xi(t)$ の零点 $t$ と非自明な零点 $\rho=\frac12+it$ が対応するので、これは上の予想と同じである。Bombieri は、多くの数学者の見方として、Riemann 予想と一般の $L$ 関数へのその拡張がおそらく純粋数学でもっとも重要な未解決問題であると述べている（Bom06 p. 108）。$L$ 関数への拡張は Dirichlet L関数 の予想「一般化Riemann予想」を参照。

半平面での言い換え

次の 3 つは同値である。

  1. Riemann 予想が成り立つ。
  2. $\operatorname{Re}s>\frac12$ で $\zeta(s)\neq0$ である。
  3. $\frac12<\operatorname{Re}s<1$ で $\zeta(s)\neq0$ である。

非自明な零点は開いた帯 $0<\operatorname{Re}s<1$ にあり（Dirichlet L関数 の定理「直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上の零点」の後の段落）、$\operatorname{Re}s>1$ に零点はない（Riemannゼータ関数 の定理「Euler 積」）。よって 2 と 3 は同値で、1 から 2 が従う。逆に 3 を仮定し、非自明な零点 $\rho$ で $\operatorname{Re}\rho<\frac12$ のものがあるとする。$0<\operatorname{Re}\rho<1$ の零点の全体は $s\mapsto1-s$ と複素共役で保たれる（Riemannゼータ関数 の系「零点の位置」の (R4)）ので、$1-\bar\rho$ も零点で、$\operatorname{Re}(1-\bar\rho)=1-\operatorname{Re}\rho\in(\frac12,1)$ となり 3 に反する。$\square$

分かっていること

次のことが知られている。1 は Dirichlet L関数 で、零点の和についての評価は 明示公式(素数分布) で証明する。2〜5 はこの記事では証明しない。

  1. 直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上に零点はない． したがって非自明な零点は $0<\operatorname{Re}s<1$ にあり、無限個ある（明示公式(素数分布) の命題「零点にわたる部分分数展開」）。
  2. 零点のない領域． Korobov と Vinogradov の方法により、ある $c>0$ について $\lvert t\rvert\ge3$、$\sigma>1-c(\log\lvert t\rvert)^{-2/3}(\log\log\lvert t\rvert)^{-1/3}$ に零点はない（For02 §1、p. 1）。
  3. 零点の個数． Riemann の $\xi(t)$ の零点 $t$ のうち実部が $0$ と $h$ の間にあるもの（非自明な零点のうち虚部が $0$ と $h$ の間にあるもの）の個数を $N(h)$ とすると、$h\le12$ で $N(h)=0$、$h>12$ で $\bigl\lvert N(h)-\frac h{2\pi}\log\frac h{2\pi}+\frac h{2\pi}\bigr\rvert<0.34(\log h)^2+1.35\log h+2.58$ である（von Mangoldt、vM95 p. 256）。
  4. 臨界線上の零点． 非自明な零点の 40% より多くが単純零点で臨界線上にある（Bom06 p. 119）。Bombieri はこれを Selberg、Levinson、Conrey の仕事に帰しており、文献表では Levinson の論文が 3 分の 1 より多く、Conrey の論文が 5 分の 2 より多くの零点が臨界線上にあることを題に掲げている（同 pp. 123–124）。
  5. 数値計算． 虚部 $\gamma$ が $0<\gamma\le3\,000\,175\,332\,800$ の零点、すなわち虚部の小さい方から $12\,363\,153\,437\,138$ 個の非自明な零点は、すべて臨界線上にある（Platt–Trudgian、PT20 Theorem 1）。
    有限体上の曲線の合同ゼータ関数については、Riemann 予想の類似が Weil により証明され、一般の多様体へは Deligne が証明した（Bom06 p. 120。Weil予想、合同ゼータ関数）。

素数の個数による言い換え

$\pi(x)$ を $x$ 以下の素数の個数、$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$、$\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$ とし（von Mangoldt関数）、$\operatorname{Li}(x):=\int_2^x\frac{dt}{\log t}$ とする（対数積分 の $\operatorname{li}(x)$ とは定数 $\operatorname{li}(2)$ だけ違う）。素数定理 は $\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)$ を述べるが、差の大きさは零点の位置で決まる。

誤差項による言い換え

次の 3 つは同値である。

  1. Riemann 予想が成り立つ。
  2. 任意の $\varepsilon>0$ について $\psi(x)=x+O(x^{1/2+\varepsilon})$（$x\to\infty$）である。
  3. $\pi(x)=\operatorname{Li}(x)+O(\sqrt x\log x)$（$x\to\infty$）である。
    さらに、Riemann 予想のもとで $\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$ である。

1 と 2． 明示公式(素数分布) の系「零点のない半平面と誤差項」を $\Theta=\frac12$ で使い、prop-rh-half と合わせる。同じ系から、1 のもとで $\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$ である。
1 から 3． $E(t):=\theta(t)-t$ とおく。von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」の $0\le\psi(x)-\theta(x)\le\frac{\sqrt x\log^2x}{2\log2}$ と上の評価から、$t\ge2$ で $\lvert E(t)\rvert\le K\sqrt t\log^2t$ となる定数 $K$ がある。Abelの級数変形法とその応用 の命題「素数の個数と Chebyshev 関数の関係」の $\pi(x)=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}\,dt$ と、部分積分による $\operatorname{Li}(x)=\frac x{\log x}-\frac2{\log2}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2t}$ を引くと
$$ \pi(x)-\operatorname{Li}(x)=\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2t}\,dt+\frac2{\log2} $$
である。右辺の第 1 項は $K\sqrt x\log x$ 以下、積分は $K\int_2^xt^{-1/2}\,dt\le2K\sqrt x$ 以下なので 3 を得る。
3 から 2． $D(t):=\pi(t)-\operatorname{Li}(t)$ とし、$t\ge2$ で $\lvert D(t)\rvert\le K\sqrt t\log t$ とする。同じ命題の $\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_2^x\frac{\pi(t)}t\,dt$ と、$\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{Li}(t)\log t\bigr)=1+\frac{\operatorname{Li}(t)}t$、$\operatorname{Li}(2)=0$ から出る $\operatorname{Li}(x)\log x-\int_2^x\frac{\operatorname{Li}(t)}t\,dt=x-2$ を引くと
$$ \theta(x)-(x-2)=D(x)\log x-\int_2^x\frac{D(t)}t\,dt $$
である。右辺は $K\sqrt x\log^2x+K\int_2^xt^{-1/2}\log t\,dt\le K\sqrt x\log^2x+2K\sqrt x\log x$ 以下である。$\psi(x)-\theta(x)=O(\sqrt x\log^2x)$ と合わせて $\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)$ となり、2 が成り立つ。$\square$

1 と 3 の同値は Bombieri の問題文にも述べられている（Bom06 pp. 110–111）。誤差を明示した形として、Schoenfeld は Riemann 予想のもとで $x\ge2657$ について $\lvert\pi(x)-\operatorname{li}(x)\rvert<\frac1{8\pi}\sqrt x\log x$ を示した（Sch76 Corollary 1、p. 339。この記事では証明しない）。逆向きの限界として、Littlewood は $\pi(x)-\operatorname{Li}(x)$ が両方向に少なくとも $\operatorname{Li}(\sqrt x)\log\log\log x$ の大きさで振動することを示しており、3 の誤差の大きさは大きくは改良できない（Bom06 p. 111。この記事では証明しない）。

Möbius 関数の和による判定

Möbius関数 $\mu$ と Liouville関数 $\lambda$ の和を $M(x):=\sum_{n\le x}\mu(n)$、$L(x):=\sum_{n\le x}\lambda(n)$ とおく。$\mu$ や $\lambda$ の値 $\pm1$ が十分に打ち消し合うなら、零点は右側に現れない。

和の大きさと零点
  1. $0<\Theta<1$ とする。定数 $K$ があってすべての $x\ge1$ で $\lvert M(x)\rvert\le Kx^\Theta$ なら、$\operatorname{Re}s>\Theta$ で $\zeta(s)\neq0$ である。
  2. $\frac12\le\Theta<1$ とする。すべての $x\ge1$ で $\lvert L(x)\rvert\le Kx^\Theta$ なら、$\operatorname{Re}s>\Theta$ で $\zeta(s)\neq0$ である。
  3. とくに、任意の $\varepsilon>0$ について $M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ であるか、$L(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ であれば、Riemann 予想が成り立つ。

1：$\operatorname{Re}s>1$ では $\frac1{\zeta(s)}=\sum_n\mu(n)n^{-s}$ である（Riemannゼータ関数 の定理「$1/\zeta(s)$ の級数表示」）。Abelの級数変形法とその応用 の系「正の整数から始まる和」を $f(t)=t^{-s}$ に当て、$\lvert M(x)x^{-s}\rvert\le x^{1-\sigma}\to0$ を使うと
$$ \frac1{\zeta(s)}=s\int_1^\infty M(t)\,t^{-s-1}\,dt $$
である。仮定から被積分関数は $Kt^{\Theta-\operatorname{Re}s-1}$ 以下なので、右辺 $G(s)$ は $\operatorname{Re}s>\Theta$ で局所一様に絶対収束し、正則である。$\zeta(s)G(s)=1$ が $\operatorname{Re}s>1$ で成り立ち、両辺は連結な領域 $\{\operatorname{Re}s>\Theta\}\setminus\{1\}$ 上で正則なので、一致の定理 によりそこ全体で成り立つ。よって $\zeta(s)\neq0$ である。
2：$\operatorname{Re}s>1$ では $\sum_n\lambda(n)n^{-s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}$ である（Liouville関数 の定理「$\lambda$ の Dirichlet 級数」）。1 と同じく右辺を $s\int_1^\infty L(t)t^{-s-1}\,dt=:H(s)$ と書くと $H$ は $\operatorname{Re}s>\Theta$ で正則で、$\zeta(s)H(s)=\zeta(2s)$ が $\{\operatorname{Re}s>\Theta\}\setminus\{1\}$ で成り立つ。$\operatorname{Re}s>\Theta\ge\frac12$ なら $\operatorname{Re}2s>1$ で $\zeta(2s)\neq0$ なので、$\zeta(s)\neq0$ である。
3：$\varepsilon$ ごとに 1 または 2 を $\Theta=\frac12+\varepsilon$ で使い（$x$ の小さい範囲は定数 $K$ を大きくとって含める）、prop-rh-half による。$\square$

2 の証明で $\Theta\ge\frac12$ を使ったのは、$\zeta(2s)$ の零点が $\zeta(s)H(s)$ の零点として現れうるからである。$\lvert L(x)\rvert$ の大きさについては、$L(x)\le0$ がすべての $x\ge2$ で成り立つという主張（Pólya の予想）が偽であることが知られている（Liouville関数 の記事）。

帰結

Riemann 予想や一般化 Riemann 予想を仮定して示される結果は多い。冪乗因数をもたない整数 の個数の誤差項の改良（同記事の定理「誤差項の改良」）、Miller の決定的な素数判定法の正当化（Bom06 p. 111、Miller-Rabin素数判定法）などがその例である。Bombieri は、一般の Riemann 予想の帰結として期待された結果の多くが、予想を使わずに証明されてきたことも指摘している（Bom06 p. 111）。

反例と注意

外す条件反例成り立たなくなること
$s\mapsto1-s$ の関数等式$\eta(s):=(1-2^{1-s})\zeta(s)$帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ の零点の全体が $s\mapsto1-\bar s$ で保たれる
誤差の指数を $\frac12$ 以上にとる$\psi(x)-x$ と指数 $\Theta<\frac12$$\psi(x)=x+O(x^\Theta)$
和の指数を $\frac12$ 以上にとる$M(x)$ と指数 $\Theta<\frac12$$M(x)=O(x^\Theta)$
反例の確かめ

1 行目：$\operatorname{Re}s>1$ で $\eta(s)=\sum_n n^{-s}-2\sum_n(2n)^{-s}=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n^{-s}$ である。$s_k:=1+\frac{2\pi ik}{\log2}$（$k\neq0$ の整数）では $2^{1-s_k}=1$ で、$\zeta(s_k)$ は有限で $0$ でない（Dirichlet L関数 の定理「直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上の零点」）ので $\eta(s_k)=0$ である。一方 $2^{1-(1-\bar s_k)}=2^{\bar s_k}=2$ なので $1-2^{1-(1-\bar s_k)}=-1$ で、$\operatorname{Re}(1-\bar s_k)=0$ の $\zeta(1-\bar s_k)$ は $0$ でない（非自明な零点は開いた帯にあり、$1-\bar s_k\neq0$）。よって $\eta(1-\bar s_k)\neq0$ である。$\zeta$ ではこの対称性が関数等式から従うが、$\eta$ の $2$ での因子がそれを崩している。
2 行目：明示公式(素数分布) の系「指数 $\frac12$ は改良できない」による。
3 行目：$M(x)=O(x^\Theta)$ なら、$\Theta\le0$ のときは $\Theta$ を $\frac14$ に替えても成り立つので $0<\Theta<\frac12$ としてよく、prop-rh-mertens の 1 により $\operatorname{Re}s>\Theta$ に零点がない。ところが非自明な零点 $\rho$ について $\rho$ と $1-\bar\rho$ の一方の実部は $\frac12$ 以上なので、$\Theta<\frac12$ では矛盾する。

関連項目

参考文献

[1]
Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis, The Millennium Prize Problems (J. Carlson, A. Jaffe, A. Wiles eds.), Clay Mathematics Institute / American Mathematical Society, 107–124（pp. 107–108（問題の主張と Riemann の言明）、pp. 110–111（π(x) の誤差との同値、Littlewood の振動、一般の L 関数と Miller の判定法）、p. 119（臨界線上の零点の割合）、p. 120（有限体上の曲線と多様体の場合）、pp. 123–124（文献表））
[3]
David Hilbert, Mathematical Problems (translated by Mary Winston Newson), Bulletin of the American Mathematical Society, 1902, pp. 437–479（§8 Problems of prime numbers, pp. 456–457）
[4]
Hans von Mangoldt, Zu Riemanns Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1895, pp. 255–305（零点の個数の評価の主張, p. 256）

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