Riesz–Fischerの定理

1：$G_n:=\sum_{k=1}^n\lvert f_{k+1}-f_k\rvert$ とおく。Lp空間 の記事の定理「Minkowskiの不等式」を繰り返し使うと $\|G_n\|_p\le\sum_{k\le n}\|f_{k+1}-f_k\|_p\le S$ である。$G_n^p$ は非負可測関数の増加列で、各点で $G^p$ に収束するので（$t\mapsto t^p$ は $[0,\infty]$ 上で増加かつ連続）、Lebesgue積分 の記事の定理「単調収束定理」により
$$ \int G^p\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int G_n^p\,d\mu\le S^p<\infty $$
である。よって $\|G\|_p\le S$ であり、同じ記事の補題「零集合と積分」の 2 から $N:=\{G=\infty\}$ は零集合である。
2：$x\notin N$ と $m>k$ について、三角不等式から
$$ \lvert f_m(x)-f_k(x)\rvert\le\sum_{j=k}^{m-1}\lvert f_{j+1}(x)-f_j(x)\rvert\le\sum_{j\ge k}\lvert f_{j+1}(x)-f_j(x)\rvert $$
であり、右辺は収束する級数 $G(x)$ の尾なので $k\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $(f_k(x))$ は $F$ の Cauchy 列であり、$F$ の完備性により収束する。$f_k1_{X\setminus N}$ は可測関数で、各点で $f$ に収束するので、$f$ は可測である（実部・虚部ごとに、極限は上極限に等しく、上極限と下極限 の記事の命題「可測関数列の上極限と下極限」により可測）。上の不等式で $m\to\infty$ とすると、$N$ の外で $\lvert f-f_k\rvert\le\sum_{j\ge k}\lvert f_{j+1}-f_j\rvert\le G$ である。$\lvert f_k\rvert\le\lvert f_1\rvert+\sum_{j< k}\lvert f_{j+1}-f_j\rvert\le\lvert f_1\rvert+G$ も三角不等式から分かる。
3：$N$ の外で $\lvert f\rvert\le\lvert f_1\rvert+G$ なので、Minkowski の不等式から $\|f\|_p\le\|f_1\|_p+\|G\|_p<\infty$ である。$h_k:=\lvert f_k-f\rvert^p1_{X\setminus N}$ は、各点で $0$ に収束し（2）、$N$ の外で $h_k\le G^p$ を満たす。$G^p1_{X\setminus N}$ は実数値で可積分なので、Lebesgue積分 の記事の定理「優収束定理」により $\int h_k\to0$ である。$h_k$ は $\lvert f_k-f\rvert^p$ とほとんど至るところ等しいので、$\|f_k-f\|_p^p=\int h_k\,d\mu\to0$ である。$\square$

$1\le p<\infty$ の場合．$(f_n)$ を $L^p(\mu)$ の Cauchy 列とし、代表を 1 つずつとる（可算選択公理）。各 $k\ge1$ について、$m,n\ge N$ なら $\|f_m-f_n\|_p\le2^{-k}$ となる最小の $N$ を $N_k$ とし、$n_1:=N_1$、$n_k:=\max(N_k,n_{k-1}+1)$（$k\ge2$）と定める。すると $n_1< n_2<\cdots$ で $n_k\ge N_k$ なので、
$$ \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\le2^{-k}\qquad(k\ge1) $$
であり、$\sum_k\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\le1$ である。部分列 $(f_{n_k})$ に lem-rf-fast を使うと、$f\in\mathcal{L}^p(\mu)$ があって $\|f_{n_k}-f\|_p\to0$ となる。
元の列も $f$ に収束することを示す。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge M$ なら $\|f_m-f_n\|_p<\frac\varepsilon2$ となる $M$ をとり、$n_k\ge M$ かつ $\|f_{n_k}-f\|_p<\frac\varepsilon2$ となる $k$ をとる（$n_k\ge k$ なので $k$ を大きくとればよい）。$n\ge M$ ならば
$$ \|f_n-f\|_p\le\|f_n-f_{n_k}\|_p+\|f_{n_k}-f\|_p<\varepsilon $$
である。よって $f_n\to f$ である。
$p=\infty$ の場合．$(f_n)$ を $L^\infty(\mu)$ の Cauchy 列とし、代表をとる。Lp空間 の記事の補題「本質的上限は達成される」により、各 $m,n$ について $E_{m,n}:=\{\lvert f_m-f_n\rvert>\|f_m-f_n\|_\infty\}$ は零集合であり、$f_n$ についても $E_n:=\{\lvert f_n\rvert>\|f_n\|_\infty\}$ は零集合である。これら可算個の和を $E$ とすると $E$ は零集合で、$E$ の外ではすべての $m,n$ について $\lvert f_m(x)-f_n(x)\rvert\le\|f_m-f_n\|_\infty$ が成り立つ。
$k\ge1$ について、$m,n\ge N$ なら $\|f_m-f_n\|_\infty\le\frac1k$ となる最小の $N$ を $N_k$ とする。$x\notin E$ では $(f_n(x))$ は $F$ の Cauchy 列なので収束し、$f:=\lim_nf_n1_{X\setminus E}$ は可測である。$n\ge N_k$ と $x\notin E$ について、$m\ge N_k$ での $\lvert f_m(x)-f_n(x)\rvert\le\frac1k$ で $m\to\infty$ とすると $\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\le\frac1k$ である。したがって $E$ の外で $\lvert f\rvert\le\lvert f_{N_1}\rvert+1\le\|f_{N_1}\|_\infty+1$ となり $f\in\mathcal{L}^\infty(\mu)$ であり、$n\ge N_k$ で $\|f-f_n\|_\infty\le\frac1k$、すなわち $f_n\to f$ である。$\square$

$1\le p<\infty$ とする。収束する列は Cauchy 列なので（$\|f_m-f_n\|_p\le\|f_m-f\|_p+\|f-f_n\|_p$）、prf-rf-main と同じように部分列 $(f_{n_k})$ を選ぶと $\sum_k\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\le1$ である。lem-rf-fast により、零集合 $N$ の外で $f_{n_k}$ が収束する可測関数 $f^\ast\in\mathcal{L}^p(\mu)$ があって、$\|f_{n_k}-f^\ast\|_p\to0$ であり、$G:=\sum_k\lvert f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\rvert$ について $N$ の外で $\lvert f_{n_k}\rvert\le\lvert f_{n_1}\rvert+G$ である。
ノルム空間の極限は 1 つしかないので（$\|f-f^\ast\|_p\le\|f-f_{n_k}\|_p+\|f_{n_k}-f^\ast\|_p\to0$）、$\|f-f^\ast\|_p=0$、すなわちほとんど至るところ $f=f^\ast$ である（Lp空間 の記事の系「$L^p$ はノルム空間」の正値性）。よって零集合を除いて $f_{n_k}\to f^\ast=f$ であり、1 が成り立つ。$h:=(\lvert f_{n_1}\rvert+G)1_{X\setminus N}$ とおけば、$h$ は値が $[0,\infty)$ の可測関数で、Minkowski の不等式から $\|h\|_p\le\|f_{n_1}\|_p+1<\infty$ であり、2 が成り立つ。
$p=\infty$ の場合：Lp空間 の記事の補題「本質的上限は達成される」により $E_n:=\{\lvert f_n-f\rvert>\|f_n-f\|_\infty\}$ は零集合で、$E:=\bigcup_nE_n$ の外では $\sup_x\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\le\|f_n-f\|_\infty\to0$ である。$\square$

thm-rf-subsequence の部分列 $(f_{n_k})$ はほとんど至るところ $f$ に収束し（$p=\infty$ では列全体がそうである）、ほとんど至るところ $g$ にも収束する。2 つの零集合の和の外では、数列 $f_{n_k}(x)$ の極限は 1 つなので $f(x)=g(x)$ である。$\square$

$s_n:=\sum_{k\le n}a_ke_k$ とおく。$m< n$ なら、正規直交性から交差項が消えて
$$ \|s_n-s_m\|_2^2=\Bigl\langle\sum_{k=m+1}^na_ke_k,\sum_{l=m+1}^na_le_l\Bigr\rangle=\sum_{k=m+1}^n\lvert a_k\rvert^2 $$
であり、右辺は収束する級数 $\sum_k\lvert a_k\rvert^2$ の尾の部分なので、$m,n\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $(s_n)$ は $L^2(\mu)$ の Cauchy 列であり、thm-rf-main により極限 $f\in L^2(\mu)$ がある。
$n\ge j$ なら $\langle s_n,e_j\rangle=a_j$ である。積分の形の Cauchy–Schwarz の不等式（Lp空間 の記事の定理「Hölderの不等式」の $p=2$）により $\lvert\langle f-s_n,e_j\rangle\rvert\le\|f-s_n\|_2\|e_j\|_2\to0$ なので、$\langle f,e_j\rangle=\lim_n\langle s_n,e_j\rangle=a_j$ である。最後に、ノルムの三角不等式から $\bigl\lvert\|f\|_2-\|s_n\|_2\bigr\rvert\le\|f-s_n\|_2\to0$ であり、$\|s_n\|_2^2=\sum_{k\le n}\lvert a_k\rvert^2$ なので $\|f\|_2^2=\sum_k\lvert a_k\rvert^2$ である。$\square$