Stein空間

1：$f\in\mathcal{O}(X)$ とする。$|z_1|<1$ と任意の $z_2$ に対し
$$ F(z_1,z_2):=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta,z_2)}{\zeta-z_1}\,d\zeta $$
とおく。積分路上の点 $(\zeta,z_2)$ は原点でないので、$F$ は $\{|z_1|<1\}\times\mathbb{C}$ 上正則である。$z_2\ne0$ なら $\zeta\mapsto f(\zeta,z_2)$ は円板 $|\zeta|\le1$ の近傍で正則なので、Cauchy の積分公式（Cauchyの積分公式）により $F(z_1,z_2)=f(z_1,z_2)$（$|z_1|<1$）である。よって $F$ と $f$ は $X\cap(\{|z_1|<1\}\times\mathbb{C})$ の稠密（稠密）な部分集合 $\{z_2\ne0\}$ で一致し、連続性により全体で一致する。ゆえに $F$ を $X$ 上の $f$ と貼り合わせたものが $f$ の $\mathbb{C}^2$ への延長を与え、一意性は一致の定理による。
2：$K:=\{\|z\|=1\}$ とし、$f\in\mathcal{O}(X)$ の延長を $F$ とする。閉単位球上で最大値原理（最大値原理）により $|F(z)|\le\sup_K|f|$（$\|z\|\le1$）なので、$\widehat{K}_X\supset\{z\in X\mid\|z\|\le1\}$ である。右辺は $X$ の閉集合だが、点列 $(1/m,0)$ が $X$ に集積点（集積点）をもたないのでコンパクトでなく、ゆえに $\widehat{K}_X$ もコンパクトでない。
3：$U_1:=\{z_1\ne0\}$、$U_2:=\{z_2\ne0\}$ とおくと $X=U_1\cup U_2$ であり、$U_1\cong\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}$、$U_2\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$、$U_1\cap U_2=(\mathbb{C}^*)^2$ はいずれも Stein である（ex-stein-space-subvariety）。定理 B（thm-stein-space-cartan-ab）によりこれらの上で $\mathcal{O}$ の高次コホモロジーは消えるので、Leray の定理（Čechコホモロジー）により $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は被覆 $\{U_1,U_2\}$ の Čech コホモロジー
$$ \mathcal{O}(U_1\cap U_2)\big/\{\,g-h\mid g\in\mathcal{O}(U_1),\ h\in\mathcal{O}(U_2)\,\} $$
に等しい。Laurent展開により $\mathcal{O}(U_1\cap U_2)$ の元は $\sum_{(a,b)\in\mathbb{Z}^2}c_{ab}z_1^az_2^b$ の形に一意に展開され、$\mathcal{O}(U_1)$ の元の展開は $b\ge0$ の項だけ、$\mathcal{O}(U_2)$ の元の展開は $a\ge0$ の項だけをもつ（正則な変数の負冪の係数は Cauchy の積分公式により $0$ である）。ゆえに $g-h$ の展開に $a<0$ かつ $b<0$ の項は現れず、$z_1^{-a}z_2^{-b}$（$a,b\ge1$）の類は展開の一意性により $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ の中で一次独立である。$\square$

準備：開集合 $V\subset\mathbb{C}$ 上の直積（直積）$\prod_m\mathcal{O}$ の切断は正則関数の任意の列 $(s_m)_{m\ge1}$ であり、$\bigoplus_m\mathcal{O}$ の切断はそのうち局所有限（局所有限）なもの、すなわち各点の近傍で有限個を除くすべての $s_m$ が恒等的に $0$ になるものである。$V$ が連結なら、一致の定理により、局所有限な列とは有限個を除いて恒等的に $0$ の列にほかならない。包含 $\bigoplus\mathcal{O}\to\prod\mathcal{O}$ の余核を $\mathcal{P}$ とおくと、短完全列（短完全列）$0\to\bigoplus\mathcal{O}\to\prod\mathcal{O}\to\mathcal{P}\to0$ の長完全列（長完全列）の一部
$$ \prod_m\mathcal{O}(\mathbb{C})=\Gamma\bigl(\mathbb{C},\prod\mathcal{O}\bigr)\to\Gamma(\mathbb{C},\mathcal{P})\xrightarrow{\ \delta\ }H^1\bigl(\mathbb{C},\bigoplus\mathcal{O}\bigr) $$
は完全なので、左の写像の像に入らない $\sigma\in\Gamma(\mathbb{C},\mathcal{P})$ を作れば $\delta(\sigma)\ne0$ である。
$\sigma$ の構成：$k\ge1$ に対し $D_k:=\{|z|< k\}$ とし、$D_k$ 上の列 $t^{(k)}$ を $t^{(k)}_m:=1/(z-m)$（$m>k$）、$t^{(k)}_m:=0$（$m\le k$）で定める。$m>k$ なら $z=m$ は $D_k$ の外なので $t^{(k)}\in\Gamma(D_k,\prod\mathcal{O})$ である。$k< k'$ のとき $D_k$ 上で $t^{(k)}-t^{(k')}$ の成分は $k< m\le k'$ の有限個以外 $0$ なので $\Gamma(D_k,\bigoplus\mathcal{O})$ に属し、$t^{(k)}$ と $t^{(k')}|_{D_k}$ は $\Gamma(D_k,\mathcal{P})$ で同じ類を定める。層の貼り合わせの公理により、$D_k$ への制限が $t^{(k)}$ の類になる $\sigma\in\Gamma(\mathbb{C},\mathcal{P})$ が存在する。
$\sigma$ が持ち上がらないこと：整関数（整関数）の列 $(F_m)_m$ の類が $\sigma$ に等しいと仮定する。各 $k$ で $(F_m|_{D_k}-t^{(k)}_m)_m$ の類は $\Gamma(D_k,\mathcal{P})$ で $0$ なので、この列は $\Gamma(D_k,\bigoplus\mathcal{O})$ の元、すなわち $D_k$ 上で局所有限な列である。$D_k$ は連結なので、有限個の $m$ を除いて $D_k$ 上 $F_m=t^{(k)}_m$ である。$k=1$ をとると、十分大きいすべての $m$ について $D_1$ 上 $F_m(z)=1/(z-m)$ であり、一致の定理により $\mathbb{C}-\{m\}$ 上でも $F_m(z)=1/(z-m)$ となる。左辺は $z\to m$ で有界、右辺は非有界であり矛盾する。$\square$

段 1（商層）：$\mathcal{Q}:=\mathcal{O}_X(*Y)/\mathcal{O}_X$ とおく。$Y$ の外では $\mathcal{O}_X(*Y)=\mathcal{O}_X$ なので $\mathcal{Q}$ は $Y$ に台をもつ。$Y$ の点の近傍で正則な $g$ を $z_1$ について $g=\sum_{j\ge0}g_j(z_2)z_1^j$（$g_j$ は $Y\cong\mathbb{C}$ の開集合上の正則関数）と展開し、$g/z_1^N$ に主要部
$$ P\Bigl(\frac{g}{z_1^N}\Bigr):=\sum_{m=1}^{N}g_{N-m}(z_2)\,z_1^{-m} $$
を対応させる。$g/z_1^N=g'/z_1^{N'}$ なら $gz_1^{N'}=g'z_1^{N}$ で、両辺の展開係数を比べれば主要部は一致するので $P$ は表示に依らない。係数列 $(g_{N-m})_{1\le m\le N}$ を $m>N$ で $0$ として延ばせば、$P$ は層の準同型 $P\colon\mathcal{O}_X(*Y)\to i_*(\bigoplus_{m\ge1}\mathcal{O}_Y)$ を与える（切断は局所的に $g/z_1^N$ と書けるので係数列は局所有限である）。$P(g/z_1^N)=0$ となるのは $g_0=\dots=g_{N-1}=0$、すなわち $g/z_1^N$ が正則なときに限るので $\ker P=\mathcal{O}_X$ である。また $y\in Y$ での $i_*(\bigoplus\mathcal{O}_Y)$ の茎（茎）の元は有限列 $(h_1,\dots,h_M)$ であり、$g:=\sum_{m=1}^{M}h_m(z_2)z_1^{M-m}$ とおけば $P(g/z_1^M)=(h_1,\dots,h_M)$ なので $P$ は茎の上で全射である。ゆえに $\mathcal{Q}\cong i_*(\bigoplus_{m\ge1}\mathcal{O}_Y)$ である。
段 2（順像）：$i$ は閉埋め込み（閉埋め込み）なので $i_*$ は茎の上で見て完全関手（完全関手）であり、flasque 層（flasque層）を flasque 層に送り、$\Gamma(X,i_*\mathcal{A})=\Gamma(Y,\mathcal{A})$ を満たす。よって $\mathcal{A}$ の flasque 分解を $i_*$ で送れば $i_*\mathcal{A}$ の flasque 分解になり、$H^q(X,i_*\mathcal{A})\cong H^q(Y,\mathcal{A})$ である。
段 3（長完全列）：$0\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X(*Y)\to\mathcal{Q}\to0$ の長完全列 $H^1(X,\mathcal{O}_X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X(*Y))\to H^1(X,\mathcal{Q})\to H^2(X,\mathcal{O}_X)$ の両端は、$\mathbb{C}^2$ が Stein で $\mathcal{O}_X$ が連接なので定理 B により $0$ である。よって $H^1(X,\mathcal{O}_X(*Y))\cong H^1(X,\mathcal{Q})\cong H^1(\mathbb{C},\bigoplus_{m\ge1}\mathcal{O})$ であり、これは lem-stein-space-direct-sum により $0$ でない。$\square$

$A$ を定める連接イデアル層を $\mathcal{J}$、包含を $j\colon A\to X$ とすると、層の短完全列 $0\to\mathcal{J}\to\mathcal{O}_X\to j_*\mathcal{O}_A\to0$ がある。長完全列 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to\Gamma(X,j_*\mathcal{O}_A)\to H^1(X,\mathcal{J})$ において $\Gamma(X,j_*\mathcal{O}_A)=\mathcal{O}(A)$ であり、$\mathcal{J}$ は連接なので定理 B により $H^1(X,\mathcal{J})=0$ である。ゆえに制限写像は全射である。離散閉部分集合は被約（被約）な閉解析的部分空間であり、その上の正則関数は各点での値の指定にほかならない。$\square$

$A$ は複素解析空間であり、$X$ 上の大域正則関数の制限 $f|_A$ が $A$ 上の大域正則関数である。正則凸性：$K\subset A$ をコンパクト集合とする。$x\in\widehat{K}_A$ なら任意の $f\in\mathcal{O}(X)$ について $|f(x)|\le\sup_K|f|_A|=\sup_K|f|$ なので $x\in\widehat{K}_X$ であり、$\widehat{K}_A\subset\widehat{K}_X\cap A$ である。$\widehat{K}_X$ はコンパクト、$A$ は閉なので右辺はコンパクト、$\widehat{K}_A$ はその閉部分集合なのでコンパクトである。点の分離：$x\ne y\in A$ を分離する $f\in\mathcal{O}(X)$ の制限 $f|_A$ が分離する。局所座標：$x\in A$ に対し、$X$ の条件 3 の $f_1,\dots,f_N$ は $x$ の開近傍 $W$ から $\mathbb{C}^N$ の開集合 $D$ の閉解析的部分空間への同型を与え、$A\cap W$ は $W$ の閉解析的部分空間なので、その像は $D$ の閉解析的部分空間である。$\square$

1：射影を $p$、$q$ とする。コンパクト集合 $K\subset X\times Y$ と $f\in\mathcal{O}(X)$、$g\in\mathcal{O}(Y)$ について $f\circ p$、$g\circ q$ は正則なので、$(x,y)\in\widehat{K}_{X\times Y}$ なら $|f(x)|\le\sup_{p(K)}|f|$、$|g(y)|\le\sup_{q(K)}|g|$、すなわち $\widehat{K}_{X\times Y}\subset\widehat{p(K)}_X\times\widehat{q(K)}_Y$ である。右辺はコンパクトなので閉部分集合 $\widehat{K}_{X\times Y}$ もコンパクトである。点の分離は $f\circ p$ または $g\circ q$ で行い、局所座標は $x$ の近傍と $y$ の近傍の閉埋め込みの直積が与える。
2：$\Gamma:=\{(x,t)\in X\times\mathbb{C}\mid t\varphi(x)=1\}$ は正則関数 $t\varphi-1$ の零点集合なので $X\times\mathbb{C}$ の閉解析的部分空間である。正則写像（正則写像）$x\mapsto(x,1/\varphi(x))$ は射影 $\Gamma\to X_\varphi$ を逆にもつので $X_\varphi\cong\Gamma$ である。$\mathbb{C}$ は Stein（ex-stein-space-cn-polydisc）なので 1 により $X\times\mathbb{C}$ は Stein であり、prop-stein-space-closed-subspace により $\Gamma\cong X_\varphi$ は Stein である。$\square$