多変数の正則汎関数計算

$D:=\{\lambda\in\mathbb C^n:|\lambda_j|\le\|a_j\|\}$ とおく。部分代数 $B$ に何をとっても $\sigma_B(a_1,\dots,a_n)\subset D$ である（Banach代数 の定理「同時スペクトルは文字の値の組」を $B$ に使う）。$D\setminus\Omega$ が空なら $B$ を $a_1,\dots,a_n$ の生成する閉部分代数とすればよい。
$c\in D\setminus\Omega$ をとる。$c\notin\sigma_A(a)$ なので、$g_{c,1},\dots,g_{c,n}\in A$ で
$$ \sum_{j=1}^n(a_j-c_j1_A)g_{c,j}=1_A $$
となるものがある。$a_1,\dots,a_n,g_{c,1},\dots,g_{c,n}$ の生成する閉部分代数を $B_c$ とすると、同じ等式が $B_c$ の中で成り立つので $c\notin\sigma_{B_c}(a)$ である。$\sigma_{B_c}(a)$ はコンパクトなので、$c$ の開近傍 $W_c$ で $\sigma_{B_c}(a)$ と交わらないものがある。
$D\setminus\Omega$ はコンパクトなので、有限個 $W_{c_1},\dots,W_{c_s}$ で覆える。$a_1,\dots,a_n$ とすべての $g_{c_l,j}$ を並べたものを $a_1,\dots,a_\nu$ とし、その生成する閉部分代数を $B$ とする。$B\supset B_{c_l}$ なので $\sigma_B(a)\subset\sigma_{B_{c_l}}(a)$ である。もし $\lambda\in\sigma_B(a)$ が $\Omega$ の外にあれば、$\lambda\in D\setminus\Omega$ なのである $W_{c_l}$ に入るが、$W_{c_l}$ は $\sigma_{B_{c_l}}(a)\supset\sigma_B(a)$ と交わらないので矛盾する。よって $\sigma_B(a)\subset\Omega$ である。$\square$

$D_\nu:=\{z\in\mathbb C^\nu:|z_j|\le\|a_j\|\}$、$E:=D_\nu\setminus\pi^{-1}(\Omega)$ とおく。$E$ はコンパクトである。$E$ が空なら $\mu=0$ でよい。
$c\in E$ をとる。もし $c\in\sigma_B(a_1,\dots,a_\nu)$ なら、同時スペクトル の命題「射影と多項式写像」の 1 により $\pi(c)\in\sigma_B(a_1,\dots,a_n)\subset\Omega$ となり、$c\notin\pi^{-1}(\Omega)$ に反する。よって $c\notin\sigma_B(a_1,\dots,a_\nu)$ である。$a_1,\dots,a_\nu$ は $B$ を生成するので、同時スペクトル の補題「有界な多項式評価は文字に延びる」の対偶により、多項式 $P_c$ で
$$ |P_c(c)|>\|P_c(a_1,\dots,a_\nu)\| $$
となるものがある。この強い不等式は $c$ のある開近傍 $V_c$ の上でも成り立つ。$E$ を有限個 $V_{c_1},\dots,V_{c_\mu}$ で覆い、$P_k:=P_{c_k}$ とおく。$z\in D_\nu$ が $|P_k(z)|\le\|P_k(a)\|$ をすべての $k$ で満たせば、$z$ はどの $V_{c_k}$ にも入らないので $z\notin E$、すなわち $\pi(z)\in\Omega$ である。$\square$

多項式多面体に収める．lem-hfc-subalgebra を $\Omega=U$ に使って $a_{n+1},\dots,a_\nu$ をとり、lem-hfc-polynomials で多項式 $P_1,\dots,P_\mu$ をとる。$R_j:=\|a_j\|$（$j\le\nu$）、$S_k:=\|P_k(a_1,\dots,a_\nu)\|$ とおくと、
$$ K:=\{z\in\mathbb C^\nu:|z_j|\le R_j\ (j\le\nu),\ |P_k(z)|\le S_k\ (k\le\mu)\}\subset\pi^{-1}(U) $$
である。$R_j$ や $S_k$ は $0$ のこともあるので、半径を少し広げる。
半径を広げる．$0< \delta\le1$ について $K_\delta:=\{z:|z_j|\le R_j+\delta,\ |P_k(z)|\le S_k+\delta\}$ とおく。ある $\delta$ で $K_\delta\subset\pi^{-1}(U)$ となることを示す。そうでなければ、$\delta_l\to0$ と $z^{(l)}\in K_{\delta_l}\setminus\pi^{-1}(U)$ がとれる。これらはコンパクト集合 $\{|z_j|\le R_j+1\}$ に入るので、収束する部分列の極限 $z$ をとると、有限個の不等式は極限で保たれて $z\in K$ となる。一方 $\pi^{-1}(U)$ の補集合は閉なので $z\notin\pi^{-1}(U)$ であり、$K\subset\pi^{-1}(U)$ に反する。
岡の写像で延ばす．$r_j:=R_j+\delta>0$、$s_k:=S_k+\delta>0$ とおくと、
$$ K_\delta=\{z\in\overline\Delta(0,r):|P_k(z)/s_k|\le1\ (k\le\mu)\} $$
は 岡–Weilの近似定理 の定義「多項式多面体と岡の写像」の多項式多面体である。$\varphi\circ\pi$ は開集合 $\pi^{-1}(U)\supset K_\delta$ の上で正則なので、同記事の定理「多項式多面体の上の延長」の 2 により、$\overline\Delta(0,r)\times\overline D^\mu$（$\overline D$ は閉単位円板）の開近傍の上の正則関数 $F$ で、$K_\delta$ のある開近傍の上で
$$ \varphi(\pi(z))=F\bigl(z,P_1(z)/s_1,\dots,P_\mu(z)/s_\mu\bigr) $$
となるものがある。$\Phi(z,w):=F(z,w_1/s_1,\dots,w_\mu/s_\mu)$ とおけば、$\Phi$ は $\overline\Delta(0,r)\times\{|w_k|\le s_k\}$ の開近傍の上で正則で、$K_\delta$ の近くで $\Phi(z,P_1(z),\dots,P_\mu(z))=\varphi(\pi(z))$ を満たす。
元を付け足す．$a_{\nu+k}:=P_k(a_1,\dots,a_\nu)$（$k\le\mu$）、$N:=\nu+\mu$ とおく。$\|a_j\|=R_j< r_j$（$j\le\nu$）、$\|a_{\nu+k}\|=S_k< s_k$ なので、$Q$ は上の集合に含まれ、$\Phi$ は $Q$ の開近傍で正則である。
文字で確かめる．$\chi\in M(A)$ とし、$x:=(\chi(a_1),\dots,\chi(a_\nu))$ とおく。$|x_j|\le\|a_j\|=R_j$ であり、$P_k(x)=\chi(P_k(a_1,\dots,a_\nu))=\chi(a_{\nu+k})$ から $|P_k(x)|\le S_k$ なので、$x\in K\subset K_\delta$ である。したがって
$$ \Phi(\chi(a_1),\dots,\chi(a_N))=\Phi(x,P_1(x),\dots,P_\mu(x))=\varphi(\pi(x))=\varphi(\chi(a_1),\dots,\chi(a_n)) $$
である。$\square$

thm-hfc-polydisc の $a_1,\dots,a_N$ と $\Phi$ をとり、$\Phi$ が開集合 $W\supset Q$ で正則とする。$R_j:=\|a_j\|$ とおく。
冪級数．$Q$ はコンパクトなので、ある $\varepsilon>0$ で、各座標の差が $\varepsilon$ 未満の点はすべて $W$ に入る（$Q$ から $W$ の補集合までの最大値ノルムの距離が正であることによる）。$|z_j|< R_j+\varepsilon$ を満たす $z$ は、$|z_j|>R_j$ の座標だけ半径 $R_j$ に縮めた $Q$ の点との差が $\varepsilon$ 未満なので、開多重円板 $\Delta(0,R+\varepsilon)$ は $W$ に含まれる。多重円板 の定理「冪級数展開」により
$$ \Phi(z)=\sum_{\alpha\in\mathbb N^N}c_\alpha z^\alpha\qquad(z\in\Delta(0,R+\varepsilon)) $$
であり、この級数はコンパクト集合 $Q$ の上で正規収束する。$\sup_Q|z^\alpha|=R^\alpha=R_1^{\alpha_1}\cdots R_N^{\alpha_N}$（$0^0=1$）なので、$\sum_\alpha|c_\alpha|R^\alpha< \infty$ である。
元を代入する．劣乗法性から、$\alpha\ne0$ なら $\|a^\alpha\|\le R^\alpha$ である（$R_j=0$ の座標を正の冪で含めば $a_j=0$ なので両辺とも $0$）。$\alpha=0$ では $\|a^0\|=\|1_A\|=1=R^0$。よって $\sum_\alpha\|c_\alpha a^\alpha\|\le\sum_\alpha|c_\alpha|R^\alpha< \infty$ であり、$A$ は完備なので
$$ b:=\sum_{\alpha\in\mathbb N^N}c_\alpha a^\alpha $$
は項の順序によらず $A$ で収束する。
値．文字 $\chi$ は連続で、積を保ち $\chi(1_A)=1$ なので、$\chi(a^\alpha)=\chi(a_1)^{\alpha_1}\cdots\chi(a_N)^{\alpha_N}$ であり、
$$ \chi(b)=\sum_\alpha c_\alpha\chi(a_1)^{\alpha_1}\cdots\chi(a_N)^{\alpha_N}=\Phi(\chi(a_1),\dots,\chi(a_N))=\varphi(\chi(a_1),\dots,\chi(a_n)) $$
となる。2 番目の等号は $(\chi(a_1),\dots,\chi(a_N))\in Q$ での冪級数展開、3 番目は thm-hfc-polydisc による。$\square$

$W$ の文字は単位円周 $\mathbb T$ の点での値 $\psi_w(f)=f(w)$ ですべてなので（同記事の定理「Wiener 代数の指標とスペクトル」）、$\sigma_W(f_1,\dots,f_n)$ はこの曲線に等しい。thm-hfc-main の $b\in W$ は、すべての $w\in\mathbb T$ で $b(w)=\psi_w(b)=\varphi(f_1(w),\dots,f_n(w))$ を満たす。よって $\varphi(f_1,\dots,f_n)=b\in W$ である。$\square$