座標平面（高校数学）

同義語：coordinate plane (high school mathematics)

概要

前提知識: 数直線（高校数学）

高校での出発点：点の位置を 2 つの数で表す

数直線の上の点は 1 つの実数で表せる（数直線（高校数学））。平面の点を表すには、横と縦の 2 本の数直線を使う。横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸とし、2 本を原点 $O$ で垂直に交わらせる。点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足の目盛りが $a$、$y$ 軸に下ろした垂線の足の目盛りが $b$ のとき、$P$ を $P(a,b)$ と書く。このように座標を定めた平面を 座標平面 という。

点の座標を読む

図 1 の点 $P$ から $x$ 軸に垂線を下ろすと、足の目盛りは $3$ である。$y$ 軸に垂線を下ろすと、足の目盛りは $2$ である。したがって $P$ の座標は $(3,2)$ である。

点 $Q(-2,1)$ は、$x$ 軸の目盛り $-2$ の点の真上、高さ $1$ の位置にある。
点 $R(-1,-3)$ は、$x$ 軸の目盛り $-1$ の点から真下へ $3$ の位置にある。
点 $(2,3)$ と点 $(3,2)$ は別の点である。座標は「$x$ 座標、$y$ 座標」の順に並べた組で、順番に意味がある。

座標平面の点 P(3, 2) と、x 軸・y 軸への垂線の足 3 と 2。ほかに点 Q(−2, 1)、R(−1, −3) と、第 1 象限から第 4 象限の位置を示す図

点を移す

点 $P(3,2)$ を、右へ $1$、下へ $4$ だけ動かすと、$x$ 座標は $3+1=4$、$y$ 座標は $2-4=-2$ になり、点 $(4,-2)$ に移る。$x$ 軸について折り返すと、高さの符号だけが変わって点 $(3,-2)$ に移る。

この 2 つの例でも、当然のように次のことを使った。この記事では、それらをきちんと確かめる。

平面のどの点にも座標の組がちょうど 1 つあり、どの組にも点がちょうど 1 つあるのはなぜか。→ thm-cph-bijection
「$x$ 座標が $a$ の点全体」はどんな図形か。→ prop-cph-vertical
$x$ 軸・$y$ 軸・原点について対称な点の座標は、なぜ符号を変えるだけで求まるのか。→ thm-cph-symmetric

軸が垂直でないと、何が困るのか。→ ex-cph-oblique

図形の言葉	座標の言葉	この記事のボックス
点	実数の組 $(a,b)$	def-cph-plane、thm-cph-bijection
$y$ 軸に平行な直線	$x=a$	prop-cph-vertical
第 1〜第 4 象限	$x$ 座標・$y$ 座標の符号	def-cph-quadrant
軸・原点について対称な点	符号を変えた組	thm-cph-symmetric
図形	方程式を満たす点の集まり	def-cph-graph

座標平面の定義

平面の幾何で知られている次の事実を使う。この記事では証明せずに使う。

この記事で使う平面の事実

点 $P$ と直線 $\ell$ について、$P$ を通り $\ell$ に垂直な直線はちょうど 1 本ある。それと $\ell$ の交点を、$P$ から $\ell$ に下ろした 垂線の足 という（$P$ が $\ell$ の上にあれば、足は $P$ 自身）。
同じ直線に垂直な 2 直線は平行であり、平行でない 2 直線はちょうど 1 点で交わる。
長方形の向かい合う辺の長さは等しい。

座標平面と座標

平面の上に、点 $O$ で垂直に交わる 2 本の数直線をとる。2 本の原点はどちらも $O$ で、単位の長さは等しいとする。横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸、2 つを合わせて 座標軸 といい、$O$ を原点という。
点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足の、$x$ 軸での座標を $a$、$y$ 軸に下ろした垂線の足の、$y$ 軸での座標を $b$ とする。実数の組 $(a,b)$ を点 $P$ の座標といい、$a$ を $x$ 座標、$b$ を $y$ 座標 という。点 $P$ を $P(a,b)$ と書く。座標を定めた平面を 座標平面 という。

ふつうは $x$ 軸を右向き、$y$ 軸を上向きを正の向きにとる。$x$ 軸の上の点 $A$ の座標は $(a,0)$ の形である。$A$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足は $O$ だからである（$x$ 軸は $y$ 軸に $O$ で垂直に交わる）。同じように、$y$ 軸の上の点の座標は $(0,b)$ の形で、原点の座標は $(0,0)$ である。

点と実数の組の 1 対 1 対応

座標平面では、どの点にも座標がちょうど 1 つあり、どの実数の組 $(a,b)$ にも、座標が $(a,b)$ の点がちょうど 1 つある。

垂線の足を 2 つの軸で決める

方針：点から組へは垂線の足が 1 つに決まることを使い、組から点へは、2 本の垂線の交点を作る。
段 1（点から組へ）。点 $P$ をとる。rem-cph-facts の 1 により、$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足はちょうど 1 つあり、数直線（高校数学）の「点と実数の 1 対 1 対応」により、その足の $x$ 軸での座標はちょうど 1 つである。$y$ 軸についても同じなので、$P$ の座標 $(a,b)$ はちょうど 1 つに決まる。
段 2（組から点を作る）。実数の組 $(a,b)$ をとる。$x$ 軸の上で座標が $a$ の点を $A$、$y$ 軸の上で座標が $b$ の点を $B$ とする。$A$ を通り $x$ 軸に垂直な直線を $m$、$B$ を通り $y$ 軸に垂直な直線を $n$ とする。$m$ と $y$ 軸はどちらも $x$ 軸に垂直なので平行であり（rem-cph-facts の 2）、$n$ と $x$ 軸も平行である。もし $m$ と $n$ が平行なら、$y$ 軸と $x$ 軸も平行になってしまうので、$m$ と $n$ は平行でなく、ちょうど 1 点 $P$ で交わる。
段 3（作った点の座標が $(a,b)$ であること）。$P$ は $m$ の上にあり、$m$ は $A$ を通って $x$ 軸に垂直なので、$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線は $m$ で、足は $A$ である。同じように、$P$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足は $B$ である。よって $P$ の座標は $(a,b)$ である。
段 4（ただ 1 つであること）。座標が $(a,b)$ の点 $P'$ があれば、$P'$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $A$ なので、$P'$ は $A$ を通り $x$ 軸に垂直な直線 $m$ の上にある。同じく $P'$ は $n$ の上にある。$m$ と $n$ の交点は $P$ だけなので、$P'=P$ である。$\square$

証明の段 2・段 3 から、次のこともわかる。

$x$ 座標が一定の点の集まり

実数 $a$ について、$x$ 座標が $a$ の点全体は、$x$ 軸の点 $(a,0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線（$y$ 軸に平行な直線）である。同じように、$y$ 座標が $b$ の点全体は、点 $(0,b)$ を通り $y$ 軸に垂直な直線（$x$ 軸に平行な直線）である。

垂線の足が $A$ であることを言いかえる

方針：「$x$ 座標が $a$」を「$x$ 軸への垂線の足が $A(a,0)$」と言いかえる。
$A$ を $x$ 軸の上で座標が $a$ の点、$m$ を $A$ を通り $x$ 軸に垂直な直線とする。点 $P$ の $x$ 座標が $a$ であることは、定義により $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足が $A$ であることである。足が $A$ なら、垂線は $A$ を通って $x$ 軸に垂直なので $m$ であり、$P$ は $m$ の上にある。逆に $P$ が $m$ の上にあれば、$P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線は $m$ で（rem-cph-facts の 1 のただ 1 本）、その足は $A$ である。したがって、$x$ 座標が $a$ の点全体は $m$ である。$y$ 座標についても同じである。$\square$

座標軸に平行な直線

$x$ 座標が $2$ の点 $(2,-1)$、$(2,0)$、$(2,5)$ は、すべて $x$ 軸の点 $2$ を通る縦の直線の上にある。この直線を「直線 $x=2$」と呼ぶ。
$y$ 座標が $-1$ の点全体は、$y$ 軸の点 $-1$ を通る横の直線で、「直線 $y=-1$」と呼ぶ。直線 $x=2$ と直線 $y=-1$ の交点は $(2,-1)$ である。
$x$ 軸そのものは直線 $y=0$、$y$ 軸は直線 $x=0$ である。

$x=a$ の直線の上を動く点では、$y$ 座標が「その直線の上の目盛り」になっている。点 $P(a,y)$ と $H(a,0)$ について、$a\ne0$、$y\ne0$ なら $O$、$H$、$P$、$B(0,y)$ は長方形の 4 頂点で、rem-cph-facts の 3 により $HP=OB=|y|$ である。また $P$ は $B$ を通り $x$ 軸に平行な直線の上にあるので、$x$ 軸に対して $B$ と同じ側、つまり $y>0$ なら上側、$y< 0$ なら下側にある。つまり $y$ は、$H$ を原点とし上を正の向きとした縦の数直線の座標である（$a=0$ なら直線は $y$ 軸そのもの、$y=0$ なら $P=H$ で、どちらもそのまま成り立つ）。$y=b$ の直線の上でも、同じように $x$ 座標が横の数直線の座標になる。

象限

座標軸は、軸の上にない平面の点を 4 つの部分に分ける。点 $(x,y)$ について

部分	条件
第 1 象限	$x>0$ かつ $y>0$
第 2 象限	$x< 0$ かつ $y>0$
第 3 象限	$x< 0$ かつ $y< 0$
第 4 象限	$x>0$ かつ $y< 0$

とし、これらを象限という。座標軸の上の点（$x=0$ または $y=0$ の点）は、どの象限にも入れない（象限の名前と番号の付け方は Abr21 の §2.1 にもある）。

$x$ 座標の符号は「$y$ 軸の右か左か」、$y$ 座標の符号は「$x$ 軸の上か下か」を表すので（前節の最後の段落）、象限は図 1 のように右上から反時計回りに並ぶ。

象限を判定する

$(3,2)$ は第 1 象限、$(-2,1)$ は第 2 象限、$(-1,-3)$ は第 3 象限、$(4,-2)$ は第 4 象限にある。
$(0,5)$ は $y$ 軸の上、$(-3,0)$ は $x$ 軸の上の点で、どの象限にも入らない。
点 $(t,\,t^2-1)$ が第 4 象限にあるのは、$t>0$ かつ $t^2-1< 0$、つまり $0< t< 1$ のときである。

軸と原点について対称な点

直線 $\ell$ について点 $P$ と 対称な点 とは、$P$ が $\ell$ の上にないときは、$\ell$ が線分 $PQ$ の垂直二等分線になる点 $Q$ のことで、$P$ が $\ell$ の上にあるときは $P$ 自身のことである。点 $O$ について $P$ と対称な点とは、$O$ が線分 $PQ$ の中点になる点 $Q$ のこと（$P=O$ なら $O$ 自身）である。

対称な点の座標

点 $P(a,b)$ について、

$x$ 軸について対称な点は $(a,-b)$、
$y$ 軸について対称な点は $(-a,b)$、
原点について対称な点は $(-a,-b)$
である。

垂線の上の数直線と、合同な直角三角形を使う

方針：1 は、$P$ を通る縦の直線の上で中点の公式を使う。2 は 1 と同じ。3 は、1 と 2 で得た点が本当に原点について対称であることを、合同な三角形で確かめる。
段 1（1 の証明）。$b=0$ なら $P$ は $x$ 軸の上にあり、対称な点は $P=(a,0)=(a,-b)$ である。$b\ne0$ とし、対称な点を $Q$ とする。$x$ 軸は $PQ$ に垂直なので、$Q$ は $P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線、つまり直線 $x=a$ の上にあり（prop-cph-vertical）、$PQ$ と $x$ 軸の交点 $H(a,0)$ が $PQ$ の中点である。直線 $x=a$ の上では、$y$ 座標が $H$ を原点とする数直線の座標になっている（前の節の最後の段落）。$Q$ の $y$ 座標を $d$ とすると、数直線（高校数学）の「中点の座標」により、中点 $H$ の座標 $0$ は $\dfrac{b+d}2$ に等しく、$d=-b$ である。よって $Q=(a,-b)$ である。
段 2（2 の証明）。$x$ と $y$ の役割を入れかえて段 1 と同じことをすると、$y$ 軸について対称な点は $(-a,b)$ である。
段 3（3 の、$P$ が軸の上にある場合）。$b=0$ なら、$P(a,0)$ と対称な点 $Q$ は直線 $PO$、つまり $x$ 軸の上にあり（$a=0$ なら $Q=O$）、$x$ 軸の上で $O$ が中点なので、数直線（高校数学）の「中点の座標」から $Q$ の $x$ 座標 $c$ は $\dfrac{a+c}2=0$、$c=-a$ である。よって $Q=(-a,0)=(-a,-b)$ である。$a=0$（$P$ が $y$ 軸の上）のときは、$x$ と $y$ の役割を入れかえて同じようにすると $Q=(0,-b)=(-a,-b)$ となる。
段 4（3 の、$a\ne0$ かつ $b\ne0$ の場合）。$Q:=(-a,-b)$ とおき、$O$ が $PQ$ の中点であることを示す。$H(a,0)$、$H'(-a,0)$ とおく。三角形 $OHP$ と三角形 $OH'Q$ で、$OH=OH'=|a|$（$x$ 軸の上の距離）、$HP=H'Q=|b|$（前の節の最後の段落）、$\angle OHP=\angle OH'Q=90^\circ$ なので、2 辺とその間の角が等しく、2 つの三角形は合同である。よって $OP=OQ$、$\angle HOP=\angle H'OQ$ である。$H$ と $H'$ は $O$ をはさんで $x$ 軸の反対側にあり、$P$ と $Q$ は $x$ 軸の反対側にある（$b$ と $-b$ は符号が違う）。$\angle HOQ=180^\circ-\angle H'OQ=180^\circ-\angle HOP$ なので、$\angle POQ=\angle POH+\angle HOQ=180^\circ$ である。したがって $P$、$O$、$Q$ は一直線上にあって $O$ は $P$ と $Q$ の間にあり、$OP=OQ$ なので $O$ は $PQ$ の中点である。対称な点はただ 1 つなので（数直線（高校数学）の「中点の座標」を直線 $PO$ の上で使う）、それは $(-a,-b)$ である。$\square$

対称な点を求める

点 $P(3,2)$ について、$x$ 軸について対称な点は $(3,-2)$、$y$ 軸について対称な点は $(-3,2)$、原点について対称な点は $(-3,-2)$ である（図 2）。

原点について対称な点 $(-3,-2)$ は、$x$ 軸について折り返した $(3,-2)$ を、さらに $y$ 軸について折り返した点でもある。
$P$ が第 1 象限にあれば、3 つの対称な点はそれぞれ第 4・第 2・第 3 象限にある。$a$、$b$ の符号の変わり方が象限の移り方を決める。

点 P(3, 2) と、x 軸について対称な点 (3, −2)、y 軸について対称な点 (−3, 2)、原点について対称な点 (−3, −2) の位置を示す図
この定理は、図形を折り返す・平行移動するときの式の変わり方の出発点である。点の移動と、方程式で表した図形の移り方はグラフの平行移動と対称移動で扱う。直線 $y=x$ について対称な点が $(b,a)$ になることは、距離の公式を使って 2点間の距離で確かめる。

方程式の表す図形

座標を使うと、図形を「条件を満たす点の集まり」として式で表せる。

方程式の表す図形

$x$、$y$ についての等式や不等式が与えられたとき、それを満たす点 $(x,y)$ 全体の集まりを、その式の 表す図形 という。

式が表す図形

$x=2$ の表す図形は、prop-cph-vertical により、点 $(2,0)$ を通り $y$ 軸に平行な直線である。
$y=2x-1$ の表す図形には、$(0,-1)$、$(1,1)$、$(2,3)$ が入り、$(1,2)$ は入らない（$2\cdot1-1=1\ne2$）。この図形が直線になることは直線の方程式と点と直線の距離で扱う。
$xy>0$ の表す図形は、$x$ と $y$ が同じ符号の点全体で、第 1 象限と第 3 象限を合わせたものである（def-cph-quadrant）。

不等式の表す図形（直線で区切られた半分の平面など）は不等式の表す領域と線形計画法で扱う。

例と反例

座標平面の定義の決めごとを 1 つずつ外すと、何が崩れるかを確かめる。

外した仮定	崩れる主張	ボックス
2 本の軸が垂直	$x$ 軸の上の点の $y$ 座標は $0$	ex-cph-oblique
2 本の軸の単位が等しい	座標の差が同じなら実際の長さも同じ	ex-cph-units
座標を順序のついた組にする	点と座標が 1 対 1 に対応する（thm-cph-bijection）	ex-cph-unordered

反例：軸が垂直でないとき

$x$ 軸と $y$ 軸の正の向きのなす角を $60^\circ$ にし、単位は等しいまま、定義どおり垂線の足で座標を読むとする。$x$ 軸の上の点 $A$ で $x$ 軸の目盛りが $2$ のものから $y$ 軸に垂線を下ろすと、足を $F$ として三角形 $OAF$ は $F$ が直角で $\angle AOF=60^\circ$ の直角三角形になり、$OF=OA\cos60^\circ=2\cdot\dfrac12=1$ である。したがって $A$ の座標は $(2,1)$ になり、$x$ 軸の上にあるのに $y$ 座標が $0$ でない。
軸が垂直でないときは、垂線の代わりに軸に平行な直線で目盛りを読む 斜交座標 を使うことが多い（点の存在範囲と凸結合）。それでも、長さや角の計算は直交する軸の場合より複雑になる。

反例：軸の単位が違うとき

$x$ 軸の単位を $1\,\mathrm{cm}$、$y$ 軸の単位を $2\,\mathrm{cm}$ にとる。$A(1,0)$、$B(0,1)$ は、どちらも原点との座標の差が $1$ だが、実際の長さは $OA=1\,\mathrm{cm}$、$OB=2\,\mathrm{cm}$ で異なる。点 $C(1,1)$ と原点の実際の距離は、三平方の定理から $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\,\mathrm{cm}$ で、両方の単位が $1\,\mathrm{cm}$ のときの $\sqrt2\,\mathrm{cm}$ とは違う。図形の長さを座標で計算するには、2 本の軸の単位をそろえる必要がある。

反例：順序を忘れた組

点に、座標の 2 つの数を順序を区別せずに「数の集まり $\{a,b\}$」として対応させるとする。$(2,3)$ と $(3,2)$ はどちらも $\{2,3\}$ に対応するので、異なる 2 点に同じものが対応し、1 対 1 にならない。$(a,b)=(c,d)$ は $a=c$ かつ $b=d$ のことであり、この順序の区別が thm-cph-bijection には欠かせない。

大学数学で見る：実数の組の集合 $\mathbb{R}^2$

座標平面と $\mathbb{R}^2$

実数の順序のついた組 $(a,b)$ 全体の集合を $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ と書く（2 つの集合の直積集合）。thm-cph-bijection は、座標が「平面の点全体」から $\mathbb{R}^2$ への 1 対 1 の対応を与えることを述べている。大学の数学では、この対応を通して平面を $\mathbb{R}^2$ そのものと見ることが多い。
$\mathbb{R}^2$ には、成分ごとの和 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ と実数倍 $k(a,b)=(ka,kb)$ が入り、ベクトルの空間になる。ex-cph-move の平行移動は、組 $(1,-4)$ を足すことにあたる。
平面の点の表し方は直交する軸だけではない。原点からの距離と向きで表す極座標は極座標と極方程式で扱い、空間の点を 3 つの数の組で表すことは空間座標と球面の方程式で扱う。