四面体の成立条件

1 辺 $1$ の正三角形 $ABC$ を平面 $z=0$ に置き、$A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2,0\right)$ とする。$AD=BD=CD=t$（$t>0$）となる点 $D(x,y,z)$ を探す。3 つの条件を 2 乗して書くと
$$ x^2+y^2+z^2=t^2,\qquad (x-1)^2+y^2+z^2=t^2,\qquad \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt3}2\right)^2+z^2=t^2 $$
である。
(1) 2 つ目の式から 1 つ目の式を引くと、$x^2$、$y^2$、$z^2$、$t^2$ が消えて $-2x+1=0$ となる。よって $x=\dfrac12$ である。
(2) 3 つ目の式から 1 つ目の式を引くと、$-x+\dfrac14-\sqrt3\,y+\dfrac34=0$、つまり $x+\sqrt3\,y=1$ となる。$x=\dfrac12$ を入れると $\sqrt3\,y=\dfrac12$ で、$y=\dfrac1{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}6$ である。点 $O\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}6,0\right)$ は正三角形の中心で、$OA^2=\dfrac14+\dfrac3{36}=\dfrac13$ である。
(3) 1 つ目の式に $x$、$y$ を戻すと
$$ z^2=t^2-x^2-y^2=t^2-\frac13 $$
である。
$t=1$ なら $z^2=\dfrac23$ で、$z=\pm\sqrt{\dfrac23}$ として $D$ が作れる。これは 1 辺 $1$ の正四面体である。
$t=\dfrac{11}{20}=0.55$ なら
$$ z^2=\frac{121}{400}-\frac13=\frac{363-400}{1200}=-\frac{37}{1200}<0 $$
で、$z^2$ が負になる実数 $z$ はない。つまり $D$ は作れない。ところが、4 つの面の辺の長さは $1,1,1$ と $0.55,0.55,1$ で、$0.55+0.55=1.1>1$ なので、どの面も三角形としては作れる。

1. 6 本とも $1$（正四面体）：対角成分は $2$、それ以外は $1+1-1=1$ で、$\det T=\det\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}=2(4-1)-1(2-1)+1(1-2)=4$ である。$V^2=\dfrac4{288}=\dfrac1{72}$ となる。
2. ex-etr-start の $a=b=c=1$、$p=q=r=t$：
   $$ T=\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2t^2\end{pmatrix},\qquad \det T=2(4t^2-1)-1(2t^2-1)+1(1-2)=6t^2-2=2(3t^2-1) $$
   である。$t=1$ なら $4$ で (1) と一致する。$t=0.55$ なら $2\left(\dfrac{363}{400}-1\right)=-\dfrac{37}{200}<0$ で、prop-etr-necessary により四面体はない。ex-etr-start の答えと合っている。

$c=AB=2$、$b=CA=3$、$a=BC=\sqrt{13}$、$p=AD=4$、$q=BD=\sqrt{20}$、$r=CD=5$ とする。面 $ABC$ は $2+3>\sqrt{13}\approx3.61$ などを満たす三角形である。
$u=\dfrac{9+4-13}{4}=0$、$v=\sqrt{9-0}=3$ で、$C(0,3,0)$ である。$x=\dfrac{4+16-20}{4}=0$、$y=\dfrac{9+16-25-0}{6}=0$、$w=16-0-0=16$ なので、$D=(0,0,\pm4)$ である。$A$ で 3 本の辺 $AB$、$AC$、$AD$ が互いに直交する四面体ができた。
$T$ は
$$ T=\begin{pmatrix}8&4+9-13&4+16-20\\ 4+9-13&18&9+16-25\\ 4+16-20&9+16-25&32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0&0\\ 0&18&0\\ 0&0&32\end{pmatrix} $$
で、$\det T=8\cdot18\cdot32=4608$ である。lem-etr-gram の右辺も $8c^2v^2w=8\cdot4\cdot9\cdot16=4608$ で一致する。$V^2=\dfrac{4608}{288}=16$、$V=4$ で、$\dfrac16\cdot2\cdot3\cdot4=4$ とも一致する。

1 辺 $2$ の正三角形 $ABC$ と $ABD$ を辺 $AB$ でつなぐ（$a=b=c=p=q=2$）。$u=x=1$、$v=s=\sqrt3$ である。閉じたとき（$\theta=0$）は $D=C$ で $r_0=0$、平らに開いたとき（$\theta=\pi$）は菱形になり $r_1=2\sqrt3$ である。prop-etr-hinge により、四面体ができるのは $0< r<2\sqrt3$ のときで、
$$ \det T=2\cdot4\cdot(r^2-0)(12-r^2)=8r^2(12-r^2) $$
である。$K=0+3+3=6$、$2vs=6$ なので $\cos\theta=\dfrac{6-r^2}6$ である。
(1) $r=2$：正四面体である。$\det T=8\cdot4\cdot8=256$、$V^2=\dfrac{256}{288}=\dfrac89$ で、1 辺 $2$ の正四面体の体積 $\dfrac{2^3}{6\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt2}3$ の 2 乗と一致する。$\cos\theta=\dfrac13$ は正四面体の二面角の余弦である。
(2) $r=\sqrt6$：$\cos\theta=0$ で、2 枚の板は直角に開いている。$\det T=8\cdot6\cdot6=288$、$V=1$ で、これが最大である（$V^2=\dfrac{r^2(12-r^2)}{36}$ は $r^2=6$ で最大）。

$AB=1$、$AC=1$、$AD=3$、$BC=3$、$BD=1$、$CD=5$ とする（$a=3$、$b=1$、$c=1$、$p=3$、$q=1$、$r=5$）。
$$ T=\begin{pmatrix}2&1+1-9&1+9-1\\ 1+1-9&2&1+9-25\\ 1+9-1&1+9-25&18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-7&9\\ -7&2&-15\\ 9&-15&18\end{pmatrix} $$
で、第 1 行で展開すると
$$ \det T=2(36-225)+7(-126+135)+9(105-18)=-378+63+783=468>0 $$
である。ところが 4 つの面の辺は、$ABC$ が $1,1,3$、$ABD$ が $1,3,1$、$ACD$ が $1,3,5$、$BCD$ が $3,1,5$ で、$1+1<3$、$1+3<5$ などにより、どの面も三角形の成立条件を満たさない。4 つの面が作れないので、四面体はない。
満たさない条件：面 $ABC$ が三角形になること。lem-etr-gram は $v=\sqrt{b^2-u^2}$ を使うが、ここでは $u=\dfrac{1+1-9}{2}=-\dfrac72$、$b^2-u^2=1-\dfrac{49}4<0$ で、$v$ が作れない。崩れる主張：$\det T>0$ なら四面体ができること。これは cor-etr-six の条件 (ii) の「どれも満たさない」場合である。

ex-etr-hinge で $r=2\sqrt3$ とすると、$\det T=8\cdot12\cdot0=0$ である。thm-etr-main の条件 (ii) により $D$ は平面 $ABC$ の上にだけあり、$D$ は直線 $AB$ に関して $C$ と反対側にある。$ACBD$ は 1 辺 $2$ の菱形で、対角線 $CD$ の長さが $2\sqrt3$ である。4 点が同じ平面の上にあるので、四面体にはならない。
満たさない条件：$\det T>0$。崩れる主張：4 点が同じ平面の上にないこと。4 つの面はどれも辺 $2,2,2$ または $2,2,2\sqrt3$ で、$2\sqrt3<4$ なので三角形の成立条件は満たしている。長方形の 4 頂点で $\det T=0$ となる例は、Heronの公式とCayley–Menger行列式 の反例「4 点が同じ平面の上にある」にある。