正規スキーム

同義語：normal scheme

概要

前提知識: スキーム, 局所環, 整閉整域, アフィンスキーム

局所環で正規性を読む

代数曲線の尖点では、曲線を一点に絞っても座標環に「本来入るはずの整元」が欠けている。一方、高次元では特異点があってもこの欠落が起こらないことがある。この違いを区別する条件が正規性である。正規スキームは、各点の局所環が整閉整域であるスキームをいう。「正規」は「滑らか」や「特異点がない」と同義ではない。
正規性は開集合ごとに調べられる。したがって全体が一つのアフィンスキームでなくても、アフィン開被覆の座標環で判定できる。正規化は、正規でないスキームに対して整な元を加える操作であり、正規スキームはその操作の到達先を記述する。本記事は正規化射の構成ではなく、到達先を特徴づける局所条件と、その条件がどのような特異点を許すかを扱う。
以下、環は単位元をもつ可換環とする。基本定義とアフィン判定は Stacks Project Section 28.7、環の局所化に関する事実は同 Section 10.37 を参照する。次元1の局所環については Lemma 10.119.7 を用いる。Stacks033H Stacks037B Stacks00PD

定義と最初の帰結

整域 $A$ が整閉であるとは、商体 $\operatorname{Frac}(A)$ の元で $A$ 上モニック方程式を満たすものが、必ず $A$ に属することをいう。たとえば $u=a/b\in\operatorname{Frac}(A)$ が
$$ u^m+c_1u^{m-1}+\cdots+c_m=0,\qquad c_i\in A $$
を満たせば、$A$ が整閉なら $u\in A$ である。元が整かどうかを問うときの周囲の体は、明示しなければ $A$ 自身の商体である。ここは整閉整域の記事で詳しく扱う。

正規スキーム

スキーム $X$ が正規（normal）であるとは、すべての点 $x\in X$ について、局所環 $\mathcal O_{X,x}$ が整閉整域であることをいう。そのような $X$ を正規スキーム（normal scheme）という。

局所環が「整域」であることと「整閉」であることは両方必要である。既約だが整閉でない曲線の尖点は後者で失敗し、二つの成分が交差する点では前者で失敗する。スキーム全体が既約でなければ正規ではない、という意味ではない。互いに離れた二つの正規スキームの非交和は正規である。定義は各点の局所環に課す条件だからである。Stacks033H

正規スキームは被約

正規スキームは被約である。従って非零の冪零元を局所的にもつスキームは正規でない。

被約性

各局所環 $\mathcal O_{X,x}$ は整域なので、非零の冪零元をもたない。構造層の切断 $s\in\mathcal O_X(U)$ が $s^m=0$ を満たせば、各点 $x\in U$ で芽 $s_x$ は零である。層の切断はすべての芽が零なら零だから $s=0$ である。任意の開集合で成り立つので $X$ は被約である。$\square$

逆は成り立たない。$xy=0$ で定まる交差する二直線の座標環は被約だが、交点の局所環は整域でない。従って「冪零元がない」は正規性の一部しか表さない。

アフィン開集合での判定

$X=\operatorname{Spec}A$ の点は素イデアル $\mathfrak p\subset A$ に対応し、その局所環は $A_{\mathfrak p}$ である。環 $A$ が正規環であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak p$ に対して $A_{\mathfrak p}$ が整閉整域であることをいう。$A$ 自体に零因子があっても、互いに離れた成分の直積なら正規環になりうる。正規環と整閉整域を無条件で同一視してはならない。Stacks037B

アフィン局所判定

スキーム $X$ に対し、次は同値である。

$X$ は正規である。
$X$ の任意のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ について $A$ は正規環である。
$X$ を、座標環が正規環であるアフィン開集合で覆える。
さらに $X$ が整スキームなら、非空アフィン開集合の座標環は整域であり、そのすべてが整閉であることと $X$ の正規性は同値である。

アフィン局所判定

アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ 内の点 $\mathfrak p$ について $\mathcal O_{X,\mathfrak p}=A_{\mathfrak p}$ である。従って 1 なら 2、2 なら 3 が直ちに従う。3 を仮定すると、各点を含むアフィン開集合の座標環は正規環なので、その点の局所環は整閉整域となり 1 を得る。
$X$ が整スキームなら非空開集合も整であるため、そのアフィン座標環 $A$ は整域である。整域 $A$ が整閉であることと、すべての $A_{\mathfrak p}$ が整閉整域であることは同値である（整閉包の記事の命題「整閉整域の局所判定」）。これを各アフィン開集合へ適用すれば最後の主張を得る。$\square$

この判定の「任意のアフィン開」と「あるアフィン開被覆」は同じ条件になる。ただし、整でない $X$ に対して「各アフィン開の座標環が商環全体の中で整閉」という曖昧な言い換えは避ける。零因子をもつ環では、正規環の定義はあくまで各素イデアルでの局所環に基づく。有限個の既約成分をもつ被約環なら全商環を使う判定もあるが、そのための仮定を省いてはいけない。Stacks033H Stacks037B

整域で整閉性が局所的な理由

整域 $A$ の場合には、正規性をより素朴に判定できる。$A$ が整閉なら、任意の局所化 $S^{-1}A$ も整閉である。逆にすべての素イデアルで局所化した環が整閉なら、元がそれぞれの局所環に入ることから元の環にも戻る。この往復が、整スキームに対する上の判定を支えている。
この同値の証明は整閉包の記事の命題「整閉整域の局所判定」にあり、極大イデアルだけを調べればよいことも含む。

成分はどう振る舞うか

正規スキームは必ず整スキームとは限らない。しかし Noether 条件がある場合、正規な既約成分どうしは交わらない。複素数上の有限型スキームは Noether なので、複素代数幾何でよく使う空間ではこの形が現れる。成分が交わる交点では局所環に零因子が生じ、定義の整域条件に反する。

Noether 正規スキームの成分

$X$ が Noether スキームなら、$X$ が正規であることと、$X$ が有限個の正規な整スキームの非交和であることは同値である。

成分について

逆向きは局所環の定義から従う。正規な各成分上の点の局所環は整閉整域で、非交和では他の成分の局所環が混ざらない。
順向きでは、Noether 位相空間の既約成分は有限個である。異なる二つの既約成分 $Z_1,Z_2$ が点 $x$ で交わるとする。$x$ を含むアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ をとると、$Z_1\cap U$、$Z_2\cap U$ は $U$ の相異なる既約成分である（既約成分の記事の命題「開集合の既約成分」）。$U$ の既約成分は $A$ の極小素イデアル $\mathfrak q$ に対する $V(\mathfrak q)$ なので（極小素イデアルの記事の命題「極小素イデアルと既約成分」）、相異なる極小素イデアル $\mathfrak q_1,\mathfrak q_2$ がともに $x$ に対応する素イデアル $\mathfrak p$ に含まれる。$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルは $\mathfrak p$ に含まれる $A$ の素イデアルと包含を保って一対一に対応する（局所化）ので、$\mathfrak q_1A_{\mathfrak p}$、$\mathfrak q_2A_{\mathfrak p}$ は $A_{\mathfrak p}=\mathcal O_{X,x}$ の相異なる極小素イデアルである。一方、$\mathcal O_{X,x}$ は整域なので極小素イデアルは $(0)$ 一つしかない。ゆえに成分は互いに交わらない。有限個の閉成分が互いに交わらず全体を覆うので、各成分は開でもある。開部分スキームは正規性を受け継ぎ、各成分は既約かつ被約だから整スキームとなる（整スキームの記事の定理「整であることと被約かつ既約であること」）。$\square$

ここで Noether 条件は、成分数を有限にし、各成分を開にする議論で使った。一般の正規スキームについても Stacks Project は準コンパクト開の成分数に条件を置いて対応する命題を与える。本稿では複素代数幾何でよく使う Noether の場合に限定する。Stacks033H

正規なスキームの例

アフィン空間と整数環のスペクトル

整域 $A$ が整閉なら、整閉包の記事の命題「整閉整域の局所判定」によりすべての局所環 $A_{\mathfrak p}$ は整閉整域なので、$\operatorname{Spec}A$ は正規である。逆に整域 $A$ について $\operatorname{Spec}A$ が正規なら、同じ命題により $A$ は整閉である。

体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ は一意分解整域なので整閉整域である（整閉包の記事の例「整数環と一意分解整域」の 1）。よって $\mathbb A^n_k=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ は正規である。同じ理由で、一意分解整域のスペクトルはいつも正規であり、$\operatorname{Spec}\mathbb Z$ も正規である。
代数体 $K$ の整数環 $\mathcal O_K$ は、$K$ における $\mathbb Z$ の整閉包である（同じ例の 2）。まず $\operatorname{Frac}(\mathcal O_K)=K$ を確かめる。$\alpha\in K$ は $\mathbb Q$ 上代数的なので、$\alpha^d+c_1\alpha^{d-1}+\cdots+c_d=0$（$c_i\in\mathbb Q$）を満たす。$c_1,\dots,c_d$ の分母の公倍数である正の整数 $m$ をとると、$\beta:=m\alpha$ は $\beta^d+mc_1\beta^{d-1}+\cdots+m^dc_d=0$ を満たし、係数 $m^ic_i$ は整数である。よって $\beta\in\mathcal O_K$ で、$\alpha=\beta/m\in\operatorname{Frac}(\mathcal O_K)$ である。次に、整拡大の記事の系「整閉包の整閉性」により、$\mathcal O_K$ 上整な $K$ の元は $\mathbb Z$ 上整、すなわち $\mathcal O_K$ に属する。商体が $K$ なので、$\mathcal O_K$ は整閉整域であり、$\operatorname{Spec}\mathcal O_K$ は正規である。
一方 $A=\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ は整閉でない。商体 $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ の元 $\omega=\frac{1+\sqrt{-3}}2$ は $\omega^2=\frac{-1+\sqrt{-3}}2=\omega-1$、すなわち $\omega^2-\omega+1=0$ を満たすので $A$ 上整である。しかし $1,\sqrt{-3}$ は $\mathbb Q$ 上線形独立なので、$\omega=a+b\sqrt{-3}$ となる有理数は $a=b=\frac12$ だけであり、$\omega\notin A$ である。したがって $\operatorname{Spec}A$ は整スキームだが正規でない。$\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-3})}$ は $\omega$ を含むので、2 の正規なスキームと 3 の正規でないスキームは、同じ体を商体にもつ別の環から来ている。

整でない正規スキーム

$A=\mathbb C\times\mathbb C$、$X=\operatorname{Spec}A$ とし、$e=(1,0)$ とおく。$A$ のイデアル $I$ は $I=eI+(1-e)I$ と分かれるので $I_1\times I_2$（$I_1,I_2\in\{0,\mathbb C\}$）の 4 つしかなく、そのうち素イデアルは $\mathfrak p_1=0\times\mathbb C$ と $\mathfrak p_2=\mathbb C\times0$ の 2 つである。実際 $A/\mathfrak p_1$、$A/\mathfrak p_2$ はどちらも $\mathbb C$ と同型な体であり、$(0)$ は $(1,0)(0,1)=0$ なので素イデアルでない。
$\mathfrak p_1$ での局所化を求める。射影 $\pi_1\colon A\to\mathbb C$、$(a,b)\mapsto a$ は $A\setminus\mathfrak p_1=\{(a,b)\mid a\neq0\}$ の元を $\mathbb C$ の可逆元に送るので、環準同型 $A_{\mathfrak p_1}\to\mathbb C$、$(a,b)/t\mapsto a/\pi_1(t)$ を引き起こす。これは明らかに全射である。像が $0$ なら $a=0$ であり、$e\notin\mathfrak p_1$ と $e\cdot(0,b)=0$ から $(0,b)/t=0$ となるので、単射でもある。よって $A_{\mathfrak p_1}\cong\mathbb C$ であり、同様に $A_{\mathfrak p_2}\cong\mathbb C$ である。体は整閉整域なので、$X$ は正規である。
しかし $A$ は零因子 $e$ をもつので整域でなく、$X$ は 2 つの閉点からなる既約でない空間であって、整スキームではない。$A$ は Noether 環なので、prop-normal-components により $X$ は正規な整スキームの非交和であり、ここでは 2 点がそれぞれ 1 つの成分をなす。正規性は各点の局所環の条件であり、全体の既約性までは要求しない。

尖点と交差が正規でない理由

二直線の交差

$X=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y]/(xy)$ を考える。$x$ 軸と $y$ 軸が原点で交わる被約スキームである。原点に対応する極大イデアル $(x,y)$ で局所化しても、$x$ と $y$ の像は零でなく、その積は $0$ である。従って原点の局所環は整域でない。この一点だけで $X$ は正規でないと分かる。原点以外の各直線上では局所的に滑らかでも、交点の局所条件は救えない。

尖点と欠けた整元

$A=\mathbb C[t^2,t^3]\cong\mathbb C[x,y]/(y^2-x^3)$ を考える。$A$ は整域だが、商体中の $t=t^3/t^2$ は $T^2-t^2=0$ を満たすので $A$ 上整である。しかし $t\notin A$ である。$A$ の単項式に現れる正の次数は $2,3,4,\ldots$ で、次数 $1$ の項を作れないからである。従って $A$ は整閉でなく、$X=\operatorname{Spec}A$ は正規でない。欠けた元 $t$ を加えた $\mathbb C[t]$ がこの例の正規化環である。Stacks037B

尖点の非正規性がどこにあるかは局所判定から分かる。$t^2$ が可逆な開集合では $t=t^3/t^2$ が既に環に入り、欠落は消える。問題は $t^2=t^3=0$ に対応する尖点に集中する。正規性が局所条件であるという主張は、こうした「一点だけ悪い」例を正確に言い表す。
条件を 1 つ外した反例を表にまとめる。各行の確認は、上の 2 つの例、prop-normal-quadric-cone、prop-normal-open-not-closed にある。

外す条件	反例	成り立たなくなること
局所環が整域	$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]/(xy)$（ex-crossing-not-normal）	正規であること（被約でも正規とは限らない）
局所環が整閉	尖点 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[t^2,t^3]$（ex-cusp-not-normal）	正規であること
次元が $1$	二次錐 $xy=z^2$（prop-normal-quadric-cone）	Noether 正規局所環が正則であること
部分スキームが開	$\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ の中の尖点 $V(y^2-x^3)$（prop-normal-open-not-closed）	正規性が部分スキームに遺伝すること

特異でも正規な二次錐

正規スキームの定義は局所環の整閉性であり、接空間の次元だけを見ているわけではない。次の複素二次錐は原点で特異だが正規である。一次元曲線では Noether 正規性と正則性が一致するのに対し、高次元では両者が分かれることを具体的に示す。Stacks00PD

二次錐は正規で特異

$A=\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)$ とし、$X=\operatorname{Spec}A$ とする。$X$ は正規だが、原点 $(x,y,z)$ では正則でない。

二次錐の正規性と特異性

$B=\mathbb C[u,v]$ に符号反転 $\sigma(u)=-u,\ \sigma(v)=-v$ を作用させる。不変多項式は全次数が偶数の単項式の線形結合であり、$u^2,\ uv,\ v^2$ で生成される。写像 $x\mapsto u^2,\ y\mapsto v^2,\ z\mapsto uv$ の核は $(xy-z^2)$ なので $A\cong B^{\langle\sigma\rangle}$ である。核の確認は、$z^2$ を $xy$ に置き換えると各元が $P(x,y)+zQ(x,y)$ と書け、その像の単項式 $u^{2i}v^{2j}$ と $u^{2i+1}v^{2j+1}$ が互いに重ならないことから従う。
$B$ は多項式環であり、一意分解整域だから整閉である。$w\in\operatorname{Frac}(A)$ が $A$ 上整なら、$A\subset B$ なので $w$ は $B$ 上も整である。$\operatorname{Frac}(A)\subset\operatorname{Frac}(B)$ だから $w\in B$ となる。さらに $w$ は $A$ の商で表せるため $\sigma$ に固定され、$w\in B^{\langle\sigma\rangle}=A$ である。従って $A$ は整閉整域で、アフィン局所判定から $X$ は正規である。
一方、$xy-z^2$ の一次項は零である。原点の極大イデアル $\mathfrak m=(x,y,z)$ では $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の次元は $3$ である。一方、$A\cong B^{\langle\sigma\rangle}\subset B$ は整拡大（$u,v$ は $T^2-u^2$、$T^2-v^2$ の根）なので、整拡大の記事の系「整拡大と Krull 次元」と Krull次元の記事の定理「体上有限生成な環の次元」により $\dim A=\dim B=2$ であり、Krull次元の記事の命題「局所化と次元」により $\dim A_{\mathfrak m}\le2<3$ である。従って原点の局所環は正則でない（正則局所環の記事の定義「正則局所環と正則パラメータ系」）。$\square$

この証明では、有限群の不変環が整閉になるという一般事実を、二元群の具体例で直接示した。原点に特異性があることと正規性が保たれることは両立する。正規性を「特異点がないこと」と説明すると、この例を誤分類してしまう。

開部分スキームと閉部分スキーム

正規性は点の局所環で決まるので、正規スキームの開部分スキームは正規である。開集合 $U\subset X$ と $x\in U$ について、$\mathcal O_{U,x}=\mathcal O_{X,x}$ だからである。この簡単な事実は、開被覆を使って確認した局所条件を全体へ戻すときに役立つ。ある点の近くでだけ正規性を知りたいなら、その点を含む開部分スキームに移ってよい。逆に開集合で正規であっても、除いた点で何が起きるかは別に調べなければならない。尖点から尖った点を除いた開集合は正規でも、尖点を戻した全体は正規でない。

開部分は正規、閉部分は必ずしも正規でない

$X$ が正規なら任意の開部分スキーム $U\subset X$ は正規である。一方、正規なアフィンスキームの被約な閉部分スキームでも正規とは限らない。

開閉部分の違い

開部分の主張は各 $x\in U$ で $\mathcal O_{U,x}=\mathcal O_{X,x}$ であることから従う。閉部分の反例には $\mathbb A^2_{\mathbb C}=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y]$ の中の尖点 $Y=V(y^2-x^3)$ を使える。多項式環 $\mathbb C[x,y]$ は一意分解整域であり、従って整閉整域なので、周囲のアフィン平面は正規である。しかし $Y$ の座標環は上で見た $\mathbb C[t^2,t^3]$ であり、商体中の整元 $t$ が欠けている。$Y$ は被約な閉部分スキームだが正規でない。$\square$

この例では、正規な環から商環を作ると整閉性が失われる。イデアルによる商を取る操作と、開集合へ制限する操作は正規性に対して同じようには振る舞わない。また「被約な閉部分」と明記したのは、$V(x^2)$ のような非被約な閉部分スキームだけが問題なのではないことを示すためである。正規性を使う議論では、閉部分スキームにも条件を引き継がせたい場面で追加の証明が必要になる。

正則性・正規化との境界

正則局所環は整閉整域である（正則局所環の記事の命題「正則局所環は正規」。この記事では証明しない）ので、正則スキームは正規である。逆は一般には成立せず、二次錐が反例となる。ただし一次元の Noether 局所環では、正規であることと正則であることは同値である。閉点の局所環が次元1なら離散付値環となり、生成点の局所環は体となる。このため Noether 曲線では正規化が特異な閉点を解消するが、高次元の正規化はすべての特異点を消す操作ではない。Stacks00PD
正規化が有限射になるかは別問題である。体上局所有限型のスキームでは正規化射は有限である（正規化の記事の命題「有限型の代数幾何での有限性」。この記事では証明しない）。この有限性は Noether 性だけから形式的に出るものではなく、同じ記事のこの命題の後の段落が述べるとおり、局所 Noether だけでは一般に有限性は保証されない。ここでは正規スキームの定義と局所判定を中心にし、射の構成と有限性の条件は正規化に譲る。
基本的な判定の順序は、まず局所環が整域か、次にその商体の中で整閉か、である。成分が交差するなら前者で止まり、尖点なら後者まで進んで失敗する。二次錐では局所環が正則でない原点があっても、整閉性は失われない。これらを分けて確かめると、被約・整・正則・正規という用語の包含関係を混同せずに済む。