一般角と弧度法

長針は 60 分で 1 周、つまり $360^\circ$ 回るので、1 分に $6^\circ$ 回る。正午から 1 時 15 分までの 75 分間に、長針は時計回りに
$$ 6^\circ\times75=450^\circ $$
回る。$450^\circ=360^\circ+90^\circ$ なので、長針は 1 周したうえでさらに $90^\circ$ 回り、「15 分」の位置を指す。$450^\circ$ 回った針と $90^\circ$ 回った針は、同じ位置にある。

原点のまわりに、$x$ 軸の正の部分を回す。反時計回りに $30^\circ$ 回しても、反時計回りに $390^\circ$（1 周と $30^\circ$）回しても、時計回りに $330^\circ$ 回しても、半直線は同じ位置で止まる（図1）。時計回りの回転を負の角で表すと、この 3 つは $30^\circ$、$390^\circ$、$-330^\circ$ であり
$$ 390^\circ-30^\circ=360^\circ,\qquad -330^\circ-30^\circ=-360^\circ $$
と、差が $360^\circ$ の整数倍になっている。

半径 $r$ の円で、長さがちょうど $r$ の弧に対する中心角を $1$ ラジアンという（後の def-gar-radian）。円周の長さは $2\pi r$ なので、1 周 $360^\circ$ は $2\pi$ ラジアンにあたる。よって
$$ 1\text{ ラジアン}=\frac{360^\circ}{2\pi}=\frac{180^\circ}{\pi}=57.2957\ldots^\circ $$
であり、およそ $57.3^\circ$ である。$\pi=3.14159\ldots$ を使って $180\mathbin{÷}3.14159=57.29\ldots$ と計算できる。

lem-gar-reduction の $n=\bigl[\frac{\theta}{360}\bigr]$ と $\alpha=\theta-360n$ を計算する。

1. $\theta=1000$：$\frac{1000}{360}=2.77\ldots$ なので $n=2$、$\alpha=1000-720=280$ である。$1000^\circ=280^\circ+360^\circ\times2$ で、第 4 象限の角である。
2. $\theta=-1000$：$\frac{-1000}{360}=-2.77\ldots$ で、これを超えない最大の整数は $-3$ なので $n=-3$、$\alpha=-1000+1080=80$ である。$-1000^\circ=80^\circ+360^\circ\times(-3)$ で、第 1 象限の角である。$n=-2$ とすると $\alpha=-1000+720=-280$ となり、$0\le\alpha$ を満たさない。負の数では「切り捨て」が $0$ に近づく向きではないことに注意する。
3. $\theta=750$：$n=2$、$\alpha=30$。$\theta=-300$：$n=-1$、$\alpha=60$。

1. $1110^\circ$ と $30^\circ$：差は $1080=360\times3$ なので、同じ動径である。
2. $-45^\circ$ と $315^\circ$：差は $-360=360\times(-1)$ なので、同じ動径である。
3. $200^\circ$ と $-200^\circ$：差は $400$ で、$400\mathbin{÷}360=1.11\ldots$ は整数でないので、違う動径である。実際、$200^\circ$ は第 3 象限、$-200^\circ=160^\circ+360^\circ\times(-1)$ は第 2 象限の角である。

$x^\circ=\frac{\pi x}{180}$ を使う。

たとえば $135^\circ=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$ である。逆向きは $\theta$ ラジアン $=\bigl(\frac{180\theta}{\pi}\bigr)^\circ$ で、$\frac{5\pi}{12}=\bigl(\frac{180}{\pi}\cdot\frac{5\pi}{12}\bigr)^\circ=75^\circ$、$2$ ラジアン $=\bigl(\frac{360}{\pi}\bigr)^\circ=114.59\ldots^\circ$ である。

半径 $r=1$、中心角 $100^\circ$ の扇形の弧の長さ $f(100)$ をはさむ。thm-gar-sector によれば $f(100)=2\pi\cdot\frac{100}{360}=1.7453\ldots$ である。

1. $n=10$：$m=\bigl[\frac{1000}{360}\bigr]=[2.77\ldots]=2$ なので、$72^\circ\le100^\circ<108^\circ$ であり、$2\pi\cdot\frac{2}{10}=1.2566\ldots\le f(100)\le2\pi\cdot\frac3{10}=1.8849\ldots$ である。
2. $n=100$：$m=[27.7\ldots]=27$ なので、$1.6964\ldots\le f(100)\le1.7592\ldots$ である。
   区間の幅は $\frac{2\pi}{n}$ で、$n$ を大きくすると $1.7453\ldots$ の 1 点に縮む。

1. 半径 $3$、中心角 $120^\circ$ の扇形。$120^\circ=\frac{2\pi}3$ なので、弧の長さは $l=3\cdot\frac{2\pi}3=2\pi$、面積は $S=\frac12\cdot3^2\cdot\frac{2\pi}3=3\pi$ である。$S=\frac12lr=\frac12\cdot2\pi\cdot3=3\pi$ とも計算できる。
2. 半径 $6$、弧の長さ $4\pi$ の扇形。中心角は $\theta=\frac lr=\frac{4\pi}6=\frac{2\pi}3$（$120^\circ$）で、面積は $S=\frac12lr=\frac12\cdot4\pi\cdot6=12\pi$ である。
3. 度数法のまま計算すると、1 は $l=2\pi\cdot3\cdot\frac{120}{360}=2\pi$、$S=\pi\cdot3^2\cdot\frac{120}{360}=3\pi$ で、同じ答えになる。弧度法の式には $\frac{\cdot}{360}$ の割り算が現れない。

針金 $20$ cm を曲げて扇形の周（2 本の半径と弧）を作る。面積を最大にするには、半径と中心角をどう選べばよいか。
半径を $r$、弧の長さを $l$ とすると $2r+l=20$ なので $l=20-2r$ である。thm-gar-sector の $S=\frac12lr$ により
$$ S=\frac12(20-2r)r=-r^2+10r=-(r-5)^2+25 $$
である。中心角 $\theta=\frac lr$ は $2\pi$ 以下でなければならないので、$20-2r\le2\pi r$、すなわち $r\ge\frac{20}{2+2\pi}=2.41\ldots$ であり、$l>0$ から $r<10$ である。軸 $r=5$ はこの範囲に入るので、2次関数の最大・最小 により最大値は $r=5$ のときの $S=25$ である。このとき $l=10$、中心角は $\theta=\frac{10}5=2$ ラジアン（約 $114.6^\circ$）である。
弧度法の $S=\frac12lr$ を使うと、中心角を経由せずに 2 次関数の問題になる。答えの中心角「$2$ ラジアン」は、度数法では $\bigl(\frac{360}\pi\bigr)^\circ$ というきれいでない数になる。

thm-gar-same-point で $2\pi$ の整数倍を引き、$0\le\theta<2\pi$ の角に戻してから値を読む。

1. $\sin\frac{25\pi}{6}$：$\frac{25\pi}6=\frac\pi6+2\pi\times2$ なので、$\sin\frac{25\pi}6=\sin\frac\pi6=\frac12$。
2. $\cos\bigl(-\frac{7\pi}{3}\bigr)$：$-\frac{7\pi}3=\frac{5\pi}3+2\pi\times(-2)$ なので、$\cos\bigl(-\frac{7\pi}3\bigr)=\cos\frac{5\pi}3=\frac12$（$P\bigl(\frac{5\pi}3\bigr)=\bigl(\frac12,-\frac{\sqrt3}2\bigr)$）。
3. $\sin\bigl(-\frac{17\pi}{6}\bigr)$：$-\frac{17\pi}6=\frac{7\pi}6+2\pi\times(-2)$ なので、$\sin\bigl(-\frac{17\pi}6\bigr)=\sin\frac{7\pi}6=-\frac12$。
4. $\tan\frac{13\pi}{4}$：$\frac{13\pi}4=\frac{5\pi}4+2\pi$ なので、$\tan\frac{13\pi}4=\tan\frac{5\pi}4=\frac{-\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=1$。

正午から $t$ 分後の針の位置を、12 時の方向から時計回りに測った角（弧度法）で表す。長針は 60 分で $2\pi$、短針は 12 時間 $=720$ 分で $2\pi$ 回るので、それぞれ
$$ \frac{2\pi t}{60}=\frac{\pi t}{30},\qquad\frac{2\pi t}{720}=\frac{\pi t}{360} $$
である。

1. 3 時 40 分（$t=220$）の 2 本の針のなす角。長針は $\frac{220\pi}{30}=\frac{22\pi}3=\frac{4\pi}3+2\pi\times3$ なので、12 時から $\frac{4\pi}3$（$240^\circ$）の位置にある。短針は $\frac{220\pi}{360}=\frac{11\pi}{18}$（$110^\circ$）の位置にある。差は $\frac{4\pi}3-\frac{11\pi}{18}=\frac{13\pi}{18}$、すなわち $130^\circ$ である。
2. 2 本の針が重なる時刻。重なるのは 2 本の針が同じ動径にあるときで、thm-gar-same-ray により、角の差 $\frac{\pi t}{30}-\frac{\pi t}{360}=\frac{11\pi t}{360}$ が $2\pi$ の整数倍のときである。$\frac{11\pi t}{360}=2k\pi$ を解くと
   $$ t=\frac{720k}{11}\quad(k\text{ は整数}) $$
   である。正午の後で最初に重なるのは $k=1$ の $t=\frac{720}{11}=65\frac5{11}$ 分後、すなわち 1 時 5 分 27.27… 秒である。正午から次の 0 時の直前まで（$0\le t<720$）には、$k=0,1,\dots,10$ の 11 回重なる。
   「差が $2\pi$ の整数倍」という条件にしたことで、何周目かを場合分けせずに、すべての重なる時刻が 1 つの式で求まった。

点が半径 $r$ の円の上を、1 秒あたり $\omega$ ラジアン（$\omega>0$）の割合で反時計回りに回るとする。$\omega$ を 角速度 という。時刻 $0$ に点 $(r,0)$ にあったとすると、時刻 $t$ の位置は $(r\cos\omega t,\ r\sin\omega t)$ である。時刻 $0$ から $t$ までに回った角は $\omega t$ なので、thm-gar-sector により、通った弧の長さは $r\omega t$ であり、速さは $r\omega$ である。

1. 長さ $10$ cm の長針の先端は、1 分に $\frac{2\pi}{60}=\frac\pi{30}$ ラジアン回るので、速さは毎分 $10\cdot\frac\pi{30}=\frac\pi3=1.047\ldots$ cm である。
2. 半径 $6400$ km の地球の赤道上の点は、自転で 1 時間に $\frac{2\pi}{24}$ ラジアン回るので、速さは毎時 $6400\cdot\frac{2\pi}{24}=1675.5\ldots$ km である。
   弧度法だから速さが「半径 × 角速度」という積になる。度数法では $\frac{\pi}{180}$ が付く。速度を微分で求める話は 速度と加速度 で扱う。

1. $x=60$ での $\sin(x^\circ)$ の傾きは、prop-gar-degree-derivative により $c\cos60^\circ=\frac{\pi}{180}\cdot\frac12=\frac{\pi}{360}=0.0087266\ldots$ である。差の商で確かめると、$\frac{\sin(60.01^\circ)-\sin(60^\circ)}{0.01}=0.0087253\ldots$ で、よく合う。
2. 原点の近くでは、弧度法なら $\sin x\approx x$ である。たとえば $\sin0.01=0.0099998\ldots$ である。度数法では $\sin(x^\circ)\approx cx$ で、$\sin(1^\circ)=0.0174524\ldots$ は $1$ ではなく $c=0.0174532\ldots$ に近い。

lem-gar-reduction の条件を $0\le\alpha\le360$ に広げると、$\theta=720$ は
$$ 720=360\times2+0=360\times1+360 $$
と 2 通りに書け、一意性が崩れる。一意性の証明（段 2）で使った「$-360<\beta-\alpha<360$」が、$\alpha=0$、$\beta=360$ のとき成り立たないからである。
満たす性質：存在はそのまま成り立つ。満たさない性質：$\alpha<360$。破る主張：表し方がただ 1 つであること。

$\sin\frac\pi6=\sin\frac{5\pi}6=\frac12$ であるが、$\frac{5\pi}6-\frac\pi6=\frac{2\pi}3$ は $2\pi$ の整数倍ではない。$P\bigl(\frac\pi6\bigr)=\bigl(\frac{\sqrt3}2,\frac12\bigr)$ と $P\bigl(\frac{5\pi}6\bigr)=\bigl(-\frac{\sqrt3}2,\frac12\bigr)$ は、$y$ 座標は等しいが $x$ 座標が違う。
満たす性質：$y$ 座標（正弦）が等しい。満たさない性質：$x$ 座標（余弦）も等しいこと。破る主張：thm-gar-same-point の「差が $2\pi$ の整数倍」。$\sin\theta=\sin\psi$ となる $\theta,\psi$ の関係をすべて求めることは、三角方程式と三角不等式 で扱う。

半径 $3$、中心角 $120^\circ$ の扇形の面積は $3\pi=9.42\ldots$ である（ex-gar-sector）。$\theta=120$ を度のまま $S=\frac12r^2\theta$ に入れると $\frac12\cdot9\cdot120=540$ となり、$\frac{180}{\pi}=57.29\ldots$ 倍も大きい。
満たす性質：半径と中心角の値は正しい。満たさない性質：中心角が弧度法で測られていること。破る主張：thm-gar-sector の 2。度数法で使える式は rem-gar-degree-constant の、定数 $\frac{\pi}{360}$ の付いた式である。

$0$ と $2\pi$ は同じ動径を表す（差が $2\pi$）。しかし半分にすると $0$ と $\pi$ になり、これらは反対向きの動径である（差 $\pi$ は $2\pi$ の整数倍でない）。したがって「動径 $\theta$ を半分にした動径」は、$\theta$ の値のとり方によって変わり、動径だけからは決まらない。
一方、2 倍にする操作は動径で決まる。$\theta$ と $\theta+2n\pi$ を 2 倍すると $2\theta$ と $2\theta+4n\pi$ で、差 $4n\pi=2\pi\times2n$ は $2\pi$ の整数倍だからである。
満たす性質：$0$ と $2\pi$ は同じ動径。満たさない性質：「半分にする」操作が $2\pi$ の整数倍の違いを保つこと。破る主張：「同じ動径の角に同じ計算をすれば、同じ動径になる」。このため $\sin\frac x2$ は、$x$ を $2\pi$ ずらすと符号が反転し（$\sin\frac{x+2\pi}2=-\sin\frac x2$）、$\sin\frac x2\ne0$ なら値が変わる（$\frac x2$ の動径は $x$ の動径だけでは決まらない）。$\frac x2$ を含む三角方程式を $0\le x<2\pi$ で解くときは、$u=\frac x2$ の範囲が $0\le u<\pi$ に縮むことに注意が要り、解は減ることがある。たとえば $0\le x<2\pi$ で $\cos x=\frac12$ の解は $\frac\pi3,\frac{5\pi}3$ の 2 個だが、$\cos\frac x2=\frac12$ の解は $u=\frac\pi3$ から $x=\frac{2\pi}3$ の 1 個だけである（三角方程式と三角不等式）。

1. $\frac{5\pi}3$ と $\frac{2\pi}3$ の和は $\frac{7\pi}3\equiv\frac\pi3$ である。代表を $-\frac\pi3$（$\equiv\frac{5\pi}3$）と $\frac{8\pi}3$（$\equiv\frac{2\pi}3$）に取り替えると、和は $\frac{7\pi}3$ で、やはり $\frac\pi3$ と合同である。prop-gar-addition-well-defined のとおり、どの代表をとっても和の同値類は変わらない。
2. 整数倍も同じで、$\frac{5\pi}{3}$ を 3 倍すると $5\pi\equiv\pi$、代表を $-\frac\pi3$ に替えて 3 倍すると $-\pi\equiv\pi$ で、同じ同値類になる。ex-gar-halving のように $\frac12$ 倍にすると、この性質は崩れる。