交叉数

1 は定義から明らかである。2：$\{1,\dots,m+1\}$ の部分集合を、$m+1$ を含まないものと含むもの（$I\cup\{m+1\}$、$I\subset\{1,\dots,m\}$）に分けると、後者の和は $-e(\mathcal{L}_1,\dots,\mathcal{L}_m;\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee)$ である。3：可逆層は局所自由なので、テンソル積は完全列を保ち、$\chi$ は短完全列について加法的である。4：$P(\mathcal{G}):=e(\mathcal{L}_1,\dots,\mathcal{L}_m;\mathcal{G})$ とおくと、2 を繰り返して $$e(\dots,\mathcal{M},\mathcal{M}';\mathcal{F})=P(\mathcal{F})-P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee)-P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}'^\vee)+P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee\otimes\mathcal{M}'^\vee)$$ であり、残りの 3 項 $e(\dots,\mathcal{M}\otimes\mathcal{M}';\mathcal{F})$、$e(\dots,\mathcal{M};\mathcal{F})$、$e(\dots,\mathcal{M}';\mathcal{F})$ もそれぞれ $P(\mathcal{F})-P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee\otimes\mathcal{M}'^\vee)$、$P(\mathcal{F})-P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee)$、$P(\mathcal{F})-P(\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}'^\vee)$ だから、両辺は等しい。5：2 で $\mathcal{F}\otimes\mathcal{M}^\vee\cong\mathcal{F}$ である。$\square$

$S$ の点 $x$ で、閉包 $\overline{\{x\}}$ が $S$ のほかの点を含まないもの全体を $S'$ とする。任意の $y\in S$ に対し、$\overline{\{y\}}$ が $S$ の別の点 $y'$ を含めば $\overline{\{y'\}}\subsetneq\overline{\{y\}}$（等しければ $y,y'$ は同じ既約閉集合の生成点となり、スキームでは $y=y'$）だから、これを繰り返すと有限回で $S'$ の点 $x\in\overline{\{y\}}$ に至る。切断が $x$ で消えなければ、消えない点の集合は $x$ を含む開集合で、$x\in\overline{\{y\}}$ よりそれは $y$ も含む。よって $S'$ のどの点でも消えない切断を作ればよい。

$x\in S'$ を固定し、$S'\setminus\{x\}$ の点の閉包の和集合 $Z_x$（被約な閉部分スキーム）のイデアル層を $\mathcal{I}_x$ とする。$S'$ の定義により $x\notin Z_x$ である。Serre の定理（Har77 II, Theorem 5.17, p. 121）により、ある $N_x$ があって $N\ge N_x$ なら $\mathcal{I}_x\otimes\mathcal{L}(N)$ は大域切断で生成される。$\mathcal{L}(N)$ は平坦なので $\mathcal{I}_x\otimes\mathcal{L}(N)\subset\mathcal{L}(N)$ である。$x\notin Z_x$ より $(\mathcal{I}_x)_x=\mathcal{O}_{X,x}$ だから、茎 $\mathcal{L}(N)_x$ を生成する大域切断のうちに $x$ で消えないもの $t_x$ がある。一方 $x'\in S'\setminus\{x\}$ では $(\mathcal{I}_x)_{x'}\subset\mathfrak{m}_{x'}$ なので $t_x$ は $x'$ で消える。$N_0:=\max_xN_x$、$s:=\sum_{x\in S'}t_x$ とおくと、各 $x\in S'$ で $s$ の値は $t_x$ の値に等しく $0$ でない。$\square$

1：点 $y$ の近傍で $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X$ と自明化し、$s$ を $a\in\mathcal{O}_{X,y}$ で表す。$\mathcal{F}_y$ の随伴素イデアルは、$y$ をその閉包に含む $\mathcal{F}$ の随伴点に対応する（Mat86 Theorem 6.2）。$s$ はそれらの点で消えないので $a$ はどの随伴素イデアルにも属さず、$\mathcal{F}_y$ の上で非零因子である（Mat86 Theorem 6.1 (ii)）。よって $s$ 倍写像は各茎で単射である。

2：$s$ が消える点の閉集合を $Z(s)$ とする。点 $y$ で $a$ が単元なら $(\mathcal{F}/s\mathcal{F})_y=\mathcal{F}_y/a\mathcal{F}_y=0$ であり、$a\in\mathfrak{m}_y$ かつ $\mathcal{F}_y\ne0$ なら中山の補題により $\mathcal{F}_y/a\mathcal{F}_y\ne0$ である。よって $\operatorname{Supp}(\mathcal{F}/s\mathcal{F})=\operatorname{Supp}\mathcal{F}\cap Z(s)$ である。$\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ の各既約成分 $W$ の生成点は随伴点なので $Z(s)$ に属さず、$W\cap Z(s)$ は $W$ の真の閉部分集合である。$W\cap Z(s)$ の既約閉集合の鎖の末尾に $W$ を付け加えれば鎖が 1 つ長くなるので、$\dim(W\cap Z(s))\le\dim W-1$ である。

3：1 の完全列に $\bigotimes_{i\in I}\mathcal{L}_i^\vee$ を掛けても完全であり、lem-in-basic の 2 と 3 から $$e(\mathcal{L}_1,\dots,\mathcal{L}_m,\mathcal{L};\mathcal{F})=e(\dots;\mathcal{F})-e(\dots;\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^\vee)=e(\dots;\mathcal{F}/s\mathcal{F})$$ である。$\square$

1 は lem-in-restriction の 3 である。2：1 を $n$ 回使うと $(D_1\cdots D_n\cdot\mathcal{F})=e(\,;\mathcal{G})=\chi(\mathcal{G})$ であり、lem-in-restriction の 2 により $\dim\operatorname{Supp}\mathcal{G}\le0$ である。台が有限集合の連接層では $i\ge1$ で $H^i=0$（Har77 III, Theorem 2.7）、$H^0$ は茎の直和だから、$\chi(\mathcal{G})=\sum_x\dim_k\mathcal{G}_x$ である。$\mathcal{F}|_{D_1}\cdots|_{D_n}=\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{D_1}\otimes\dots\otimes\mathcal{O}_{D_n}=\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{D_1\cap\dots\cap D_n}$ である。$\square$

1：閉埋め込み $i\colon C\to X$ について $\mathcal{O}_C\otimes\mathcal{L}^\vee=i_*(\mathcal{L}^\vee|_C)$ であり、$X$ 上のコホモロジーと $C$ 上のコホモロジーは一致する（Har77 III, Lemma 2.10, p. 209）。定義から $(\mathcal{L}^\vee\cdot C)=\chi(\mathcal{O}_C)-\chi(\mathcal{L}|_C)$ であり、thm-in-multilinear から $(\mathcal{L}\cdot C)=-(\mathcal{L}^\vee\cdot C)=\chi(\mathcal{L}|_C)-\chi(\mathcal{O}_C)$ である。

2：$X$ の整な $1$ 次元閉部分スキーム $C$（生成点 $\eta_C$）ごとに $\ell_C(\mathcal{G}):=\operatorname{length}\mathcal{G}_{\eta_C}$ とおき、台の次元が $1$ 以下の連接層 $\mathcal{G}$ に対して $R(\mathcal{G}):=\sum_C\ell_C(\mathcal{G})(\mathcal{L}\cdot C)$（有限和）とおく。示すべきは $(\mathcal{L}\cdot\mathcal{F})=R(\mathcal{F})$ である。両辺は短完全列について加法的である（左辺は thm-in-multilinear の 3、右辺は局所化が完全で長さが加法的であることによる）。Noether スキームの連接層は、連接な部分層の列 $0=\mathcal{F}_0\subset\mathcal{F}_1\subset\dots\subset\mathcal{F}_r=\mathcal{F}$ で、各商 $\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j-1}$ が整な閉部分スキーム $Z_j$ の上の $0$ でないイデアル層 $\mathcal{I}_j\subset\mathcal{O}_{Z_j}$ の押し出しと同型になるものをもつ（Stacks Lemma 30.12.3, Tag 01YF）。$Z_j\subset\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ だから $\dim Z_j\le1$ である。よって $\mathcal{G}=\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_Z$（$Z$ は整、$\dim Z\le1$）の場合に示せばよい。

$\dim Z=0$ なら、両辺とも $0$ である（左辺は thm-in-multilinear の 3、右辺はどの $\eta_C$ でも茎が $0$）。$\dim Z=1$ のとき $Z=C$ は曲線である。$\mathcal{I}$ の生成点での茎は関数体 $K(C)$ の $0$ でないイデアル、すなわち $K(C)$ 全体だから、$\mathcal{O}_C/\mathcal{I}$ の台は $C$ の真の閉部分集合で有限集合である。よって完全列 $0\to\mathcal{I}\to\mathcal{O}_C\to\mathcal{O}_C/\mathcal{I}\to0$ と thm-in-multilinear の 3 から $(\mathcal{L}\cdot\mathcal{I})=(\mathcal{L}\cdot C)$ である。一方 $\ell_C(\mathcal{I})=\operatorname{length}K(C)=1$ であり、$C'\ne C$ なら $\eta_{C'}\notin C$（$C'\subset C$ なら次元から $C'=C$）なので $\ell_{C'}(\mathcal{I})=0$ である。したがって $R(\mathcal{I})=(\mathcal{L}\cdot C)=(\mathcal{L}\cdot\mathcal{I})$ である。$\square$

後退差分 $(\nabla q)(m):=q(m)-q(m-1)$ を考えると、二項係数の展開により $(\nabla^jq)(m)=\sum_{i=0}^{j}(-1)^i\binom{j}{i}q(m-i)$ であり、def-in-alternating-sum で同じ $\mathcal{L}$ を $j$ 個並べた交代和はちょうど $$e(\underbrace{\mathcal{L},\dots,\mathcal{L}}_{j};\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes m})=(\nabla^jq)(m)$$ である（$|I|=i$ の部分集合は $\binom{j}{i}$ 個）。$\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes m}$ の台は $\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ なので、thm-in-vanishing を $j=n+1$ に使うと、すべての $m$ で $\nabla^{n+1}q(m)=0$ である。

$\nabla^{n+1}q\equiv0$ となる関数 $q\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ が $n$ 次以下の多項式であることを $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $\nabla q\equiv0$ で $q$ は定数である。$n\ge1$ なら帰納法の仮定により $\nabla q$ は $n-1$ 次以下の多項式 $p$ に一致する。$\nabla$ は $n$ 次以下の多項式の空間（$n+1$ 次元）から $n-1$ 次以下の多項式の空間（$n$ 次元）への線型写像で、核は定数（$1$ 次元）だから全射であり、$\nabla P=p$ となる $n$ 次以下の多項式 $P$ がある。$\nabla(q-P)\equiv0$ だから $q-P$ は定数で、$q$ は $n$ 次以下の多項式である。

最後に、$\nabla(m^j)=jm^{j-1}+(\text{低次})$ だから、$m^n$ の係数が $a$ の $n$ 次以下の多項式 $q$ について $\nabla^nq$ は定数 $n!\,a$ である。$m=0$ とおけば $(\mathcal{L}^n\cdot\mathcal{F})=e(\mathcal{L},\dots,\mathcal{L};\mathcal{F})=(\nabla^nq)(0)=n!\,a$ である。$\square$