Grothendieckの連接性定理

$A$ を Noether 環、$N\ge1$、$\pi\colon\mathbb{P}^N_A\to\operatorname{Spec}A$ とする。Čech 計算により $H^N(\mathbb{P}^N_A,\mathcal{O}(-N-1))$ は $(x_0\cdots x_N)^{-1}$ を基底とする階数 1 の自由 $A$ 加群であり（射影空間上の直線束のコホモロジー）、$R^N\pi_*\mathcal{O}(-N-1)\cong\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}$ である。$\mathcal{O}(-N-1-d)$ なら階数は $\binom{N+d}{N}$ で、$H^N$ の階数は $d$ とともに大きくなるが、$d$ ごとに有限である。高次順像はファイバーの次元の次数まで現れる。

$k$ を体、$E\subset\mathbb{P}^2_k$ を次数 $e\ge1$ の滑らかな曲線、$F$ をその定義式とし、$Y=\operatorname{Spec}A$、$A=k[x,y,z]/(F)$ をアフィン錐とする。$f\colon X\to Y$ を頂点 $o$ でのブローアップとすると、$X$ は $\mathcal{O}_E(-1)$ の全空間で、$\pi\colon X\to E$ はアフィン射、$\pi_*\mathcal{O}_X=\bigoplus_{m\ge0}\mathcal{O}_E(m)$ である。よって
$$ H^1(X,\mathcal{O}_X)=\bigoplus_{m\ge0}H^1(E,\mathcal{O}_E(m)) $$
である。完全列 $0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(m-e)\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(m)\to\mathcal{O}_E(m)\to0$ から $H^1(E,\mathcal{O}_E(m))\cong H^2(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(m-e))$ で、その次元は $0\le m\le e-3$ で $\binom{e-m-1}{2}$、$m\ge e-2$ で $0$ である。和をとると $\dim_kH^1(X,\mathcal{O}_X)=\binom{e}{3}$ である。
$A$ の次数 $1$ の元は $H^1$ の次数を $1$ 上げるので、この有限次元の加群に $\mathfrak{m}=(x,y,z)$ の冪が作用して $0$ になる。したがって $R^1f_*\mathcal{O}_X$ は頂点 $o$ だけに台をもつ長さ $\binom{e}{3}$ の連接層である。$e=2$（2 次錐）では $0$ で、$e=3$（平面 3 次曲線の錐）では長さ $1$ である。この値が 有理特異点 とそうでない特異点を分ける。

$k$ を代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線、$o\in E$ を原点とする。$X=E\times E$、$Y=E$、$f=p_2$ とし、$\Delta$ を対角線として
$$ \mathcal{F}:=\mathcal{O}_X(\Delta-\{o\}\times E-E\times\{o\}) $$
とおく。$\mathcal{F}$ は可逆層で $Y$ 上平坦である。$y\ne o$ のファイバー $E\times\{y\}$ への制限は $\mathcal{O}_E(y-o)$ で、これは次数 $0$ の非自明な可逆層なので $H^0=H^1=0$ である。$y=o$ のファイバーへの制限は自明で、$H^0$ も $H^1$ も 1 次元である。ファイバーの次元は $1$ なので底変換は最高次で成り立ち（Har77 III 定理 12.11, p. 290）、$R^1f_*\mathcal{F}$ のファイバーは $H^1(E,\mathcal{F}|_{E\times\{y\}})$ に等しい。よって $R^1f_*\mathcal{F}$ は $o$ だけに台をもつ $0$ でない捩れ層である。$f_*\mathcal{F}$ は整な曲線上の捩れのない層で、半連続性定理 により一般の点で $0$ なので、$f_*\mathcal{F}=0$ である。連接性定理は局所自由性を主張しない。局所自由になる条件は Grauertの定理(順像の局所自由性) が与える。

普遍閉性．$\mathbb{A}^1_k\to\operatorname{Spec}k$ は分離的で有限型だが普遍閉でない（固有射 の例「反例：アフィン直線」）。高次の項でも同じことが起こる。開埋め込み $j\colon\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}\to\mathbb{A}^2_k$ について、Čech 複体から $H^1(\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\},\mathcal{O})$ は単項式 $x^{-a}y^{-b}$（$a,b\ge1$）を基底とする。これは無限次元で、各元が $(x,y)$ の冪で消えるので、$R^1j_*\mathcal{O}$ は有限生成 $k[x,y]$ 加群に対応しない。
分離性．$\mathbb{P}^1_k$ の 2 つのコピー $X_1,X_2$ を $W=\mathbb{P}^1_k\setminus\{0\}\cong\operatorname{Spec}k[t]$ に沿って貼り合わせたものを $X$ とする。$X$ は $k$ 上有限型で普遍閉だが分離的でない（固有射 の例「反例：原点を 2 重にした射影直線」）。Mayer–Vietoris 完全列
$$ H^0(X_1,\mathcal{O})\oplus H^0(X_2,\mathcal{O})\to H^0(W,\mathcal{O})\to H^1(X,\mathcal{O})\to H^1(X_1,\mathcal{O})\oplus H^1(X_2,\mathcal{O}) $$
で、左の項の像は定数 $k$、右の項は $0$ である。よって $H^1(X,\mathcal{O}_X)\cong k[t]/k$ は無限次元である。
有限型．$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ 上整なので $\operatorname{Spec}\overline{\mathbb{Q}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Q}$ は整な射で、普遍閉である（整な射は底変換で整のままで、整な射は閉写像である）。アフィン射なので分離的である。$X=\operatorname{Spec}\overline{\mathbb{Q}}$ は 1 点で Noether で、$\mathcal{O}_X$ は連接である。$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ 上無限次元である。
連接性．$\mathcal{F}$ は 1 点の上の無限次元の線型空間で、$Y=X=\operatorname{Spec}k$ は Noether、$f$ は同型なので固有である。$f_*\mathcal{F}=\mathcal{F}$ は有限型でない。
局所 Noether 性．$A=k[x_1,x_2,\dots]$、$\mathfrak{m}=(x_1,x_2,\dots)$ とする。閉埋め込み $f\colon\operatorname{Spec}A/\mathfrak{m}\to\operatorname{Spec}A$ は固有で、$X=\operatorname{Spec}k$ の上の $\mathcal{O}_X$ は連接である。しかし全射 $\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X=(A/\mathfrak{m})^\sim$ の核 $\mathfrak{m}^\sim$ は有限型でないので、$f_*\mathcal{O}_X$ は 連接層 の定義「連接層の定義」の条件 2 をみたさない。局所 Noether でないスキームの上では、この定義と Har77 II.5（p. 111）の定義は一致しない。$f_*\mathcal{O}_X$ は有限生成 $A$ 加群に付随する層なので、後者の定義では連接である。この反例は前者の定義についてのものである。