Jensenの不等式（高校数学）

各 $i$ で $m\le x_i\le M$ であり、$\lambda_i\ge0$ なので、掛けても不等号の向きは変わらず $\lambda_im\le\lambda_ix_i\le\lambda_iM$ である。$i=1,\dots,n$ について足すと
$$ \Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_i\Bigr)m\le\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\le\Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_i\Bigr)M $$
であり、$\sum_i\lambda_i=1$ なので $m\le\sum_i\lambda_ix_i\le M$ である。区間 $I$ は、$m$ と $M$ が入っていればその間の数もすべて含むので、重み付き平均も $I$ に入る。$\square$

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ から $s=1-\lambda_n=\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-1}$ であり、$\lambda_n<1$ より $s>0$ である。$\mu_i=\frac{\lambda_i}s$ は $0$ 以上で、和は $\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-1}}s=\frac ss=1$ なので重みである。また $s\mu_i=\lambda_i$ なので
$$ s\,y+\lambda_nx_n=\sum_{i=1}^{n-1}s\mu_ix_i+\lambda_nx_n=\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_ix_i+\lambda_nx_n=\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i $$
である。$s+\lambda_n=1$ は $s$ の定義そのものである。$\square$

方針：ex-jens-three-points と同じく、$n$ 点の重心を lem-jens-split で 2 点の平均に分け、凸関数の定義と、$n-1$ 点の場合（帰納法の仮定）を 1 回ずつ使う。左辺の $\sum_i\lambda_ix_i$ は lem-jens-between により $I$ に入るので、$f$ の値が意味をもつ。
段 1（$n=1$）。重みは $\lambda_1=1$ だけで、両辺はともに $f(x_1)$ である。
段 2（帰納法の仮定）。$n\ge2$ とし、$n-1$ 点では不等式が正しいとする。$\lambda_n=1$ なら、他の重みはすべて $0$ で、両辺はともに $f(x_n)$ である。以下 $\lambda_n<1$ とし、lem-jens-split の $s$、$\mu_i$、$y$ を使う。$y$ は $x_1,\dots,x_{n-1}$ の重み付き平均なので、lem-jens-between により $I$ に入る。
段 3（2 点に凸関数の定義を使う）。lem-jens-split より $\sum_i\lambda_ix_i=s\,y+\lambda_nx_n$ で $s+\lambda_n=1$ なので、2 点 $y,x_n$、重み $s,\lambda_n$ に凸関数の定義を使って
$$ f\Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\Bigr)=f(s\,y+\lambda_nx_n)\le s\,f(y)+\lambda_nf(x_n)\qquad(1) $$
である。
段 4（$n-1$ 点に帰納法の仮定を使う）。$y=\sum_{i=1}^{n-1}\mu_ix_i$ で $\mu_i$ は重みなので、帰納法の仮定から
$$ f(y)\le\sum_{i=1}^{n-1}\mu_if(x_i)\qquad(2) $$
である。両辺に $s>0$ を掛けると、$s\mu_i=\lambda_i$ より $s\,f(y)\le\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_if(x_i)$ となる。
段 5（つなぐ）。(1) と段 4 から
$$ f\Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\Bigr)\le s\,f(y)+\lambda_nf(x_n)\le\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_if(x_i)+\lambda_nf(x_n)=\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i) $$
であり、$n$ 点でも不等式が成り立つ。帰納法により、すべての $n$ で成り立つ。
段 6（等号の条件）。$f$ は狭義凸で、すべての $\lambda_i>0$ とする。$x_1=\cdots=x_n$ なら、重み付き平均は $x_1$ で、両辺はともに $f(x_1)$ である。逆に「等号なら $x_1=\cdots=x_n$」を $n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では示すことはない。$n\ge2$ とする。すべての $\lambda_i>0$ なので $0<\lambda_n<1$、$0< s<1$ で、$\mu_i$ もすべて正である。全体で等号が成り立つなら、段 5 の 2 つの $\le$ はどちらも等号でなければならない（どちらかが $<$ なら全体も $<$ になる）。

• 2 つ目の等号から $s\,f(y)=\sum_{i< n}\lambda_if(x_i)$、つまり (2) が等号である。$\mu_i$ はすべて正なので、帰納法の仮定（$n-1$ 点の等号条件）により $x_1=\cdots=x_{n-1}$ であり、$y=x_1$ である。
• 1 つ目の等号から (1) が等号である。$0<\lambda_n<1$ なので、狭義凸関数の定義により $y=x_n$ でなければならない。
  よって $x_1=\cdots=x_{n-1}=y=x_n$ である。$\square$

方針：$S:=a^{4/3}+b^{4/3}+c^{4/3}$ とおき、各項を $\frac{a^{4/3}}S$ のように「3 つ足すと $1$ になる形」で下から押さえる。
指数 $\frac43$ の見つけ方（証明には使わない）。指数を $r$ として、$\frac a{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\frac{a^r}{a^r+b^r+c^r}$ を目指す。$b=c=1$ とすると、左辺は $g(a):=\frac a{\sqrt{a^2+8}}$、右辺は $h(a):=\frac{a^r}{a^r+2}$ で、$a=1$ ではどちらも $\frac13$ になる。$a=1$ の前後で $g$ が $h$ を下回らないためには、$a=1$ での傾き（微分係数）が等しくなければならない。実際、$(g-h)'(1)>0$ なら、$a$ が $1$ より少し小さいところで $g(a)-h(a)<0$ となり、$(g-h)'(1)<0$ なら、$a$ が $1$ より少し大きいところで $g(a)-h(a)<0$ となってしまう。微分すると
$$ g'(a)=\frac1{\sqrt{a^2+8}}-\frac{a^2}{(a^2+8)^{3/2}}=\frac8{(a^2+8)^{3/2}},\qquad h'(a)=\frac{ra^{r-1}(a^r+2)-a^r\cdot ra^{r-1}}{(a^r+2)^2}=\frac{2ra^{r-1}}{(a^r+2)^2} $$
なので、$g'(1)=\frac8{27}$、$h'(1)=\frac{2r}9$ である。$\frac{2r}9=\frac8{27}$ から $r=\frac43$ となる。こうして見つけた指数で、次の段 1〜5 の証明が通る。
段 1（示すこと）。次の不等式 $(\ast)$ を示せば十分である。
$$ \frac a{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\frac{a^{4/3}}S\qquad(\ast) $$
実際、$b,c$ についても文字を入れかえて同じ不等式を作り、3 つを足すと、右辺の和は $\frac{a^{4/3}+b^{4/3}+c^{4/3}}S=1$ になる。
段 2（$(\ast)$ を言い換える）。両辺は正なので、$(\ast)$ は分母を払った $S\ge a^{1/3}\sqrt{a^2+8bc}$ と同じであり（両辺に $\frac{S\sqrt{a^2+8bc}}{a}$ を掛けた）、両辺は正なので 2 乗した
$$ S^2\ge a^{2/3}(a^2+8bc)=a^{8/3}+8a^{2/3}bc $$
と同じである。
段 3（因数分解）。$a^{8/3}=\bigl(a^{4/3}\bigr)^2$ なので、$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ を $X=S$、$Y=a^{4/3}$ に使うと
$$ S^2-a^{8/3}=\bigl(b^{4/3}+c^{4/3}\bigr)\bigl(2a^{4/3}+b^{4/3}+c^{4/3}\bigr) $$
である。
段 4（2 つの因子を相加相乗平均で押さえる）。第 1 因子には 2 数の相加相乗平均を使って $b^{4/3}+c^{4/3}\ge2\sqrt{b^{4/3}c^{4/3}}=2b^{2/3}c^{2/3}$ である。第 2 因子には 4 数 $a^{4/3},a^{4/3},b^{4/3},c^{4/3}$ の相加相乗平均（2 数の場合を 2 回使うと得られる：$\frac{p+q+r+t}4\ge\frac{\sqrt{pq}+\sqrt{rt}}2\ge\sqrt[4]{pqrt}$）を使って
$$ 2a^{4/3}+b^{4/3}+c^{4/3}\ge4\sqrt[4]{a^{8/3}b^{4/3}c^{4/3}}=4a^{2/3}b^{1/3}c^{1/3} $$
である。
段 5（掛ける）。2 つの不等式の両辺は正なので掛け合わせてよく、
$$ S^2-a^{8/3}\ge2b^{2/3}c^{2/3}\cdot4a^{2/3}b^{1/3}c^{1/3}=8a^{2/3}bc $$
となる。これは段 2 の不等式であり、$(\ast)$ が示された。$\square$