局所分解的スキーム

1：$\pi$ を $A$ の素元とする。$\pi$ が $T$ のある元を割るなら、$\pi$ は $T^{-1}A$ の単元である。そうでないなら $\pi$ は $T^{-1}A$ の素元である。実際、$(a/s)(b/t)\in\pi T^{-1}A$ なら $s'ab=\pi c$ となる $s'\in T$、$c\in A$ があり、$\pi\nmid s'$ だから $\pi\mid a$ または $\pi\mid b$ である。また $\pi$ は $T^{-1}A$ の単元でない（$\pi\cdot(c/s)=1$ なら $\pi c=s$ となり $\pi\mid s$）。$T^{-1}A$ の $0$ でない元 $a/s$ は、$a$ の $A$ での素元分解により「単元 × $T^{-1}A$ の素元の積」と書ける。$0$ でも単元でもない元がすべて素元の積になる整域は一意分解整域である。
2：$\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}=A_\mathfrak{p}$ に 1 を使う。開部分スキームの局所環はもとの局所環と同じである。
3：一意分解整域 $R$ は整閉である。実際、商体の元 $a/b$（$a,b\in R$ は共通の素因子をもたない）が $R$ 上整で $a^n+c_1a^{n-1}b+\dots+c_nb^n=0$ をみたすとき、$b$ を割る素元 $\pi$ があれば $\pi\mid a^n$、したがって $\pi\mid a$ となり矛盾するから、$b$ は単元で $a/b\in R$ である。
4：$\mathfrak{p}\subset\mathfrak{m}$ なら $A_\mathfrak{p}=(A_\mathfrak{m})_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}}$ であり、どの素イデアルも極大イデアルに含まれるから、1 による。$\square$

1 ⇔ 2：$\mathcal{O}_{X,x}$ は Noether 正規整域だから、Weil因子 の命題「一意分解性と因子類群」により、一意分解整域であることと $\operatorname{Cl}(\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x})=0$ であることは同値である。
1 ⇒ 3：素因子 $Y$ と点 $x$ をとる。$x\notin Y$ なら $U=X\setminus Y$、$f=1$ でよい。$x\in Y$ とする。$\mathcal{O}_{X,x}$ は一意分解整域なので高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}_Y$ は単項である（Mat86 Theorem 20.1）。$\mathfrak{p}_Y=(g)$ とすると、Weil因子 の補題「素因子が主因子であることと単項性」を $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}$ に適用して、$\operatorname{ord}_Y(g)=1$、および $x$ を含む他の素因子 $Y'$ で $\operatorname{ord}_{Y'}(g)=0$ を得る。Weil 因子 $Y-\operatorname{div}(g)$ に係数 $0$ でなく現れる素因子は有限個で、どれも $x$ を含まない。それらを $X$ から除いた開集合を $U$ とすれば $Y|_U=\operatorname{div}(g)|_U$ である。
3 ⇒ 1：$x\in X$ をとる。$\mathcal{O}_{X,x}$ は Noether 整域なので、高さ $1$ の素イデアルがすべて単項であることを示せば一意分解整域である（Mat86 Theorem 20.1）。高さ $1$ の素イデアルは素因子 $Y\ni x$ により $\mathfrak{p}_Y$ と書ける。3 により $x$ の近傍 $U$ で $Y|_U=\operatorname{div}(f)|_U$ となる $f$ がある。$x$ を含む素因子はすべて $U$ と交わるから、上の式により $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}$ の上で $V(\mathfrak{p}_Y)=\operatorname{div}(f)$ である。ふたたび補題「素因子が主因子であることと単項性」により $\mathfrak{p}_Y=f\,\mathcal{O}_{X,x}$ は単項である。
1 ⇒ 4：Cartier因子 の定理「CartierからWeilへ」の 3 である。
4 ⇒ 3：Cartier 因子 $D=\{(U_i,f_i)\}$ について、定義から $\varphi(D)|_{U_i}=\operatorname{div}(f_i)|_{U_i}$ だから、$\varphi$ の像の元は局所的に主因子である。$\varphi$ が全射なら、素因子 $Y$ もそうである。
最後の主張：4 の全単射は主因子を主因子に移し（定理「CartierからWeilへ」の 1）、その逆も同じ定理の 2 の単射性から主因子を主因子に移すので、$\operatorname{CaCl}(X)\cong\operatorname{Cl}(X)$ を誘導する。$X$ は整だから、Cartier因子 の定理「Cartier因子類群とPicard群」により $\operatorname{CaCl}(X)\cong\operatorname{Pic}(X)$ である。$\square$

Mat86 Theorem 20.1 により、$A$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が単項であることを示せばよい。
$s\in\mathfrak{p}$ の場合：$(s)$ は $0$ でない素イデアルで $(s)\subset\mathfrak{p}$、$\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1$ だから $\mathfrak{p}=(s)$ である。
$s\notin\mathfrak{p}$ の場合：$\mathfrak{p}A[s^{-1}]$ は $A[s^{-1}]$ の高さ $1$ の素イデアルだから単項であり、分母を払って生成元 $a\in\mathfrak{p}$ をとれる。Noether 整域では $\bigcap_{m\ge0}s^mA=0$（Krullの交叉定理）なので $a=s^mg$（$g\in A$、$s\nmid g$）と書ける。$s^m$ は $A[s^{-1}]$ の単元だから $g$ も $\mathfrak{p}A[s^{-1}]$ を生成し、$s\notin\mathfrak{p}$ と $s^mg\in\mathfrak{p}$ から $g\in\mathfrak{p}$ である。$\mathfrak{p}=gA$ を示す。$b\in\mathfrak{p}$ をとると $b=gc/s^n$（$c\in A$、$n\ge0$）と書け、このような表示で $n$ が最小のものをとる。$n>0$ なら $s^nb=gc$ で、$s$ は素元で $s\nmid g$ だから $s\mid c$ となり、$n$ の最小性に反する。よって $n=0$、$b\in gA$ である。$\square$