余接束

$p\in U\cap V$ とし、同じ余接ベクトルを $\sum_i\xi_i\,dx_i|_p=\sum_j\eta_j\,dy_j|_p$ と 2 通りに書く。余接空間 の定理「座標微分が双対基底になる」を関数 $y_j$ に当てると $dy_j|_p=\sum_i\dfrac{\partial y_j}{\partial x_i}(p)\,dx_i|_p$ なので、
$$ \sum_j\eta_j\,dy_j|_p=\sum_i\Bigl(\sum_j\frac{\partial y_j}{\partial x_i}(p)\,\eta_j\Bigr)dx_i|_p $$
であり、係数を比べて $\xi_i=\sum_j\bigl(\partial y_j/\partial x_i\bigr)(p)\,\eta_j$、すなわち $\xi=Dh(x)^{\top}\eta$（$x=\varphi(p)$）である。$h$ は滑らかな逆写像 $\varphi\circ\psi^{-1}$ をもつので、連鎖律により $Dh(x)$ は正則であり、$\eta=\bigl(Dh(x)^{\top}\bigr)^{-1}\xi$ を得る。底空間の点は $\psi(p)=h(x)$ に移る。$\square$

接束 の定理「滑らかなベクトル束の構成」を、$E:=T^*M$、$r:=n$、$M$ の滑らかな座標近傍の全体を添字とする開被覆、局所自明化 $\Phi_U$ に当てる。条件 1（$\mathrm{pr}_1\circ\Phi_U=\pi$ で、各ファイバーの上で線形同型）は上で見た。条件 2 は prop-cotb-transition による。実際、$\tau_{VU}=\bigl((Dh)^{\top}\bigr)^{-1}\circ\varphi$ の値は $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ に入り、その成分は、$h$ の偏導関数（滑らか）の多項式を、$0$ にならない行列式 $\det Dh$ で割ったものなので（余因子による逆行列の公式）、$\tau_{VU}$ は滑らかである。よって主張の構造がただ 1 つ存在する。$\tilde\varphi=(\varphi\times\mathrm{id})\circ\Phi_U$ は 2 つの微分同相写像の合成なので、滑らかな座標近傍である。$\square$

1．$p\in U$ について、$\omega$ の局所表示は $\tilde\varphi\circ\omega\circ\varphi^{-1}(x)=\bigl(x,\ \omega_1(\varphi^{-1}(x)),\dots,\omega_n(\varphi^{-1}(x))\bigr)$ である。第 1 成分は滑らかなので、この局所表示が滑らかであることは、各 $\omega_i\circ\varphi^{-1}$ が滑らかであることと同値である。自然な座標は thm-cotb-smooth により滑らかな座標近傍で、$M$ の座標近傍と合わせて $\omega$ の滑らかさを判定できる（$\omega(U)\subset\pi^{-1}(U)$）ので、主張が従う。
2．余接空間 の定理「座標微分が双対基底になる」により $df_p=\sum_i(\partial f/\partial x_i)(p)\,dx_i|_p$ であり、成分 $\partial f/\partial x_i$ は滑らかな関数である。1 により $df$ は滑らかである。$\square$

$\Gamma_{df}$ は切断 $s:=df$ の像で、零切断は切断 $0$ の像である。切断 $s$ は $\pi\circ s=\mathrm{id}_M$ なので単射なはめ込みで、自然な座標では $x\mapsto(x,\nabla f(x))$（$\nabla f$ は偏導関数を並べたもの）と表され、その像は $\{(x,\xi)\mid\xi=\nabla f(x)\}$ という滑らかな関数のグラフである。滑らかな関数のグラフは部分多様体なので（座標 $(x,\xi-\nabla f(x))$ で平らになる）、$\Gamma_{df}$ は $n$ 次元の部分多様体であり、零切断も同様である。交わりの点 $(p,df_p)=(q,0)$ では $p=q$ かつ $df_p=0$ なので、交わりは臨界点に対応する点の全体である。
$p$ のまわりの局所座標と自然な座標で接空間を $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ と同一視し、$H$ を $p$ での Hesse 行列とする。$s$ の局所表示 $x\mapsto(x,\nabla f(x))$ の微分は $v\mapsto(v,Hv)$ なので $T_{(p,0)}\Gamma_{df}=\{(v,Hv)\mid v\in\mathbb{R}^n\}$、同様に $T_{(p,0)}0_M=\{(w,0)\mid w\in\mathbb{R}^n\}$ である。2 つの和は $\{(v+w,Hv)\}$ で、第 1 成分は自由に選べるので、和が $\mathbb{R}^{2n}$ 全体になることは $\{Hv\mid v\in\mathbb{R}^n\}=\mathbb{R}^n$、すなわち $H$ が正則であることと同値である。$\square$

1．前半は $dF_p^*$ が線形であることから従う。後半は、$v\in T_pM$ について連鎖律により $(F^*du)_p(v)=du_{F(p)}(dF_p v)=d(u\circ F)_p(v)$ である。
2．$F(p)$ を含む座標近傍の逆像（$p$ の開近傍）の上で、1 を 2 回使うと $F^*\omega=\sum_jF^*(\omega_j\,dy_j)=\sum_j(\omega_j\circ F)\,F^*(dy_j)=\sum_j(\omega_j\circ F)\,d(y_j\circ F)$ である。$\omega$ が滑らかなら、prop-cotb-smooth-section の 1 により $\omega_j$ は滑らかで、$\omega_j\circ F$ と $d(y_j\circ F)$ の成分は滑らかなので、$F^*\omega$ の成分は滑らかである。
3．連鎖律 $d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p$ の両辺の双対をとれば、$d(G\circ F)_p^*=dF_p^*\circ dG_{F(p)}^*$ である。$\square$

1．$\pi_N\circ F^\sharp=F\circ\pi_M$ と、ファイバーの上で線形なことは定義から明らかである。連鎖律 $d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p$ から $\bigl(d(G\circ F)_p\bigr)^{-1}=(dF_p)^{-1}\circ\bigl(dG_{F(p)}\bigr)^{-1}$ なので、$(G\circ F)^\sharp=G^\sharp\circ F^\sharp$ である。$(\mathrm{id}_M)^\sharp=\mathrm{id}$ も明らかなので、$F^\sharp$ は逆写像 $(F^{-1})^\sharp$ をもつ全単射である。滑らかさを見るため、$p$ のまわりの座標 $x$ と $F(p)$ のまわりの座標 $y$ をとり、$F$ の局所表示を $\hat F$ とする。$dF_p(\partial/\partial x_i)=\sum_j(\partial\hat F_j/\partial x_i)\,\partial/\partial y_j$ なので、$\eta:=\xi\circ(dF_p)^{-1}$ の成分は $\xi_i=\eta\bigl(dF_p(\partial/\partial x_i)\bigr)=\sum_j(\partial\hat F_j/\partial x_i)\,\eta_j$ を満たし、$\eta=\bigl(D\hat F(x)^{\top}\bigr)^{-1}\xi$ である。よって自然な座標での局所表示は $(x,\xi)\mapsto\bigl(\hat F(x),(D\hat F(x)^{\top})^{-1}\xi\bigr)$ で、prf-cotb-smooth と同じ理由で滑らかである。逆写像 $(F^{-1})^\sharp$ も同様に滑らかなので、$F^\sharp$ は微分同相写像である。
2．$V\in T_{(p,\xi)}(T^*M)$ をとり、$(q,\eta):=F^\sharp(p,\xi)$ とおく。$\pi_N\circ F^\sharp=F\circ\pi_M$ の微分をとると $d\pi_N\circ dF^\sharp=dF_p\circ d\pi_M$ なので、
$$ \bigl((F^\sharp)^*\lambda_N\bigr)(V)=\eta\bigl(d\pi_N\,dF^\sharp V\bigr)=\xi\circ(dF_p)^{-1}\bigl(dF_p\,d\pi_MV\bigr)=\xi\bigl(d\pi_MV\bigr)=(\lambda_M)(V) $$
である。$\square$

局所座標で $g_{ij}:=g(\partial/\partial x_i,\partial/\partial x_j)$ とおくと、$v=\sum_jv_j\,\partial/\partial x_j$ について $g_p(v,\partial/\partial x_i)=\sum_jg_{ij}(p)v_j$ なので、自然な座標での局所表示は $(x,v)\mapsto\bigl(x,G(x)v\bigr)$、$G=(g_{ij})$ である。$G(x)$ は正定値対称行列なので正則で、成分は $x$ の滑らかな関数である。逆写像の局所表示 $(x,\xi)\mapsto(x,G(x)^{-1}\xi)$ も滑らかなので、$g^\flat$ はファイバーの上で線形な微分同相写像であり、ベクトル束の同型である。$\square$