Thébaultの定理

同義語：テボーの定理Thébault's problem I

概要

前提知識: Van Aubelの定理（四角形）, 平行四辺形の条件, 複素数の掛け算は回転と拡大

高校での出発点：平行四辺形の 4 辺に正方形を立てる

Van Aubelの定理（四角形）では、四角形 $ABCD$ の各辺の外側に正方形を立て、辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の上の正方形の中心を $P$、$Q$、$R$、$S$ とすると、$PR$ と $QS$ は長さが等しく直交することを見た。ただし、4 点 $P$、$Q$、$R$、$S$ を順に結んだ四角形は、一般には正方形にならなかった。もとの四角形が平行四辺形のときに、何が起こるかを調べる。
中心の求め方は Van Aubel の定理の記事と同じである。辺 $XY$ の外側（頂点を反時計回りにとったときの右側）の正方形の中心は、辺の中点から、$\overrightarrow{XY}$ を時計回りに $90^\circ$ 回して（$(x,y)\mapsto(y,-x)$）半分にしたベクトルだけ進んだ点である。

平行四辺形で確かめる

$A(0,0)$、$B(5,-1)$、$C(7,3)$、$D(2,4)$ とする。$\overrightarrow{AB}=(5,-1)=\overrightarrow{DC}$ なので、$ABCD$ は平行四辺形である（頂点は反時計回り）。
(1) 辺 $AB$：中点 $\left(\dfrac52,-\dfrac12\right)$ に、$(5,-1)$ を回した $(-1,-5)$ の半分を足して $P=(2,-3)$。
(2) 辺 $BC$：中点 $(6,1)$ に、$\overrightarrow{BC}=(2,4)$ を回した $(4,-2)$ の半分を足して $Q=(8,0)$。
(3) 辺 $CD$：中点 $\left(\dfrac92,\dfrac72\right)$ に、$\overrightarrow{CD}=(-5,1)$ を回した $(1,5)$ の半分を足して $R=(5,6)$。
(4) 辺 $DA$：中点 $(1,2)$ に、$\overrightarrow{DA}=(-2,-4)$ を回した $(-4,2)$ の半分を足して $S=(-1,3)$。
四角形 $PQRS$ の辺のベクトルは
$$ \overrightarrow{PQ}=(6,3),\qquad \overrightarrow{QR}=(-3,6),\qquad \overrightarrow{RS}=(-6,-3),\qquad \overrightarrow{SP}=(3,-6) $$
で、4 本とも長さは $\sqrt{45}=3\sqrt5$ である。$\overrightarrow{QR}$ は $\overrightarrow{PQ}$ を反時計回りに $90^\circ$ 回したもので（$(6,3)\mapsto(-3,6)$）、次の辺も同じように $90^\circ$ ずつ回っている。4 辺が等しく、どの角も直角なので、$PQRS$ は正方形である。対角線 $PR$ と $QS$ の中点はどちらも $\left(\dfrac72,\dfrac32\right)$ で、これは平行四辺形の対角線 $AC$ の中点と同じ点である。

平行四辺形でない四角形では

Van Aubelの定理（四角形）の例の四角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(3,3)$、$D(0,2)$ では、$P(2,-2)$、$Q(5,2)$、$R(1,4)$、$S(-1,1)$ だった。$PQ^2=3^2+4^2=25$、$QR^2=4^2+2^2=20$ で、隣り合う辺の長さが違い、$PQRS$ は正方形ではない。$PR$ の中点は $\left(\dfrac32,1\right)$、$QS$ の中点は $\left(2,\dfrac32\right)$ で、一致しない。

一般の平行四辺形の 4 辺の外側に正方形を立てると、4 つの中心 P、Q、R、S は正方形の頂点になる

長方形でも 4 つの中心は正方形をなす

ひし形でも 4 つの中心は正方形をなす

図 1〜3 は、一般の平行四辺形・長方形・ひし形で、4 つの中心を結んだ四角形（紫）がどれも正方形になる様子である。この記事で答える問いは次の 3 つである。

平行四辺形なら、いつも $PQRS$ は正方形か。その正方形の中心と大きさは何か。→ thm-thb-main、cor-thb-side
逆に、$PQRS$ が正方形なら、もとの四角形は平行四辺形か。→ thm-thb-converse

なぜ正方形になるのか。対称性で説明できるか。→ prf-thb-main、prop-thb-rotation

高校の言葉	この記事の言葉	大学の言葉
平行四辺形は対角線の交点について点対称	点対称で $P\leftrightarrow R$、$Q\leftrightarrow S$	$180^\circ$ 回転 $z\mapsto2o-z$
対角線が等しく直交（Van Aubel）	対角線が互いの中点で交わり等しく直交	正方形の判定
4 つの中心が正方形	$O$ のまわりの $90^\circ$ 回転で $P\to Q\to R\to S\to P$	位数 $4$ の回転の群

主定理：平行四辺形の正方形の中心は正方形をなす

Thébaultの定理

平行四辺形 $ABCD$（頂点は反時計回り）の各辺の外側に正方形を立て、辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の上の正方形の中心を $P$、$Q$、$R$、$S$ とする。このとき四角形 $PQRS$ は正方形であり、その中心（対角線の交点）は、平行四辺形 $ABCD$ の対角線の交点 $O$ である。

名前について：この定理は Bog26 で Thébault の問題 I として扱われている。Thébault の名は、三角形の外接円に接する円についての別の定理（Sawayama–Thébaultの定理、Wei26b）にも使われている。
証明は 2 段に分かれる。まず平行四辺形の点対称から、$PR$ と $QS$ が $O$ を共通の中点にもつことを示す。次に Van Aubel の定理から、$PR$ と $QS$ が等しく直交することを使う。平行四辺形の条件の系「対角線が互いの中点で交わり、長さが等しく、直交する四角形は正方形」を当てはめれば終わる。

点対称

点 $O$ を 1 つ決める。平面の点 $X$ に、$O$ が線分 $XX'$ の中点になる点 $X'$ を対応させる写像を、$O$ に関する 点対称 という。$X=O$ のときは $X'=O$ とする。複素数では、$O$ を $o$ として $x\mapsto2o-x$ である。これは $O$ のまわりの $180^\circ$ の回転でもある（$2o-x=o+(-1)(x-o)$ で、$-1$ を掛けることは $180^\circ$ 回転）。

点対称は $180^\circ$ の回転なので、長さと角の大きさを変えず、図形の向き（右と左）も変えない。
平行四辺形の中心 O に関する点対称で、辺 AB の正方形は辺 CD の正方形に、辺 BC の正方形は辺 DA の正方形に移る。赤の PR と青の QS はどちらも O を中点にもつ

点対称と Van Aubel の定理で示す

段 1（点対称）。$O$ を平行四辺形 $ABCD$ の対角線の交点とし、$O$ に関する点対称を $\sigma$ とする。平行四辺形の対角線は互いの中点で交わる（平行四辺形の条件の平行四辺形の性質）ので、$O$ は $AC$ の中点であり $BD$ の中点でもある。よって $\sigma(A)=C$、$\sigma(B)=D$、$\sigma(C)=A$、$\sigma(D)=B$ である（図 4）。
段 2（正方形が正方形に移る）。$\sigma$ は回転なので、辺 $AB$ の右側に立てた正方形を、$\sigma(A)=C$ から $\sigma(B)=D$ への辺 $CD$ の右側に立てた正方形に移す。正方形の中心は対角線の中点で、$\sigma$ は中点を中点に移すので、$\sigma(P)=R$ である。同じく辺 $BC$ の正方形は辺 $DA$ の正方形に移り、$\sigma(Q)=S$ である。したがって $O$ は線分 $PR$ の中点であり、線分 $QS$ の中点でもある。
段 3（Van Aubel の定理）。Van Aubelの定理（四角形）により、$PR=QS$、$PR\perp QS$ であり、$P\ne R$ である。
段 4（正方形）。段 2・3 から、2 本の線分 $PR$、$QS$ は、共通の中点 $O$ で直交し、長さが等しく $0$ でない。4 点 $P$、$Q$、$R$、$S$ はどれも $O$ から距離 $\dfrac12PR$ にあり、$O$ のまわりに直角ずつ離れて並ぶので、四角形 $PQRS$ ができて、その対角線は互いの中点で交わり、長さが等しく、直交する。平行四辺形の条件の系（対角線による長方形・ひし形・正方形の判定）の最後の主張により、$PQRS$ は正方形である。その中心は対角線の交点 $O$ である。

段 2 の「右側に立てた正方形が右側に立てた正方形に移る」ところは、複素数でも確かめられる。辺 $XY$ の右側の正方形の中心は $\dfrac{(1+i)x+(1-i)y}2$ だった（Van Aubelの定理（四角形）の補題）。平行四辺形では $a+c=b+d=2o$ なので、$(1+i)+(1-i)=2$ を使うと $2o=\dfrac{(1+i)(a+c)+(1-i)(b+d)}2$ と書ける。よって
$$ 2o-p=\frac{(1+i)(a+c)+(1-i)(b+d)-(1+i)a-(1-i)b}2=\frac{(1+i)c+(1-i)d}2=r $$
で、$\sigma(P)=R$ である。

Van Aubel の定理を使わない別証明（複素数の計算）を開く

$o=\dfrac{a+c}2$ とする。$2(p-o)=(1+i)a+(1-i)b-a-c=ia+(1-i)b-c$ なので、$i$ を掛けると $2i(p-o)=-a+(1+i)b-ic$ である。一方 $2(q-o)=(1+i)b+(1-i)c-a-c=(1+i)b-ic-a$ で、両者は等しい。よって $q-o=i(p-o)$、つまり $Q$ は $P$ を $O$ のまわりに反時計回りに $90^\circ$ 回した点である（この計算には $d$ が出てこない）。頂点の名前を $B$、$C$、$D$、$A$ とずらしても平行四辺形で、中心は同じ $O$（$\dfrac{b+d}2=\dfrac{a+c}2$）なので、同じ計算で $r-o=i(q-o)$、$s-o=i(r-o)$ である。4 点 $P$、$Q$、$R$、$S$ は $O$ のまわりに $90^\circ$ ずつ回した点で、$P\ne O$ なので正方形の頂点をなす（$P=O$ なら $2(p-o)=ia+(1-i)b-c=0$ で、$c-b=i(a-b)$、つまり $\overrightarrow{BC}$ が $\overrightarrow{BA}$ を反時計回りに $90^\circ$ 回したものになり、頂点が反時計回りであることに反する）。

長方形とひし形で確かめる

長方形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,2)$、$D(0,2)$（図 2）。中心は $P(2,-2)$、$Q(5,1)$、$R(2,4)$、$S(-1,1)$ で、$\overrightarrow{PQ}=(3,3)$、$\overrightarrow{QR}=(-3,3)$、$\overrightarrow{RS}=(-3,-3)$、$\overrightarrow{SP}=(3,-3)$ である。4 辺の長さの 2 乗はどれも $18$ で、隣り合う辺は $90^\circ$ ずつ回っている。$PR$ と $QS$ の中点はどちらも $(2,1)$ で、長方形の中心と一致する。
ひし形 $A(0,0)$、$B(5,0)$、$C(9,3)$、$D(4,3)$（図 3）。中心は $P\left(\dfrac52,-\dfrac52\right)$、$Q\left(\dfrac{17}2,-\dfrac12\right)$、$R\left(\dfrac{13}2,\dfrac{11}2\right)$、$S\left(\dfrac12,\dfrac72\right)$ で、$\overrightarrow{PQ}=(6,2)$、$\overrightarrow{QR}=(-2,6)$ である。辺の長さの 2 乗は $40$、中心は $\left(\dfrac92,\dfrac32\right)$ で、ひし形の対角線 $AC$ の中点と一致する。

正方形の大きさ

正方形 $PQRS$ の 1 辺の長さ

thm-thb-main で、平行四辺形の 2 辺の長さを $m=AB$、$n=AD$、角 $A$ の大きさを $\theta$ とすると、正方形 $PQRS$ の 1 辺の長さについて
$$ PQ^2=\frac{m^2+n^2}2+mn\sin\theta $$
が成り立つ。

正方形 $PQRS$ の対角線の長さは $PR$ で、1 辺の長さはその $\dfrac1{\sqrt2}$ 倍なので $PQ^2=\dfrac12PR^2$ である。Van Aubelの定理（四角形）の命題（中心を結ぶ線分の長さ）により、平行四辺形の面積を $K$ として $PR^2=\dfrac{AC^2+BD^2}2+2K$ である。平行四辺形の法則により $AC^2+BD^2=2(m^2+n^2)$ である（中線定理（高校数学））。面積は三角形 $ABD$ の 2 倍なので $K=2\cdot\dfrac12mn\sin\theta=mn\sin\theta$ である（三角形の面積の公式）。よって
$$ PQ^2=\frac12\left(\frac{2(m^2+n^2)}2+2mn\sin\theta\right)=\frac{m^2+n^2}2+mn\sin\theta $$
である。

1 辺の長さの式を確かめる

ex-thb-start の平行四辺形では $m^2=5^2+1^2=26$、$n^2=2^2+4^2=20$、面積は $K=mn\sin\theta=\lvert5\cdot4-(-1)\cdot2\rvert=22$（2 つのベクトル $(5,-1)$、$(2,4)$ が作る平行四辺形の面積）で、$\dfrac{26+20}2+22=45$ となり、ex-thb-start の $PQ^2=45$ と一致する。
ex-thb-main の長方形では $m=4$、$n=2$、$\theta=90^\circ$ で $\dfrac{16+4}2+8=18$、ひし形では $m=n=5$、$\sin\theta=\dfrac35$ で $25+15=40$ である。

もとの四角形の種類ごとに、4 つの中心を結んだ四角形 $PQRS$ をまとめると次のようになる（$m=AB$、$n=AD$、$\theta=\angle A$）。

もとの四角形 $ABCD$	四角形 $PQRS$	1 辺の長さ $PQ$
一般の四角形	対角線が等しく直交する（Van Aubel の定理）	一定の式はない
平行四辺形	正方形	$\sqrt{\dfrac{m^2+n^2}2+mn\sin\theta}$
長方形	正方形	$\dfrac{m+n}{\sqrt2}$
ひし形（$m=n$）	正方形	$m\sqrt{1+\sin\theta}$
正方形（$m=n$、$\theta=90^\circ$）	正方形	$\sqrt2\,m$

逆：4 つの中心が正方形なら平行四辺形

thm-thb-main の逆も成り立つ。Van Aubel の定理により、どんな四角形でも $PQRS$ の 2 本の対角線は等しく直交するので、$PQRS$ が正方形になるかどうかは「対角線が互いの中点で交わるか」だけで決まる。それを複素数で調べる。

正方形になる条件

四角形 $ABCD$（頂点は反時計回り）の各辺の外側に正方形を立て、中心を $P$、$Q$、$R$、$S$ とする。このとき
$$ (p+r)-(q+s)=i\,\bigl((a+c)-(b+d)\bigr) $$
が成り立つ。したがって、次の 3 つは同値である。

$ABCD$ は平行四辺形である。
線分 $PR$ と線分 $QS$ の中点が一致する。
四角形 $PQRS$ は正方形である。

等式。Van Aubelの定理（四角形）の中心の式から
$$ 2(p+r)=(1+i)(a+c)+(1-i)(b+d),\qquad 2(q+s)=(1+i)(b+d)+(1-i)(a+c) $$
である。引くと、$(a+c)$ の係数は $(1+i)-(1-i)=2i$、$(b+d)$ の係数は $(1-i)-(1+i)=-2i$ なので、$2(p+r)-2(q+s)=2i\bigl((a+c)-(b+d)\bigr)$ である。両辺を $2$ で割ればよい。
1 から 3 は thm-thb-main である。3 から 2：正方形は平行四辺形なので、対角線は互いの中点で交わる（平行四辺形の条件の平行四辺形の性質）。2 から 1：中点が一致すれば $p+r=q+s$ で、等式の左辺が $0$ になる。$i\ne0$ なので $a+c=b+d$ で、平行四辺形の条件のベクトルによる言いかえ（中点の一致）により、$ABCD$ は平行四辺形である。

等脚台形では正方形にならない

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4,2)$、$D(2,2)$（等脚台形）では、中心は $P(3,-3)$、$Q(6,2)$、$R(3,3)$、$S(0,2)$ である（図 5）。$PR^2=36=QS^2$、$\overrightarrow{PR}=(0,6)$ と $\overrightarrow{QS}=(-6,0)$ は直交し、Van Aubel の定理のとおりである。しかし $PR$ の中点は $(3,0)$、$QS$ の中点は $(3,2)$ で一致しない。等式で見ると、$(p+r)-(q+s)=6-(6+4i)=-4i$、$i\bigl((a+c)-(b+d)\bigr)=i\bigl((4+2i)-(8+2i)\bigr)=-4i$ で一致している。辺の長さの 2 乗は $PQ^2=34$、$QR^2=10$、$RS^2=10$、$SP^2=34$ で、$PQRS$ は正方形ではなく、2 組の隣り合う辺が等しい四角形（たこ形）である。

等脚台形では、4 つの中心を結んだ四角形は対角線が等しく直交するが、互いの中点で交わらず、正方形にならない

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
もとの四角形が平行四辺形	等脚台形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(4,2)$、$D(2,2)$（ex-thb-converse）	$PQRS$ が正方形
もとの四角形が平行四辺形	ex-thb-start-non の四角形	$PQRS$ が正方形
4 つの正方形を同じ側に立てる	ex-thb-start の平行四辺形で辺 $CD$ だけ内側	$PQRS$ が正方形

反例：1 つだけ内側に立てる

ex-thb-start の平行四辺形で、辺 $CD$ の正方形だけを内側に立てる。内側の中心は、辺の中点から $\overrightarrow{CD}=(-5,1)$ を反時計回りに $90^\circ$ 回した $(-1,-5)$ の半分だけ進んだ点で、$R'=\left(\dfrac92-\dfrac12,\ \dfrac72-\dfrac52\right)=(4,1)$ である。$P(2,-3)$、$Q(8,0)$、$S(-1,3)$ はそのままで、辺の長さの 2 乗は $PQ^2=45$、$QR'^2=16+1=17$、$R'S^2=25+4=29$、$SP^2=9+36=45$ となり、正方形ではない。
外した条件：4 つの正方形を同じ側に立てること。崩れること：$PQRS$ が正方形であること。prf-thb-main の段 2 で、点対称は辺 $AB$ の外側の正方形を辺 $CD$ の外側の正方形に移したが、辺 $CD$ の正方形が内側にあると $\sigma(P)=R'$ にならない（$\sigma(P)=2o-p=(5,6)\ne R'$）。

すべて内側にそろえると、結論は成り立つ（ただし $ABCD$ が正方形のときは 4 つの中心が 1 点に重なる。演習を参照）。点対称は内側の正方形を内側の正方形に移すので prf-thb-main の段 1・2 はそのまま通り、Van Aubel の定理も内側にそろえた場合に成り立つ（Van Aubelの定理（四角形）の例「すべて内側に立てても成り立つ」）。ex-thb-start の平行四辺形では、内側の中心は $(3,2)$、$(4,2)$、$(4,1)$、$(3,1)$ で、1 辺の長さ $1$ の正方形である（図 6）。
同じ平行四辺形の内側に正方形を立てると、4 つの中心は小さな正方形をなす

大学数学で見る：$90^\circ$ 回転の群

長方形でもひし形でもない平行四辺形は、恒等写像を除くと、中心 $O$ のまわりの $180^\circ$ 回転 $\sigma$ でしか自分自身に重ならない。ところが 4 つの中心 $P$、$Q$、$R$、$S$ は、$O$ のまわりの $90^\circ$ 回転で重なり合う。

中心の $90^\circ$ 回転

thm-thb-main の記号で、$O$ のまわりの反時計回りの $90^\circ$ 回転を $\rho(z)=o+i(z-o)$ とすると
$$ \rho(P)=Q,\qquad \rho(Q)=R,\qquad \rho(R)=S,\qquad \rho(S)=P $$
であり、$\rho\circ\rho=\sigma$（$O$ に関する点対称）である。

prf-thb-main の段 2 から $r-o=-(p-o)$、$s-o=-(q-o)$ である。よって $r-p=-2(p-o)$、$s-q=-2(q-o)$ で、Van Aubel の定理の等式 $s-q=i(r-p)$ に代入すると $-2(q-o)=-2i(p-o)$、つまり $q-o=i(p-o)$ で、$\rho(P)=Q$ である。さらに $r-o=-(p-o)=i\cdot i(p-o)=i(q-o)$ で $\rho(Q)=R$、$s-o=-(q-o)=i\cdot i(q-o)=i(r-o)$ で $\rho(R)=S$、$p-o=-(r-o)=i\cdot i(r-o)=i(s-o)$ で $\rho(S)=P$ である。最後に $\rho(\rho(z))=o+i\cdot i(z-o)=o-(z-o)=2o-z=\sigma(z)$ である。

回転の関係を図式で書くと次のようになる。
$$ \xymatrix{ P \ar[r]^{\rho} \ar@/_1.8pc/[rr]_{\sigma} & Q \ar[r]^{\rho} \ar@/^1.8pc/[rr]^{\sigma} & R \ar[r]^{\rho} & S } $$
図式が可換であるとは、$\rho(\rho(P))=\sigma(P)=R$、$\rho(\rho(Q))=\sigma(Q)=S$ ということである。$\rho$ を 4 回続けるともとにもどり（$\rho^4$ は恒等写像）、$\{\rho,\rho^2=\sigma,\rho^3,\rho^4\}$ は位数 $4$ の回転の群をなす。一般の平行四辺形の回転の対称性 $\{\sigma,\sigma^2\}$ はその部分群で、正方形を立てる操作が、対称性を $2$ 倍に増やしている。この見方は回転・鏡映と行列の群で扱う回転の群の例である。

演習

内側に立てると 1 点に集まる平行四辺形

平行四辺形 $ABCD$ の各辺の内側に正方形を立てたとき、4 つの中心が 1 点に重なるのは、$ABCD$ が正方形のときに限ることを示せ。内側の場合の長さの式 $PR^2=\dfrac{AC^2+BD^2}2-2K$（Van Aubel の定理の記事の命題で $i$ を $-i$ に替えたもの）は使ってよい。

解答を開く

cor-thb-side の証明と同じ計算で、内側の場合の正方形の 1 辺について $PQ^2=\dfrac{m^2+n^2}2-mn\sin\theta$ である。$\sin\theta\le1$ なので $PQ^2\ge\dfrac{m^2+n^2}2-mn=\dfrac{(m-n)^2}2\ge0$ で、$PQ=0$（4 点が 1 点に重なる）となるのは、$\sin\theta=1$ かつ $m=n$、つまり $\theta=90^\circ$ で 2 辺の長さが等しいとき、すなわち $ABCD$ が正方形のときに限る。正方形 $ABCD$ では、4 つの内側の正方形はどれも $ABCD$ そのものなので、中心はすべて $ABCD$ の中心である。

座標で求める

平行四辺形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(8,3)$、$D(2,3)$ の各辺の外側に立てた正方形の中心を求め、正方形 $PQRS$ の 1 辺の長さの 2 乗を 2 通り（座標と cor-thb-side）で求めよ。

解答を開く

$P(3,-3)$、$Q\left(\dfrac{17}2,\dfrac12\right)$、$R(5,6)$、$S\left(-\dfrac12,\dfrac52\right)$。$\overrightarrow{PQ}=\left(\dfrac{11}2,\dfrac72\right)$ で $PQ^2=\dfrac{121+49}4=\dfrac{85}2$。cor-thb-side では $m=6$、$n=\sqrt{13}$、面積 $mn\sin\theta=6\cdot3=18$ なので $\dfrac{36+13}2+18=\dfrac{85}2$ で一致する。中心は $(4,\tfrac32)$ で、$AC$ の中点と一致する。

さらに先へ

平行四辺形でない四角形でも、4 つの中心を結んだ四角形 $PQRS$ の各辺の中点をとると正方形になる（Van Aubelの定理（四角形）の「大学数学で見る」、Petr–Douglas–Neumannの定理）。平行四辺形の場合は、1 回目の操作だけで正方形になっている。
三角形の 3 辺に正三角形を立てると、中心は正三角形をなす（Napoleonの定理）。辺に立てる正多角形の中心が正多角形をなす、という点で同じ型の定理である。