Dolbeaultの定理

要点：$z_k$ 方向に切り落とし関数 $\chi$ を掛け、$z_k$ についての Cauchy 核との畳み込み
$$ G(z):=\frac1{2\pi i}\int_{\mathbb C}\frac{\chi(w)\,g(z_1,\dots,z_{k-1},w,z_{k+1},\dots,z_n)}{w-z_k}\,dw\wedge d\bar w $$
をとる。$\bar z_k$ で微分すると上の Cauchy–Pompeiu の式により $\chi g$ に戻り、$\bar z_j$（$j>k$）で微分すると $\partial g/\partial\bar z_j=0$ が積分の中に現れて $0$ になる。

$p=0$ への帰着．$\alpha=\sum_{|I|=p}dz_I\wedge\alpha_I$（$\alpha_I$ は $(0,q)$ 形式）と書くと、$\bar\partial(dz_I\wedge\alpha_I)=(-1)^pdz_I\wedge\bar\partial\alpha_I$ であり、$dz_I\wedge(\cdot)$ たちの像は $I$ ごとに一次独立なので、$\bar\partial\alpha=0$ から各 $\bar\partial\alpha_I=0$ である。各 $I$ について $\alpha_I=\bar\partial\beta_I$ が $\Delta(r')$ 上で解ければ、$\beta:=(-1)^p\sum_Idz_I\wedge\beta_I$ について $\bar\partial\beta=\sum_Idz_I\wedge\bar\partial\beta_I=\alpha$ となる。よって $p=0$ としてよい。
帰納法の主張．$0\le k\le n$ について、次の主張 $(P_k)$ を $k$ に関する帰納法で示す。

$(P_k)$：任意の多重円板 $\Delta(s')\Subset\Delta(s)$ と、$\Delta(s)$ 上の $\bar\partial$ 閉な $(0,q)$ 形式 $\alpha$ で $d\bar z_1,\dots,d\bar z_k$ だけを含むもの（すなわち $\alpha=\sum_{J\subset\{1,\dots,k\}}f_J\,d\bar z_J$）に対し、$\Delta(s')$ 上で $\bar\partial\beta=\alpha$ となる $(0,q-1)$ 形式 $\beta$ がある。
$(P_n)$ が求める主張である。$k=0$ では、$q\ge1$ なので $d\bar z$ を含まない $(0,q)$ 形式は $0$ しかなく、$\beta=0$ でよい。
帰納法の段．$k\ge1$ とし、$(P_{k-1})$ を仮定する。$\Delta(s')\Subset\Delta(s)$ に対し、中間の多重円板 $\Delta(s')\Subset\Delta(s'')\Subset\Delta(s)$ をとる。$\alpha$ を
$$ \alpha=d\bar z_k\wedge\gamma+\eta $$
と分ける。ここで $\gamma=\sum_{J}\gamma_J\,d\bar z_J$（$J\subset\{1,\dots,k-1\}$、$|J|=q-1$）と $\eta$ は $d\bar z_1,\dots,d\bar z_{k-1}$ だけを含む。
まず、$\gamma$、$\eta$ の係数は $z_{k+1},\dots,z_n$ について正則である。実際、$\bar\partial\alpha=\sum_{j=1}^nd\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha$（$\partial_{\bar z_j}\alpha$ は係数を $\bar z_j$ で偏微分した形式）のうち $d\bar z_j$（$j>k$）を含む部分は $\sum_{j>k}d\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha$ であり、$\partial_{\bar z_j}\alpha$ は $d\bar z_1,\dots,d\bar z_k$ だけを含むので、これらは $j$ ごとに独立な基底元の組み合わせである。$\bar\partial\alpha=0$ からこの部分は $0$ で、各 $j>k$ について $\partial_{\bar z_j}\alpha=0$、すなわち $\alpha$ のすべての係数（したがって $\gamma_J$ と $\eta$ の係数）の $\bar z_j$ 偏導関数が $0$ である。
lem-dolth-one-variable を $\Delta(s'')\Subset\Delta(s)$ と各 $\gamma_J$ に当てると、$\Delta(s'')$ 上の $C^\infty$ 級関数 $G_J$ で $\partial G_J/\partial\bar z_k=\gamma_J$、$\partial G_J/\partial\bar z_j=0$（$j>k$）となるものがある。$G:=\sum_JG_J\,d\bar z_J$ とおくと、$\Delta(s'')$ 上で
$$ \bar\partial G=\sum_J\sum_{j=1}^n\frac{\partial G_J}{\partial\bar z_j}\,d\bar z_j\wedge d\bar z_J=d\bar z_k\wedge\gamma+\sum_J\sum_{j< k}\frac{\partial G_J}{\partial\bar z_j}\,d\bar z_j\wedge d\bar z_J $$
である（$j>k$ の項は $0$、$j=k$ の項が $d\bar z_k\wedge\gamma$）。したがって $\alpha':=\alpha-\bar\partial G$ は $\Delta(s'')$ 上の $\bar\partial$ 閉な $(0,q)$ 形式で（$\bar\partial^2=0$）、$d\bar z_1,\dots,d\bar z_{k-1}$ だけを含む。$(P_{k-1})$ を $\Delta(s')\Subset\Delta(s'')$ と $\alpha'$ に当てると、$\Delta(s')$ 上で $\alpha'=\bar\partial\beta'$ となる $\beta'$ がある。$\beta:=G+\beta'$ とおけば、$\Delta(s')$ 上で $\bar\partial\beta=\bar\partial G+\alpha'=\alpha$ である。これで $(P_k)$ が示された。$\square$

層の列の完全性は茎で調べればよい。$\mathcal A^{p,0}_X$ での完全性は $\Omega^p_X=\ker(\bar\partial\colon\mathcal A^{p,0}_X\to\mathcal A^{p,1}_X)$ そのものである。$q\ge1$ とし、点 $x$ での $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式の芽をとる。$x$ を中心とする正則座標で、芽の代表 $\alpha$ はある多重円板 $\Delta(r)$ の上で定義され $\bar\partial$ 閉である。thm-dolth-dg-lemma により、より小さい $\Delta(r')$ の上で $\alpha=\bar\partial\beta$ となり、芽として $\alpha$ は $\bar\partial$ 完全である。$\square$

1．cor-dolth-resolution により、$\mathcal A^{p,\bullet}_X$ は $\Omega^p_X$ の分解である。各 $\mathcal A^{p,q}_X$ は、$X$ 上の $C^\infty$ 級関数の層 $\mathcal A^{0,0}_X$ の上の加群の層（関数を掛ける操作で加群になる）なので、細層 の命題「滑らかな関数の層の加群は細層」により細層である。ここで $X$ が Hausdorff で第 2 可算公理をみたすこと（したがってパラコンパクトで、滑らかな 1の分割 をもつこと）を使う。細層 の定理「細層の非輪状性」により $H^i(X,\mathcal A^{p,q}_X)=0$（$i\ge1$）であるから、$\mathcal A^{p,\bullet}_X$ は $\Omega^p_X$ の非輪状分解であり、層コホモロジー の命題「非輪状分解による計算」により
$$ H^q(X,\Omega^p_X)\cong H^q\bigl(\Gamma(X,\mathcal A^{p,\bullet}_X)\bigr)=H^q\bigl(\mathcal A^{p,\bullet}(X),\bar\partial\bigr)=H^{p,q}_{\bar\partial}(X) $$
である。$q=0$ では、左辺は $\Gamma(X,\Omega^p_X)=\Omega^p(X)$、右辺は $\bar\partial$ 閉な $(p,0)$ 形式の空間で、両者は一致する。
2．$E$ の正則な局所枠で、$E$ に値をとる形式の層を $\mathcal A^{p,q}_X$ の有限個の直和と同一視すると、$\bar\partial_E$ は各成分の $\bar\partial$ になる。よって 1 の議論がそのまま通る。

コサイクルであること．$U_{ij}$ 上で $\bar\partial c_{ij}=\alpha-\alpha=0$ なので、$c_{ij}$ は $\bar\partial$ 閉な $(p,0)$ 形式、すなわち正則 $p$ 形式である。$U_{ijk}$ 上で $c_{jk}-c_{ik}+c_{ij}=(\beta_k-\beta_j)-(\beta_k-\beta_i)+(\beta_j-\beta_i)=0$ である。
選び方によらないこと．別の選び方 $\beta'_i$ について、$\bar\partial(\beta'_i-\beta_i)=0$ なので $h_i:=\beta'_i-\beta_i$ は $U_i$ 上の正則 $p$ 形式であり、$c'_{ij}=c_{ij}+(h_j-h_i)=c_{ij}+(\delta h)_{ij}$ となる。よって類は変わらない。$\alpha$ と $\beta_i$ の組について和と定数倍をとれば、写像が線形であることが分かる。
核．$\alpha=\bar\partial\beta$（$\beta\in\mathcal A^{p,0}(X)$）なら $\beta_i:=\beta|_{U_i}$ と選べて $c=0$ である。逆に $[c]=0$、すなわち $c_{ij}=h_j-h_i$ となる正則 $p$ 形式 $h_i\in\Omega^p(U_i)$ があるとする。$U_{ij}$ 上で $\beta_j-h_j=\beta_i-h_i$ なので、$\beta_i-h_i$ たちは $X$ 上の $(p,0)$ 形式 $\beta$ に貼り合い、$\bar\partial\beta|_{U_i}=\bar\partial\beta_i=\alpha|_{U_i}$ である。よって $\alpha=\bar\partial\beta$ である。
全射．1 コサイクル $c$ を与える。$\mathfrak U$ に従属する滑らかな 1 の分割 $\{\rho_k\}_{k\in I}$（$\operatorname{supp}\rho_k\subset U_k$、局所有限、$\sum_k\rho_k=1$）をとる（1の分割）。$\rho_kc_{ik}$ は $U_{ik}$ 上の滑らかな $(p,0)$ 形式で、$U_i\setminus\operatorname{supp}\rho_k$ 上では $0$ と定めると $U_i$ 全体で滑らかである（$\operatorname{supp}\rho_k$ は $X$ の閉集合で $U_k$ に含まれる）。
$$ \beta_i:=-\sum_k\rho_k\,c_{ik}\in\mathcal A^{p,0}(U_i) $$
とおく（和は局所有限）。コサイクル条件 $c_{jk}-c_{ik}=-c_{ij}$ により、$U_{ij}$ 上で
$$ \beta_j-\beta_i=-\sum_k\rho_k\,(c_{jk}-c_{ik})=\sum_k\rho_k\,c_{ij}=c_{ij} $$
である。$c_{ij}$ は正則なので $U_{ij}$ 上で $\bar\partial\beta_j=\bar\partial\beta_i$ となり、$\bar\partial\beta_i$ たちは $X$ 上の $(p,1)$ 形式 $\alpha$ に貼り合う。$\alpha$ は局所的に $\bar\partial$ 完全なので $\bar\partial\alpha=0$ で、$\alpha\in Z_{\mathfrak U}$ であり、この $\beta_i$ を使えば $\alpha$ の像は $[c]$ である。
最後の主張．$H^{p,1}_{\bar\partial}(U_i)=0$ なら $\bar\partial$ 閉な $\alpha$ はすべて $\alpha|_{U_i}\in\bar\partial\mathcal A^{p,0}(U_i)$ をみたすので、$Z_{\mathfrak U}$ は $\bar\partial$ 閉な $(p,1)$ 形式の全体であり、左辺は $H^{p,1}_{\bar\partial}(X)$ である。$\square$

$|z|^2:=|z_1|^2+|z_2|^2$ とし、$X$ を $U_1:=\{z_1\ne0\}$、$U_2:=\{z_2\ne0\}$ で覆う。
$$ \beta_1:=\frac{\bar z_2}{z_1|z|^2}\ \ (U_1\text{ 上}),\qquad\beta_2:=-\frac{\bar z_1}{z_2|z|^2}\ \ (U_2\text{ 上}) $$
とおく。$1/z_1$ は $U_1$ 上で正則なので、$\bar\partial|z|^2=z_1\,d\bar z_1+z_2\,d\bar z_2$ を使うと
$$ \bar\partial\beta_1=\frac1{z_1}\Bigl(\frac{d\bar z_2}{|z|^2}-\frac{\bar z_2(z_1\,d\bar z_1+z_2\,d\bar z_2)}{|z|^4}\Bigr)=\frac1{z_1}\cdot\frac{|z_1|^2\,d\bar z_2-z_1\bar z_2\,d\bar z_1}{|z|^4}=\alpha $$
であり、同様に $\bar\partial\beta_2=\alpha$ が $U_2$ 上で成り立つ。よって $\alpha$ は $U_1$、$U_2$ の上でそれぞれ $\bar\partial$ 完全で、とくに $\bar\partial$ 閉であり、thm-dolth-cech の $Z_{\mathfrak U}$（$\mathfrak U=\{U_1,U_2\}$）に属する。対応するコサイクルは
$$ c_{12}=\beta_2-\beta_1=-\frac{|z_1|^2+|z_2|^2}{z_1z_2|z|^2}=-\frac1{z_1z_2} $$
である。$\alpha$ が $\bar\partial$ 完全なら、thm-dolth-cech により $[c]=0$、すなわち $U_1$、$U_2$ 上の正則関数 $h_1$、$h_2$ で $-1/(z_1z_2)=h_2-h_1$（$U_{12}$ 上）となるものがある。トーラス $T:=\{|z_1|=|z_2|=1\}\subset U_{12}$ の上の積分
$$ I(f):=\oint_{|z_1|=1}\Bigl(\oint_{|z_2|=1}f(z_1,z_2)\,dz_2\Bigr)dz_1 $$
を考える。$z_1\ne0$ を固定すると $h_1(z_1,\cdot)$ は $\mathbb C$ 全体で正則なので、Cauchy の積分定理により内側の積分は $0$ で、$I(h_1)=0$ である。$h_2$ については積分の順序を入れ替え（被積分関数は $T$ 上で連続）、$z_2\ne0$ を固定すると $h_2(\cdot,z_2)$ が $\mathbb C$ 全体で正則なので $I(h_2)=0$ である。一方 $I(-1/(z_1z_2))=-(2\pi i)^2\ne0$ で、矛盾する。よって $\alpha$ は $\bar\partial$ 完全でない。
無限次元であることも同じ積分で分かる：正の整数 $a,b$ について $z_1^{-a}z_2^{-b}$ の定める 1 コサイクルたちは $\check H^1(\mathfrak U,\mathcal O)$ の中で一次独立であり、thm-dolth-cech によりそれらに対応する類は $H^{0,1}_{\bar\partial}(X)$ の中で一次独立である。