正射影と面積

同義語：orthogonal projection and area

概要

前提知識: 空間図形の計量, 空間の平面と法線ベクトル, 三角形の面積の公式, ベクトルの内積（高校数学）, 空間ベクトルと1次独立

高校での出発点：傾けた板の影

床の上に長方形の板を置き、床に接した 1 辺を軸にして板を持ち上げる。真上から光を当てると、床には板の影ができる。この影の面積は、板の面積とどう関係するだろうか。
床の上の辺（長さ 4）を軸に角 θ だけ傾けた 4 × 3 の板（青）と、真上から光を当ててできる影（橙）。軸に沿った辺は長さ 4 のまま、軸に垂直な辺は 3 から 3cos θ に縮む

傾けた長方形の板の影

縦 $3$、横 $4$ の長方形の板を、長さ $4$ の辺を床につけたまま、床と $60^\circ$ の角をなすように傾ける（図 1）。

床についた辺は動かないので、影でも長さ $4$ のままである。
軸に垂直な長さ $3$ の辺は、床と $60^\circ$ の角をなす。この辺の上端から床に垂線を下ろすと、辺を斜辺とする直角三角形ができ、影の長さは底辺の長さ $3\cos60^\circ=\dfrac32$ である。
垂線を下ろした直角三角形は床についた辺に垂直な平面の中にあるので、影の辺も床についた辺に垂直である。影は縦 $\dfrac32$、横 $4$ の長方形で、面積は $4\cdot\dfrac32=6$ である。
板の面積は $12$ なので、影の面積は板の面積の $\dfrac12=\cos60^\circ$ 倍である。

傾けた直角三角形の板の影

直角をはさむ 2 辺が $4$ と $3$ の直角三角形の板を、長さ $4$ の辺を床につけたまま、床と $45^\circ$ の角をなすように傾ける。長さ $3$ の辺は床についた辺に垂直なので、ex-opa-plate と同じく影では $3\cos45^\circ=\dfrac{3\sqrt2}2$ になり、床についた辺は $4$ のままである。影も直角三角形で、面積は
$$ \frac12\cdot4\cdot\frac{3\sqrt2}2=3\sqrt2 $$
である。板の面積は $\dfrac12\cdot4\cdot3=6$ なので、影の面積は板の面積の $\dfrac{\sqrt2}2=\cos45^\circ$ 倍である。

2 つの例で、影の面積は板の面積の $\cos\theta$ 倍（$\theta$ は板と床のなす角）になった。どちらの例でも、板の辺が「軸に平行」か「軸に垂直」だったので計算が簡単だった。この記事では、どんな形の多角形でも同じことが成り立つことを示し、それを使って空間図形の面積や角を求める。この記事で答える問いは次の 3 つである。

平面の上の線分を別の平面に写すと、長さはどう変わるか。→ lem-opa-length
平面の上の多角形を別の平面に写すと、面積はどう変わるか。→ thm-opa-area

立体の切り口の面積や、2 つの面のなす角を、影の面積から求められるか。→ ex-opa-cube-section、ex-opa-dihedral、prop-opa-degua

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
影の面積 $S\cos\theta$	交線に垂直な向きだけ $\cos\theta$ 倍に縮む	1 次変換の行列式
切り口の面積 $\dfrac{S'}{\cos\theta}$	影の面積から元の面積を求める	面積の拡大率の逆数
2 つの面のなす角 $\cos\theta=\dfrac{S'}S$	面積の比で角を測る	面積ベクトルの成分
空間の三平方の定理	3 つの座標平面への正射影	面積ベクトルの長さ、Cauchy–Binet の公式

直線と平面の垂直、二面角、三垂線の定理は空間図形の計量で扱った。2 つの平面のなす角を法線ベクトルで求める方法は空間の平面と法線ベクトルにある。この記事ではそれらを使う。

正射影と 2 つの平面のなす角

平面への正射影

平面 $\beta$ と点 $\mathrm P$ があるとき、$\mathrm P$ から $\beta$ に下ろした垂線の足 $\mathrm P'$ を、$\mathrm P$ の $\beta$ への 正射影 という（$\mathrm P$ が $\beta$ の上にあれば $\mathrm P'=\mathrm P$ とする）。図形 $F$ の各点の正射影をすべて集めた図形 $F'$ を、$F$ の $\beta$ への正射影という。

「真上から光を当てた影」は、床への正射影である。光の向きが床に垂直であることが大切で、斜めの光の影は正射影ではない（ex-opa-oblique-light）。
座標を使うと、正射影は簡単に書ける。$\beta$ を $xy$ 平面とすると、点 $(x,y,z)$ から $xy$ 平面に下ろした垂線の足は $(x,y,0)$ である。つまり、$xy$ 平面への正射影は「$z$ 座標を $0$ にする」ことである。

正射影を座標で求める

点 $(1,2,3)$ の $xy$ 平面への正射影は $(1,2,0)$ である。$yz$ 平面への正射影は、$x$ 座標を $0$ にした $(0,2,3)$ である。
3 点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ を頂点とする三角形の $xy$ 平面への正射影は、3 点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,0)$ を頂点とする直角二等辺三角形である。$(1,0,0)$ と $(0,1,0)$ は $xy$ 平面の上にあるので動かず、$(0,0,1)$ だけが原点に写る。

2 つの平面のなす角は、空間図形の計量の二面角と同じように定める。交わる 2 平面 $\alpha$、$\beta$ の交線を $\ell$ とし、$\ell$ の上の点から、$\alpha$ の中で $\ell$ に垂直な直線と、$\beta$ の中で $\ell$ に垂直な直線を引く。この 2 直線のなす角（$90^\circ$ 以下の方）を、$\alpha$ と $\beta$ の なす角 という。平行な 2 平面のなす角は $0^\circ$ とする。2 つの平面の傾きをこのように交線に垂直な 2 直線で測ることは、Euclid『原論』第 XI 巻の定義 6 にある（Hea56 Vol. III, p. 260）。
なす角 $\theta$ は、法線ベクトルでも求められる。空間の平面と法線ベクトルの定理「2 平面のなす角」により、法線ベクトル $\vec n_1$、$\vec n_2$ の平面のなす角 $\theta$ は
$$ \cos\theta=\frac{\lvert\vec n_1\cdot\vec n_2\rvert}{\lvert\vec n_1\rvert\lvert\vec n_2\rvert} $$
を満たす。

2 つの平面のなす角を求める

平面 $z=y$ と $xy$ 平面。交線は $x$ 軸である。原点で $x$ 軸に垂直な直線は、平面 $z=y$ の中では方向 $(0,1,1)$、$xy$ 平面の中では方向 $(0,1,0)$ で、そのなす角 $\theta$ は
$$ \cos\theta=\frac{(0,1,1)\cdot(0,1,0)}{\sqrt2\cdot1}=\frac1{\sqrt2} $$
から $\theta=45^\circ$ である。法線ベクトル $(0,-1,1)$ と $(0,0,1)$ で計算しても $\cos\theta=\dfrac{\lvert1\rvert}{\sqrt2\cdot1}=\dfrac1{\sqrt2}$ で、同じである。
平面 $x+y+z=1$ と $xy$ 平面。法線ベクトル $(1,1,1)$ と $(0,0,1)$ から
$$ \cos\theta=\frac{\lvert(1,1,1)\cdot(0,0,1)\rvert}{\sqrt3\cdot1}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3 $$
である。$\theta$ は約 $54.74^\circ$ である。

長さはどう変わるか

面積を調べる前に、線分の長さがどう変わるかを見る。ex-opa-plate で見たように、交線に平行な線分と、交線に垂直な線分とで、変わり方が違う。

交線に平行な線分と垂直な線分の正射影

平面 $\alpha$ と平面 $\beta$ が直線 $\ell$ で交わり、なす角を $\theta$（$0^\circ<\theta<90^\circ$）とする。$\alpha$ の上の線分 $\mathrm{PQ}$ の $\beta$ への正射影を $\mathrm P'\mathrm Q'$ とする。

$\mathrm{PQ}$ が $\ell$ に平行ならば、$\mathrm P'\mathrm Q'=\mathrm{PQ}$ である。
$\mathrm{PQ}$ が $\ell$ に垂直ならば、$\mathrm P'\mathrm Q'=\mathrm{PQ}\cos\theta$ である。

座標を入れて正射影を書く

方針：$\beta$ を $xy$ 平面、$\ell$ を $x$ 軸にとり、$\alpha$ の点を「$\ell$ の向き」と「$\alpha$ の中で $\ell$ に垂直な向き」の 2 つの単位ベクトルで表す。正射影は $z$ 座標を $0$ にするだけなので、2 つの向きの長さがそれぞれどうなるかを計算する。
段 1（座標をとる）。$\ell$ の上に原点をとり、$\beta$ を $xy$ 平面、$\ell$ を $x$ 軸とする。$\vec e_1=(1,0,0)$ とおく。$\alpha$ の中で $x$ 軸に垂直な単位ベクトルを $\vec e_2$ とすると、$\vec e_2$ は $(1,0,0)$ と垂直なので $x$ 成分が $0$ で、$\vec e_2=(0,c,s)$、$c^2+s^2=1$ と書ける。
段 2（なす角で表す）。原点で $\ell$ に垂直な直線は、$\alpha$ の中では方向 $\vec e_2$、$\beta$ の中では方向 $(0,1,0)$ である。なす角の定義から、この 2 直線のなす角が $\theta$ なので、$\lvert c\rvert=\lvert\vec e_2\cdot(0,1,0)\rvert=\cos\theta$ である。必要なら $\vec e_2$ を $-\vec e_2$ に取り替えて $c=\cos\theta$ とする。このとき $s^2=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$ である。
段 3（$\alpha$ の点を表す）。$\alpha$ は原点を通り、平行でない 2 つのベクトル $\vec e_1$、$\vec e_2$ を含むので、$\alpha$ の点はただ 1 通りに $u\vec e_1+v\vec e_2=(u,\ v\cos\theta,\ vs)$ と書ける（空間ベクトルと1次独立）。その正射影は $z$ 座標を $0$ にした $(u,\ v\cos\theta,\ 0)$ である。
段 4（1 を示す）。$\mathrm P=u_1\vec e_1+v_1\vec e_2$、$\mathrm Q=u_2\vec e_1+v_2\vec e_2$ とする。$\mathrm{PQ}$ が $\ell$ に平行なら $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(u_2-u_1)\vec e_1+(v_2-v_1)\vec e_2$ が $\vec e_1$ の定数倍なので、$v_1=v_2$ である。このとき $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(u_2-u_1,0,0)$、$\overrightarrow{\mathrm P'\mathrm Q'}=(u_2-u_1,0,0)$ で、長さはどちらも $\lvert u_2-u_1\rvert$ である。
段 5（2 を示す）。$\mathrm{PQ}$ が $\ell$ に垂直なら $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec e_1=u_2-u_1=0$ なので、$u_1=u_2$ である（$\vec e_1\cdot\vec e_2=0$ を使った）。このとき $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(v_2-v_1)\vec e_2$ で、長さは $\lvert v_2-v_1\rvert$ である。一方 $\overrightarrow{\mathrm P'\mathrm Q'}=\bigl(0,\ (v_2-v_1)\cos\theta,\ 0\bigr)$ で、長さは $\lvert v_2-v_1\rvert\cos\theta$ である（$\cos\theta>0$）。よって $\mathrm P'\mathrm Q'=\mathrm{PQ}\cos\theta$ である。$\square$

線分の正射影の長さ

平面 $z=y$（$xy$ 平面とのなす角 $45^\circ$、ex-opa-angle）の上の線分を $xy$ 平面に正射影する。交線 $x$ 軸に平行な線分 $(0,0,0)$–$(3,0,0)$ は、長さ $3$ のまま動かない。交線に垂直な線分 $(0,0,0)$–$(0,1,1)$ は長さ $\sqrt2$ で、正射影 $(0,0,0)$–$(0,1,0)$ の長さは $1$ である。lem-opa-length の 2 のとおり $\sqrt2\cos45^\circ=\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=1$ である。
平面 $z=\sqrt3\,y$ と $xy$ 平面のなす角は、法線ベクトル $(0,-\sqrt3,1)$ と $(0,0,1)$ から $\cos\theta=\dfrac1{\sqrt{3+1}}=\dfrac12$ で、$\theta=60^\circ$ である。交線 $x$ 軸に垂直な線分 $(0,0,0)$–$(0,1,\sqrt3)$ は長さ $\sqrt{1+3}=2$ で、正射影 $(0,0,0)$–$(0,1,0)$ の長さは $1=2\cos60^\circ$ である。

交線に平行でも垂直でもない線分では、長さの変わり方は $1$ 倍と $\cos\theta$ 倍の間になり、線分の向きによって違う（ex-opa-oblique-segment）。実際、prf-opa-length の座標で $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=a\vec e_1+b\vec e_2$（$a\ne0$、$b\ne0$）とすると、$\mathrm{PQ}^2=a^2+b^2$、$\mathrm P'\mathrm Q'^2=a^2+b^2\cos^2\theta$ なので、倍率の 2 乗は
$$ \frac{a^2+b^2\cos^2\theta}{a^2+b^2} $$
で、$\cos^2\theta$ より大きく $1$ より小さい。長さの倍率は向きによって変わるのに、次の定理のとおり、面積の倍率はどんな図形でも $\cos\theta$ になる。

面積は cos θ 倍になる

正射影による面積の変化

平面 $\alpha$ と平面 $\beta$ のなす角を $\theta$（$0^\circ\le\theta<90^\circ$）とする。$\alpha$ の上の多角形 $F$ の $\beta$ への正射影を $F'$ とすると
$$ (F'\text{ の面積})=(F\text{ の面積})\times\cos\theta $$
である。

座標で三角形の面積を比べる

方針：prf-opa-length と同じ座標をとると、$\alpha$ の点 $u\vec e_1+v\vec e_2$ の正射影は $(u,\ v\cos\theta,\ 0)$ である。$\alpha$ の中でも $\beta$ の中でも、三角形の面積を三角形の面積の公式の座標の式で計算して比べる。多角形は三角形に分ける。
段 1（平行な場合）。$\theta=0^\circ$ で $\alpha$ と $\beta$ が平行なら、どの点も同じ向き（$\beta$ に垂直な向き）に同じ距離だけ動くので、正射影は平行移動である。平行移動で面積は変わらず、$\cos0^\circ=1$ なので主張は成り立つ。$\alpha=\beta$ なら $F'=F$ で、やはり成り立つ。以下 $0^\circ<\theta<90^\circ$ とし、prf-opa-length の段 1〜3 の座標をとる。
段 2（$\alpha$ の中の長さと面積）。$\vec e_1$、$\vec e_2$ は長さ $1$ で互いに垂直なので
$$ \lvert a\vec e_1+b\vec e_2\rvert^2=a^2(\vec e_1\cdot\vec e_1)+2ab(\vec e_1\cdot\vec e_2)+b^2(\vec e_2\cdot\vec e_2)=a^2+b^2 $$
である。したがって $\alpha$ の中では、$(u,v)$ をふつうの平面の座標と思って長さを計算してよい。長さがすべて同じなので、3 辺の長さで決まる三角形の面積も同じように計算してよい。特に、$\alpha$ の三角形の 1 つの頂点から他の 2 頂点へのベクトルが $(u_1,v_1)$、$(u_2,v_2)$ と表されるとき、その面積は三角形の面積の公式の座標の式で $\dfrac12\lvert u_1v_2-u_2v_1\rvert$ である。
段 3（三角形の正射影）。正射影で、点 $u\vec e_1+v\vec e_2$ は $xy$ 平面の点 $(u,\ v\cos\theta)$ に写る。三角形の 2 辺のベクトル $(u_1,v_1)$、$(u_2,v_2)$ は、$xy$ 平面のベクトル $(u_1,\ v_1\cos\theta)$、$(u_2,\ v_2\cos\theta)$ に写る。3 つの頂点の正射影を頂点とする三角形の面積は
$$ \frac12\lvert u_1\cdot v_2\cos\theta-u_2\cdot v_1\cos\theta\rvert=\cos\theta\cdot\frac12\lvert u_1v_2-u_2v_1\rvert $$
で（$\cos\theta>0$）、元の三角形の面積の $\cos\theta$ 倍である。また、対応 $(u,v)\mapsto(u,\ v\cos\theta)$ は $u$、$v$ の 1 次式なので、線分を線分に写し、三角形の周と内部を、写った三角形の周と内部に写す。よって三角形の正射影は、頂点の正射影を頂点とする三角形である。
段 4（多角形）。多角形は、対角線で重なりのない三角形に分けられる（凸な多角形なら 1 つの頂点から対角線を引けばよい。凸でない多角形でも分けられることが知られているが、この記事では証明しない）。対応 $(u,v)\mapsto(u,\ v\cos\theta)$ は、$v$ を $\cos\theta\ne0$ で割れば元に戻るので 1 対 1 である。したがって重なりのない三角形は重なりのない三角形に写り、段 3 から各三角形の面積が $\cos\theta$ 倍になるので、その和である多角形の面積も $\cos\theta$ 倍になる。$\square$

定理は、光の向きと板の形によらない。ex-opa-plate、ex-opa-plate-tri の長方形と直角三角形はもちろん、どんな多角形でも、影の面積は板の面積の $\cos\theta$ 倍である。

定理を座標で確かめる

平面 $z=y$（$xy$ 平面とのなす角 $45^\circ$）の上の三角形で、頂点が $(0,0,0)$、$(2,0,0)$、$(1,2,2)$ のものを考える。

元の三角形：2 辺のベクトルは $(2,0,0)$ と $(1,2,2)$ である。$(1,2,2)=1\cdot\vec e_1+2\sqrt2\cdot\vec e_2$（$\vec e_2=\left(0,\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$）なので、$(u,v)$ 座標では $(2,0)$ と $(1,2\sqrt2)$ で、面積は $\dfrac12\lvert2\cdot2\sqrt2-1\cdot0\rvert=2\sqrt2$ である。
正射影：頂点は $(0,0,0)$、$(2,0,0)$、$(1,2,0)$ で、面積は $\dfrac12\lvert2\cdot2-1\cdot0\rvert=2$ である。
$2\sqrt2\cos45^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=2$ で、thm-opa-area と一致する。この三角形の辺 $(0,0,0)$–$(1,2,2)$ は交線に平行でも垂直でもないが、面積の倍率はやはり $\cos45^\circ$ である。

切り口の面積と 2 つの面のなす角

thm-opa-area は、2 通りに使える。元の図形の面積 $S$ と角 $\theta$ が分かれば影の面積 $S'=S\cos\theta$ が分かる。逆に、影の面積 $S'$ と $\theta$ が分かれば、元の面積が $S=\dfrac{S'}{\cos\theta}$ と分かり、$S$ と $S'$ が分かれば角が $\cos\theta=\dfrac{S'}S$ と分かる。
1 辺 1 の立方体を、法線ベクトルが (1, 1, 1) の平面で切った切り口と、その底面への正射影（橙）。左は x + y + z = 1 で 1 辺 √2 の正三角形、右は x + y + z = 3/2 で 6 本の辺の中点を通る 1 辺 √2/2 の正六角形

立方体の切り口

1 辺 $1$ の立方体 $0\le x,y,z\le1$ を、法線ベクトルが $(1,1,1)$ の平面で切る（図 2）。この平面と底面（$xy$ 平面）のなす角 $\theta$ は、ex-opa-angle の (2) と同じく $\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$ を満たす。
(1) 平面 $x+y+z=1$。切り口は 3 頂点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ を結ぶ 1 辺 $\sqrt2$ の正三角形で、面積は $\dfrac{\sqrt3}4\cdot(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}2$ である。底面への正射影は 3 点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(0,0)$ の直角二等辺三角形で（ex-opa-projection の (2)）、面積は $\dfrac12$ である。thm-opa-area のとおり $\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac12$ である。
(2) 平面 $x+y+z=\dfrac32$。この平面は、立方体の 12 本の辺のうち 6 本の中点 $\left(\dfrac12,0,1\right)$、$\left(0,\dfrac12,1\right)$、$\left(0,1,\dfrac12\right)$、$\left(\dfrac12,1,0\right)$、$\left(1,\dfrac12,0\right)$、$\left(1,0,\dfrac12\right)$ を通る（どれも座標の和が $\dfrac32$）。隣り合う 2 点の距離はどれも $\sqrt{\dfrac14+\dfrac14}=\dfrac{\sqrt2}2$ で、立方体の中心 $\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)$ から 6 点までの距離もどれも $\sqrt{\dfrac14+\dfrac14+0}=\dfrac{\sqrt2}2$ である。したがって切り口は、中心と隣り合う 2 頂点で 1 辺 $\dfrac{\sqrt2}2$ の正三角形が 6 つできる正六角形で、面積は $6\cdot\dfrac{\sqrt3}4\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2=\dfrac{3\sqrt3}4$ である。
底面への正射影は、正方形 $0\le x,y\le1$ から 2 つの角 $x+y<\dfrac12$ と $x+y>\dfrac32$ を除いた六角形である。除く 2 つはどちらも直角をはさむ 2 辺が $\dfrac12$ の直角二等辺三角形で、面積は $\dfrac18$ なので、六角形の面積は $1-\dfrac18-\dfrac18=\dfrac34$ である。$\dfrac{3\sqrt3}4\cdot\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac34$ で、thm-opa-area と一致する。
(2) の正六角形は、正射影の面積 $\dfrac34$ と $\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$ だけからでも、$\dfrac34\mathbin{÷}\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}4$ と求まる。切り口の形を調べなくても面積が出せるのが、この方法のよいところである。

面積の比で二面角を求める

縦 $2$、横 $2$、高さ $1$ の直方体 $0\le x\le2$、$0\le y\le2$、$0\le z\le1$ を、3 点 $\mathrm B(2,0,0)$、$\mathrm D(0,2,0)$、$\mathrm E(0,0,1)$ を通る平面で切る。切り口の三角形 $\mathrm{BDE}$ は $\mathrm{BD}=2\sqrt2$、$\mathrm{BE}=\mathrm{DE}=\sqrt5$ の二等辺三角形で、$\mathrm{BD}$ の中点 $\mathrm M(1,1,0)$ までの中線 $\mathrm{EM}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$ が高さになるので、面積は $\dfrac12\cdot2\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$ である。底面への正射影は三角形 $\mathrm{ABD}$（$\mathrm A$ は原点）で、面積は $\dfrac12\cdot2\cdot2=2$ である。よって切り口と底面のなす角 $\theta$ は
$$ \cos\theta=\frac2{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}3 $$
を満たす。これは空間図形の計量の例「直方体の二面角」で、三垂線の定理を使って直角三角形 $\mathrm{EAM}$ から求めた値と一致する。
1 辺 $a$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ で、頂点 $\mathrm D$ から底面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足 $\mathrm H$ は、底面の正三角形の重心である（空間図形の計量の定理「正四面体の高さ・体積・二面角」）。面 $\mathrm{DBC}$ の底面への正射影は、$\mathrm D$ が $\mathrm H$ に写り、$\mathrm B$、$\mathrm C$ は動かないので、三角形 $\mathrm{HBC}$ である。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm M$ とすると、重心 $\mathrm H$ は中線 $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に分け（三角形の重心（高校数学））、正三角形では $\mathrm{AM}\perp\mathrm{BC}$ なので、三角形 $\mathrm{HBC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ が共通で高さ $\mathrm{HM}=\dfrac13\mathrm{AM}$ である。よって三角形 $\mathrm{HBC}$ の面積は面 $\mathrm{ABC}$ の面積の $\dfrac13$ で、面 $\mathrm{DBC}$ の面積の $\dfrac13$ でもある。thm-opa-area から、面 $\mathrm{DBC}$ を含む平面と底面のなす角 $\theta$ は $\cos\theta=\dfrac13$ を満たす。
最後に、これが辺 $\mathrm{BC}$ での二面角 $\varphi$ に等しいことを確かめる。二面角は 2 つの半平面のなす角なので、$90^\circ$ を超えることもある。正三角形 $\mathrm{DBC}$、$\mathrm{ABC}$ の中線なので $\mathrm{DM}\perp\mathrm{BC}$、$\mathrm{AM}\perp\mathrm{BC}$ で、二面角は $\varphi=\angle\mathrm{DMA}$ である。$\mathrm H$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部で、線分 $\mathrm{AM}$ の上（辺 $\mathrm{BC}$ から見て $\mathrm A$ の側）にあるので、$\angle\mathrm{DMA}=\angle\mathrm{DMH}$ である。三角形 $\mathrm{DMH}$ は $\mathrm H$ で直角なので、$\angle\mathrm{DMH}$ は鋭角である。$\angle\mathrm{DMA}$ は交線 $\mathrm{BC}$ に垂直な 2 直線 $\mathrm{MD}$、$\mathrm{MA}$ のなす角で、鋭角なので、2 平面のなす角 $\theta$ に等しい。よって辺 $\mathrm{BC}$ での二面角 $\varphi$ は $\cos\varphi=\dfrac13$ を満たす。空間図形の計量で求めた値と同じである。

3 つの座標平面への正射影：空間の三平方の定理

直角三角形では、斜辺を 2 本の直角をはさむ辺の向きに写すと、2 辺の長さになる。三平方の定理はその 2 つの長さの 2 乗の和が斜辺の 2 乗になることを述べる。同じことを、面積と 3 つの座標平面への正射影で考える。
OA、OB、OC が互いに垂直な四面体。斜面 ABC を 3 つの座標平面に正射影すると、それぞれ三角形 OBC、OCA、OAB になる

直角をもつ四面体の斜面と 3 つの面

四面体 $\mathrm{OABC}$ で、$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ が互いに垂直であるとする。三角形 $\mathrm{ABC}$、$\mathrm{OBC}$、$\mathrm{OCA}$、$\mathrm{OAB}$ の面積を $S$、$S_1$、$S_2$、$S_3$ とすると
$$ S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2 $$
が成り立つ。

3 つの座標平面へ正射影する

方針：$\mathrm O$ を原点、$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ を座標軸にとる。斜面 $\mathrm{ABC}$ を 3 つの座標平面に正射影すると 3 つの直角の面になるので、thm-opa-area で $S_1$、$S_2$、$S_3$ を $S$ と $\cos$ で表し、2 乗して足す（図 3）。
段 1（座標をとる）。$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ は互いに垂直なので、$\mathrm O$ を原点、半直線 $\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の部分にとれる。$\mathrm{OA}=p$、$\mathrm{OB}=q$、$\mathrm{OC}=r$ とすると、$\mathrm A(p,0,0)$、$\mathrm B(0,q,0)$、$\mathrm C(0,0,r)$ で、$p,q,r>0$ である。
段 2（法線ベクトル）。$\vec n=(qr,\ rp,\ pq)$ とおく。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-p,q,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-p,0,r)$ について
$$ \vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-pqr+pqr=0,\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-pqr+pqr=0 $$
なので、$\vec n$ は平行でない 2 つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に垂直で、平面 $\mathrm{ABC}$ の法線ベクトルである（空間図形の計量の補題「平面の 2 方向に垂直なら平面に垂直」）。
段 3（なす角）。平面 $\mathrm{ABC}$ と $yz$ 平面（法線ベクトル $(1,0,0)$）のなす角を $\theta_1$ とすると、空間の平面と法線ベクトルの定理「2 平面のなす角」により
$$ \cos\theta_1=\frac{\lvert\vec n\cdot(1,0,0)\rvert}{\lvert\vec n\rvert\cdot1}=\frac{qr}{\lvert\vec n\rvert} $$
である。$qr>0$ なので $\cos\theta_1>0$、つまり $\theta_1<90^\circ$ である。同じく $zx$ 平面、$xy$ 平面とのなす角 $\theta_2$、$\theta_3$ は $\cos\theta_2=\dfrac{rp}{\lvert\vec n\rvert}$、$\cos\theta_3=\dfrac{pq}{\lvert\vec n\rvert}$ を満たす。
段 4（正射影）。$yz$ 平面への正射影は $x$ 座標を $0$ にするので、$\mathrm A$ は $\mathrm O$ に写り、$\mathrm B$、$\mathrm C$ は動かない。三角形 $\mathrm{ABC}$ の正射影は三角形 $\mathrm{OBC}$ である。thm-opa-area により $S_1=S\cos\theta_1$ である。同じく $zx$ 平面への正射影は三角形 $\mathrm{OCA}$、$xy$ 平面への正射影は三角形 $\mathrm{OAB}$ で、$S_2=S\cos\theta_2$、$S_3=S\cos\theta_3$ である。
段 5（2 乗して足す）。$\lvert\vec n\rvert^2=q^2r^2+r^2p^2+p^2q^2$ なので
$$ S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\cdot\frac{q^2r^2+r^2p^2+p^2q^2}{\lvert\vec n\rvert^2}=S^2 $$
である。$\square$

この等式を de Gua の定理（空間の三平方の定理）という（de Guaの定理）。空間図形の計量の命題「直角をもつ四面体の面積と高さ」では、三垂線の定理で三角形 $\mathrm{ABC}$ の高さを求めて $S=\dfrac12\sqrt{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}$ を示した。ここでは高さを求めずに、正射影だけで同じ式に達した。段 4 から $S=\dfrac{S_1}{\cos\theta_1}=\dfrac{qr}2\cdot\dfrac{\lvert\vec n\rvert}{qr}=\dfrac{\lvert\vec n\rvert}2$ とも読め、これは同じ式である。

空間の三平方の定理を数で確かめる

$p=q=r=1$。3 つの直角の面の面積はどれも $\dfrac12$ なので、$S^2=\dfrac14+\dfrac14+\dfrac14=\dfrac34$、$S=\dfrac{\sqrt3}2$ である。三角形 $\mathrm{ABC}$ は 1 辺 $\sqrt2$ の正三角形で、面積は $\dfrac{\sqrt3}4\cdot2=\dfrac{\sqrt3}2$ となり、一致する（ex-opa-cube-section の (1) の切り口と同じ三角形である）。
$p=2$、$q=3$、$r=6$。$S_1=\dfrac12\cdot3\cdot6=9$、$S_2=\dfrac12\cdot6\cdot2=6$、$S_3=\dfrac12\cdot2\cdot3=3$ なので、$S^2=81+36+9=126$、$S=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$ である。空間図形の計量の例「直角をもつ四面体の計算」の値と一致する。
$p=1$、$q=2$、$r=2$。$S_1=2$、$S_2=1$、$S_3=1$ なので $S^2=4+1+1=6$、$S=\sqrt6$ である。3 辺は $\mathrm{AB}=\mathrm{CA}=\sqrt5$、$\mathrm{BC}=2\sqrt2$ の二等辺三角形で、$\mathrm{BC}$ の中点 $(0,1,1)$ と $\mathrm A$ の距離 $\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$ が高さなので、$S=\dfrac12\cdot2\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$ となり、一致する。

例と反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
線分が交線に平行か垂直であること	長さの倍率が $1$ か $\cos\theta$ になる（lem-opa-length）	ex-opa-oblique-segment
光が平面に垂直（正射影）であること	面積が $\cos\theta$ 倍になる（thm-opa-area）	ex-opa-oblique-light
$\theta$ が交線に垂直な 2 直線で測った角であること	面積が $\cos\theta$ 倍になる（thm-opa-area）	ex-opa-wrong-angle

反例：交線に平行でも垂直でもない線分

平面 $z=y$（$xy$ 平面とのなす角 $45^\circ$）の上の線分 $(0,0,0)$–$(1,1,1)$ は、長さ $\sqrt3$ である。$xy$ 平面への正射影は $(0,0,0)$–$(1,1,0)$ で、長さ $\sqrt2$ である。倍率は $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}3$（約 $0.816$）で、$1$ でも $\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$（約 $0.707$）でもない。この線分は交線 $x$ 軸に平行でも垂直でもない（方向 $(1,1,1)$ と $(1,0,0)$ の内積は $1$ で、$0$ でも、長さの積 $\sqrt3$ に等しくもない）ので、lem-opa-length の仮定を満たさない。長さの倍率は線分の向きで変わるが、それでも ex-opa-area-check のように、面積の倍率は $\cos\theta$ になる。

反例：斜めの光の影

平面 $z=y$ の上の長方形で、頂点が $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(1,1,1)$、$(0,1,1)$ のものを考える。辺の長さは $1$ と $\sqrt2$ で、面積は $\sqrt2$ である。

真上からの光（正射影）：影の頂点は $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ で、面積は $1=\sqrt2\cos45^\circ$ である。
向き $(0,1,-1)$ に進む斜めの光：点 $(x,y,z)$ を $(0,1,-1)$ の向きに $z$ だけ進めると、$(x,\ y+z,\ 0)$ で床に着く。影の頂点は $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$、$(0,2)$ で、面積は $2$ である。
斜めの光では影の面積は $2$ で、$\sqrt2\cos45^\circ=1$ にならない。thm-opa-area の証明で「正射影は $z$ 座標を $0$ にする」（prf-opa-length の段 3）を使ったところが崩れている。影の面積は光の向きで変わり、$\cos\theta$ 倍になるのは光が床に垂直なときである。

反例：交線に垂直でない線で角を測る

ex-opa-cube-section の (1) の正三角形（平面 $x+y+z=1$、面積 $\dfrac{\sqrt3}2$）で、辺 $(1,0,0)$–$(0,0,1)$ と床のなす角を $\theta$ としてしまうと、この辺の方向 $(-1,0,1)$ とその正射影の方向 $(-1,0,0)$ から $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot1}=\dfrac{\sqrt2}2$（$45^\circ$）になり、$\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt6}4$（約 $0.612$）が出る。正しい影の面積は $\dfrac12$ で、合わない。平面 $x+y+z=1$ と床の交線は直線 $x+y=1,\ z=0$（方向 $(1,-1,0)$）で、辺の方向 $(-1,0,1)$ との内積は $-1\ne0$ なので、この辺は交線に垂直でない。2 平面のなす角は交線に垂直な 2 直線で測るもので、正しくは $\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$ である（ex-opa-angle の (2)）。

大学数学で見る

正射影は行列式が $\cos\theta$ の 1 次変換

prf-opa-area では、$\alpha$ の座標 $(u,v)$ の点を $\beta$ の座標 $(u,\ v\cos\theta)$ の点に写した。これは行列
$$ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&\cos\theta\end{pmatrix} $$
で表される 1 次変換で、行列式は $\cos\theta$ である。1次変換と行列式：面積の拡大率の定理「行列式は符号付き面積の拡大率」により、1 次変換で面積は行列式の絶対値倍になる。thm-opa-area は、この一般的な事実の特別な場合である。
同じ記事の注意「一般の図形への拡張（証明しない）」（そこでも証明はせず文献から引用している。この記事でも証明しない）により、円のように多角形でない図形でも倍率は同じである。たとえば $\alpha$ の上で、交線上の点を中心とする半径 $r$ の円 $u^2+v^2=r^2$ の正射影は、$x=u$、$y=v\cos\theta$ から
$$ \frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{(r\cos\theta)^2}=1 $$
の楕円で、その面積 $\pi\cdot r\cdot r\cos\theta=\pi r^2\cos\theta$ は円の面積の $\cos\theta$ 倍である（楕円の面積 $\pi ab$ は 2次曲線の媒介変数表示にある）。$r=2$、$\theta=60^\circ$ なら、半径 $2$ の円（面積 $4\pi$）の影は半径が $2$ と $1$ の楕円で、面積は $2\pi$ である。

面積ベクトルと Cauchy–Binet の公式

平面の多角形の面積を $S$、平面の単位法線ベクトルを $\vec e=(e_1,e_2,e_3)$ とするとき、ベクトル $S\vec e$ を 面積ベクトル という。$e_1,e_2,e_3$ がどれも $0$ でないとき、prf-opa-degua の段 3・段 4 と同じ計算で、$yz$ 平面、$zx$ 平面、$xy$ 平面への正射影の面積は $S\lvert e_1\rvert$、$S\lvert e_2\rvert$、$S\lvert e_3\rvert$ である。つまり、面積ベクトルの成分の絶対値は、3 つの座標平面への影の面積である。三角形 $\mathrm{ABC}$ では、単位法線ベクトル $\vec e$ を外積 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と同じ向きにとれば、面積ベクトルは外積 $\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に等しい（$\vec e$ を逆向きにとれば符号だけが変わる。外積の長さは 2 辺の張る平行四辺形の面積で、向きは法線の向きである。空間の平面と法線ベクトル）。prf-opa-degua の三角形では $\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac12(qr,\ rp,\ pq)$ で、成分がちょうど $S_1$、$S_2$、$S_3$ になっている。de Gua の定理は「面積ベクトルの長さの 2 乗は成分の 2 乗の和」と読める。
大学では、面積ベクトルは曲面を流れる量（流束）を面積分で計算するときの基本になる。また、$n$ 次元の空間の中で、1 つの $k$ 次元の平面に含まれる図形（たとえば $k$ 本のベクトルが張る平行体）の体積の 2 乗は、$k$ 個の座標軸が張る部分空間への正射影の体積の 2 乗の和に等しい。これは行列式についての Cauchy–Binet の公式から出る（この記事では証明しない）。図形が平らであるという仮定は外せない。たとえば半径 $1$ の半球面 $x^2+y^2+z^2=1$、$z\ge0$ は面積が $2\pi$ で 2 乗は $4\pi^2$ だが、3 つの座標平面への正射影は半径 $1$ の円板と 2 つの半円板で、面積の 2 乗の和は $\pi^2+\left(\dfrac\pi2\right)^2+\left(\dfrac\pi2\right)^2=\dfrac{3\pi^2}2$ にしかならない。直線への正射影を一般の部分空間への正射影に広げ、行列で表す話は正射影と射影行列で扱う。

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正射影を行列で表す方法と、その性質（2 回写しても変わらないことなど）は正射影と射影行列で扱う。
四面体の体積を頂点の座標で表す式は四面体の体積と行列式で扱う。面積が $\cos\theta$ 倍になるのと同じように、体積も 1 次変換の行列式の絶対値倍になる。
de Gua の定理そのものと、その別の証明は de Guaの定理で扱う。