Stoneの定理(一径数ユニタリ群)

自己共役作用素 の補題「随伴の閉性と対称作用素の閉包」の 1 により、$A\subset B$ から $B^*\subset A^*$ である。$B$ は対称なので $B\subset B^*\subset A^*=A$ となり、$A=B$ である。$\square$

ユニタリ群であること。 $f_sf_t=f_{s+t}$、$f_0=1$、$\overline{f_t}f_t=1$ と、関数計算が積と複素共役を保つことから、$e^{-isA}e^{-itA}=e^{-i(s+t)A}$、$e^{-i0A}=1$、$(e^{-itA})^*e^{-itA}=e^{-itA}(e^{-itA})^*=1$ である。
強連続であること。 $\psi\in H$ について
$$ \|e^{-itA}\psi-e^{-it_0A}\psi\|^2=\int|e^{-it\lambda}-e^{-it_0\lambda}|^2\,d\mu_\psi(\lambda) $$
であり、被積分関数は $4$ 以下で $t\to t_0$ のとき各点で $0$ に収束する。$\mu_\psi$ は有限測度なので、優収束定理により右辺は $0$ に収束する。
生成作用素が $A$ であること。 $\tilde A$ を $U(t)=e^{-itA}$ の生成作用素とする。$\psi\in D(A)$ について
$$ \Bigl\|\frac{e^{-itA}\psi-\psi}{t}+iA\psi\Bigr\|^2=\int\Bigl|\frac{e^{-it\lambda}-1}{t}+i\lambda\Bigr|^2\,d\mu_\psi(\lambda) $$
である（関数計算の 3 つ目の性質を $f=(f_t-1)/t$、$c=i$ に、1 つ目の性質を $h(\lambda)=\frac{e^{-it\lambda}-1}{t}+i\lambda$ に当てた）。$|e^{-it\lambda}-1|\leq|t\lambda|$ なので被積分関数は $4\lambda^2$ 以下で、$\psi\in D(A)$ により可積分である。各点で $0$ に収束するので、優収束定理により右辺は $0$ に収束する。よって $\psi\in D(\tilde A)$ で $\tilde A\psi=A\psi$、すなわち $A\subset\tilde A$ である。この証明のすぐ後に示す lem-stone-generator の 1（自己共役性を使わない）により $\tilde A$ は対称なので、lem-stone-maximal により $\tilde A=A$ である。$\square$

1：$U(t)^*=U(-t)$ と、内積が第 1 変数について共役線形であることから
$$ \Bigl\langle\varphi,\,i\frac{U(t)\psi-\psi}{t}\Bigr\rangle =\Bigl\langle -i\,\frac{U(-t)\varphi-\varphi}{t},\,\psi\Bigr\rangle =\Bigl\langle i\,\frac{U(s)\varphi-\varphi}{s},\,\psi\Bigr\rangle\qquad(s:=-t) $$
である。$t\to0$ とすると左辺は $\langle\varphi,A\psi\rangle$、右辺は $\langle A\varphi,\psi\rangle$ に収束する。
2：$h\neq0$ について
$$ \frac{U(h)-1}{h}U(t)\psi=U(t)\frac{U(h)-1}{h}\psi=\frac{U(t+h)\psi-U(t)\psi}{h} $$
である。$h\to0$ のとき中央の式は、$U(t)$ が有界なので $U(t)(-iA\psi)$ に収束する。左端の式が収束することから $U(t)\psi\in D(A)$、$-iAU(t)\psi=-iU(t)A\psi$ であり、右端の式から微分の主張を得る。$\square$

$U$ を強連続な一径数ユニタリ群、$A$ を生成作用素とする。
段 1：$D(A)$ は稠密。 $\psi\in H$、$\tau>0$ について、連続な $H$ 値関数の Riemann 積分として
$$ \psi_\tau:=\frac1\tau\int_0^\tau U(s)\psi\,ds $$
とおく。$U(s)\psi$ の連続性から $\|\psi_\tau-\psi\|\leq\sup_{0\leq s\leq\tau}\|U(s)\psi-\psi\|\to0$（$\tau\to0$）である。有界作用素 $U(t)$ は積分と交換するので、$t\neq0$ について
$$ \frac{U(t)\psi_\tau-\psi_\tau}{t}=\frac1{\tau t}\Bigl(\int_t^{t+\tau}-\int_0^\tau\Bigr)U(s)\psi\,ds=\frac1\tau\Bigl(\frac1t\int_\tau^{\tau+t}U(s)\psi\,ds-\frac1t\int_0^tU(s)\psi\,ds\Bigr) $$
であり、$t\to0$ で $\frac1\tau(U(\tau)\psi-\psi)$ に収束する。よって $\psi_\tau\in D(A)$ で、$D(A)$ は稠密である。
段 2：$A$ は本質的に自己共役。 lem-stone-generator の 1 により $A$ は対称である。自己共役作用素 の系「本質的な自己共役性の判定」により、$\operatorname{ran}(A-i)$ と $\operatorname{ran}(A+i)$ が稠密であることを示せばよい。$\varphi$ が $\operatorname{ran}(A-z)$（$z=\pm i$）に直交するとする。これは、すべての $\psi\in D(A)$ で $\langle\varphi,A\psi\rangle=\langle\overline z\varphi,\psi\rangle$ ということである。$\psi\in D(A)$ を固定し $g(t):=\langle\varphi,U(t)\psi\rangle$ とおくと、lem-stone-generator の 2 と $U(t)\psi\in D(A)$ から
$$ g'(t)=\langle\varphi,-iAU(t)\psi\rangle=-i\langle\overline z\varphi,U(t)\psi\rangle=-iz\,g(t) $$
となり、$g(t)=e^{-izt}g(0)$ である。$z=\pm i$ なら $|e^{-izt}|=e^{\pm t}$ は $t\to\pm\infty$ で有界でないが、$|g(t)|\leq\|\varphi\|\|\psi\|$ は有界なので $g(0)=\langle\varphi,\psi\rangle=0$ である。$\psi\in D(A)$ は任意で $D(A)$ は稠密なので $\varphi=0$ である。
段 3：$\overline A$ の生成する群は $U$。 $\overline A$ は自己共役なので、prf-stone-forward により $V(t):=e^{-it\overline A}$ は強連続な一径数ユニタリ群で、生成作用素は $\overline A$ である。$\psi\in D(A)$ とし、$\phi(t):=U(t)\psi-V(t)\psi$ とおく。lem-stone-generator の 2 を $U$ と $V$ に当てると、$U(t)\psi\in D(A)\subset D(\overline A)$、$V(t)\psi\in D(\overline A)$ で
$$ \phi'(t)=-iAU(t)\psi+i\overline AV(t)\psi=-i\overline A\phi(t) $$
である。$\overline A$ は対称なので $\langle\phi,\overline A\phi\rangle$ は実数で、
$$ \frac{d}{dt}\|\phi(t)\|^2=2\operatorname{Re}\langle\phi(t),\phi'(t)\rangle=2\operatorname{Re}\bigl(-i\langle\phi(t),\overline A\phi(t)\rangle\bigr)=0 $$
となる。$\phi(0)=0$ なので $\phi\equiv0$、すなわち $D(A)$ の上で $U(t)=V(t)$ である。両辺は有界で $D(A)$ は稠密なので $U(t)=V(t)$ である。
段 4：$A$ は自己共役。 $U=V$ なので、$U$ の生成作用素 $A$ は $V$ の生成作用素 $\overline A$ に等しい。よって $A=\overline A$ は自己共役で、$U(t)=e^{-itA}$ である。$\square$