連続写像
概要
連続写像（continuous map）とは、位相空間の間の写像で、終域の開集合の逆像がすべて定義域で開になるものである。閉集合の逆像が閉であること、閉包を保つこと、各点で連続であることと同値で、距離空間ではε-δ条件に一致する。恒等写像・定数写像は連続で、連続写像の合成は連続であり、有限閉被覆または任意の開被覆の上で一致する連続写像は連続に貼り合わさる。位相空間の間の射としての基本概念であり、同相写像やコンパクト性・連結性の保存はこの概念を通じて述べられる。
前提知識: 写像、像、逆像、写像のグラフ, 位相空間, 開集合, 閉集合, 開基, 距離空間
定義
位相空間 $(X,\mathcal O_X)$、$(Y,\mathcal O_Y)$ の間の写像 $f\colon X\to Y$ が 連続写像（continuous map）であるとは、任意の $V\in\mathcal O_Y$ に対して
$$
f^{-1}(V)\in\mathcal O_X
$$
が成り立つことをいう。
ここで使うのは 開集合 の 像 ではなく 逆像 である。逆像は、任意の写像について和集合・有限交叉・補集合を保つため、位相の公理と直接かみ合う。連続写像は開集合を開集合へ送る 開写像 とも、閉集合を閉集合へ送る 閉写像 とも別の概念である。
写像 $f\colon X\to Y$ が連続であることと、$Y$ の任意の閉集合 $C$ に対して $f^{-1}(C)$ が $X$ の閉集合であることは同値である。
任意の $A\subseteq Y$ について
$$
f^{-1}(Y\setminus A)=X\setminus f^{-1}(A)
$$
が成り立つ。$f$ が連続で $C$ が $Y$ の閉集合なら、$Y\setminus C$ は開集合なので $f^{-1}(Y\setminus C)$ は開集合である。上の等式によりその補集合 $f^{-1}(C)$ は閉集合である。
逆に、閉集合の逆像がすべて閉であると仮定する。$V$ が $Y$ の開集合なら $Y\setminus V$ は閉集合なので $f^{-1}(Y\setminus V)$ は閉集合である。その補集合 $f^{-1}(V)$ は開集合であるから、$f$ は連続である。この証明は 選択公理 を使わない。
位相空間の間の写像 $f\colon X\to Y$ について、次の三条件は互いに同値である。
- $f$ は連続である。
- 任意の部分集合 $A\subseteq X$ に対して、閉包 について $f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}$ が成り立つ。
- $f$ は各点で連続である。すなわち、任意の $x\in X$ と $f(x)$ を含む任意の開集合 $V\subseteq Y$ に対して、$x$ を含む開集合 $U\subseteq X$ で $f(U)\subseteq V$ を満たすものが存在する。
1から2を示す。$x\in\overline{A}$ とし、$f(x)$ を含む開集合 $V$ を任意に取る。$f^{-1}(V)$ は $x$ を含む開集合なので、$x\in\overline{A}$ により $f^{-1}(V)\cap A$ は空でない。その点 $y$ を取れば $f(y)\in V\cap f(A)$ である。$f(x)$ を含む任意の開集合が $f(A)$ と交わるから $f(x)\in\overline{f(A)}$ である。
2から1を示す。$C\subseteq Y$ を閉集合とし、$A=f^{-1}(C)$ と置く。$x\in\overline{A}$ なら、2により
$$
f(x)\in f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}\subseteq\overline{C}=C
$$
なので $x\in A$ である。したがって $\overline{A}=A$ であり、$A$ は閉集合である。閉集合の逆像がすべて閉であるから、prop-continuity-closed-sets により $f$ は連続である。
1から3を示す。$x\in X$ と $f(x)$ を含む開集合 $V$ に対して $U=f^{-1}(V)$ と置けば、$U$ は $x$ を含む開集合で $f(U)\subseteq V$ を満たす。
3から1を示す。$V\subseteq Y$ を開集合とする。3により、$f^{-1}(V)$ の各点 $x$ は、$f(U)\subseteq V$ すなわち $U\subseteq f^{-1}(V)$ を満たすある開集合 $U$ に属する。したがって $f^{-1}(V)$ は、$U\subseteq f^{-1}(V)$ を満たす開集合 $U$ 全体の和集合に等しく、開集合である。各点ごとの $U$ を選ぶ必要はないので、この証明は選択公理を使わない。
条件3は、開集合の代わりに 近傍 を用いて「$f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対し $x$ のある近傍 $U$ が $f(U)\subseteq V$ を満たす」と述べることもでき、一点での連続性のこの定式化と開集合による定式化の同値は 近傍 の記事の命題が扱う。本記事の連続性は、すべての開集合を一度に扱う大域的な性質であり、上の命題はそれが各点での局所的な条件の総和であることを示す。点列を保つ性質（点列連続性）とも区別し、一般の位相空間で両者が同値であるとは仮定しない。
基本例と反例
任意の位相空間 $X$ について、恒等写像 $\operatorname{id}_X\colon X\to X$ は連続である。任意の開集合 $U$ に対して $\operatorname{id}_X^{-1}(U)=U$ だからである。
位相空間 $X,Y$ と点 $y_0\in Y$ に対し、$c(x)=y_0$ で定まる 定数写像 $c\colon X\to Y$ は連続である。開集合 $V\subseteq Y$ の逆像は、$y_0\in V$ なら $X$、$y_0\notin V$ なら $\emptyset$ であり、どちらも開集合である。
連続写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ の 合成写像 $g\circ f\colon X\to Z$ は連続である。
$W\subseteq Z$ を開集合とする。$g$ の連続性により $g^{-1}(W)$ は $Y$ で開であり、$f$ の連続性により $f^{-1}(g^{-1}(W))$ は $X$ で開である。逆像の合成則
$$
(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))
$$
から $g\circ f$ は連続である。この証明は選択公理を使わない。
この命題は一般の連続写像の合成だけを扱う。完全写像の閉写像性、コンパクトなファイバー、完全写像どうしの合成は 完全写像 が扱う。
同じ集合 $X$ 上の二つの位相 $\mathcal O_1,\mathcal O_2$ について、集合としての恒等写像
$$
\operatorname{id}\colon(X,\mathcal O_1)\to(X,\mathcal O_2)
$$
が連続であることと $\mathcal O_2\subseteq\mathcal O_1$ は同値である。実際、終域の開集合の逆像は同じ部分集合なので、連続性は $\mathcal O_2$ の各元が $\mathcal O_1$ の元であることを意味する。
通常の位相を入れた $\mathbb R$ で
$$
H(x)=\begin{cases}0&(x<0),\\1&(x\geq0)\end{cases}
$$
と置く。開集合 $(1/2,3/2)$ の逆像は $[0,\infty)$ であり開でないから、$H$ は連続でない。この例は「実数上の区分的に定数な写像は連続である」という含意を破る。
判定法
$\mathcal B$ を $Y$ の位相の 開基 とする。写像 $f\colon X\to Y$ が連続であることと、すべての $B\in\mathcal B$ に対して $f^{-1}(B)$ が $X$ で開であることは同値である。
連続性の判定に使うのは 終域の開基である。定義域の開基の各元の像を調べる判定は開写像性に関するもので、向きが異なる。
距離空間 $(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ の間の写像 $f\colon X\to Y$ について、次の二条件は同値である。
- 距離が定める位相に関して $f$ は連続である。
- 任意の $x\in X$ と任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、$d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ が成り立つ。
以下では、各 開球 が開集合であること、および距離が定める位相の開集合はその各点を中心とするある開球を含むことを使う。これらは 距離空間 の記事の系（開球と開集合）による。
1を仮定し、$x\in X$ と $\varepsilon>0$ を固定する。開球 $B_Y(f(x),\varepsilon)$ は開集合なので、その逆像は $x$ を含む開集合であり、ある $\delta>0$ について
$$
B_X(x,\delta)\subseteq f^{-1}(B_Y(f(x),\varepsilon))
$$
となる。これは2を意味する。
2を仮定し、$V\subseteq Y$ を開集合とする。$x\in f^{-1}(V)$ なら、$V$ の開性から $B_Y(f(x),\varepsilon)\subseteq V$ となる $\varepsilon>0$ がある。2で得る $\delta>0$ に対して $B_X(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V)$ となる。したがって $f^{-1}(V)$ の各点は 内点 であり、$f^{-1}(V)$ は開集合である。この証明は選択公理を使わない。
ここでは点 $x$ ごと、$\varepsilon$ ごとに $\delta$ を選んでよい。定義域全体で同じ $\delta$ を使う 一様連続 とは異なる。また、点列連続性との同値はこの定理に含めない。
貼り合わせ
共通部分上の一致により、$x\in A_i$ を一つ選んで $f(x)=f_i(x)$ と置く規則は選び方によらず、写像をただ一つ定める。
$C\subseteq Y$ を閉集合とする。$f_i$ の連続性と閉集合による特徴づけから、$f_i^{-1}(C)$ は $A_i$ で閉である。$A_i$ は $X$ で閉なので、$A_i$ の閉集合は $X$ でも閉である。実際、$D\subseteq A_i$ が $A_i$ で閉なら、相対位相の定義により、ある $X$ の閉集合 $F$ によって $D=A_i\cap F$ と書けるからである。したがって
$$
f^{-1}(C)=\bigcup_{i=1}^n f_i^{-1}(C)
$$
は有限個の閉集合の和であり閉である。閉集合による特徴づけから $f$ は連続である。この証明は選択公理を使わない。
$X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda$ を任意個の開集合による 開被覆 とし、各 $U_\lambda$ には相対位相を入れる。各 $\lambda$ について $f_\lambda\colon U_\lambda\to Y$ が連続であり、各共通部分上で値が一致するならば、これらを貼り合わせた写像 $f\colon X\to Y$ は連続である。
$V\subseteq Y$ を開集合とする。$f_\lambda^{-1}(V)$ は $U_\lambda$ で開であり、$U_\lambda$ は $X$ で開なので、$f_\lambda^{-1}(V)$ は $X$ でも開である。したがって
$$
f^{-1}(V)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda^{-1}(V)
$$
は開であり、$f$ は連続である。この証明は選択公理を使わない。
有限性が必要なのは閉被覆版である。実際、$X=[0,1]$、$A_n=\{0\}\cup[1/n,1]$ とすると、各 $A_n$ は閉で $X=\bigcup_{n\ge1}A_n$ である。$f(0)=0$、$f(x)=1$（$x>0$）と置けば、各制限 $f|_{A_n}$ は連続で共通部分上で一致するが、$f^{-1}((-1/2,1/2))=\{0\}$ は $X$ で開でない。この例は「任意個の閉集合による被覆でも貼り合わせは連続である」という含意を破る。
部分空間 上の写像を貼る操作と、商空間 から写像を降ろす操作は異なる。本節は部分空間による被覆だけを扱い、商空間の普遍性は扱わない。
本記事の定義と判定法については Mun00 を参照できる。
関連項目
参考文献
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