超曲面
概要
超曲面（hypersurface）とは、アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ の中の定数でない多項式 1 つの零点 $V(f)$、または射影空間 $\mathbb{P}^n$ の中の次数 $d\ge1$ の斉次多項式 1 つの零点 $V_+(F)$ として定まる閉部分スキームのことである。既約成分はすべて $n-1$ 次元で、逆に余次元 $1$ の既約閉集合は既約多項式 1 つで定まる。射影超曲面は定義式の $0$ でない定数倍の違いを除いて方程式と一対一に対応し、次数 $d$ の超曲面の全体は $\binom{n+d}{d}-1$ 次元の射影空間をなす。次数 $1$ が超平面で、特異点は偏導関数で判定でき、因子や交わりの理論の基本の例になる。
平面の円錐曲線 $x^2+y^2=z^2$、空間の 2 次曲面 $xy=zw$、Fermat 型の方程式 $x_0^d+\dots+x_n^d=0$ は、どれも「ただ 1 つの多項式の零点」として定まる図形である。このような図形を超曲面という。$n$ 次元のアフィン空間や射影空間の中の超曲面は、方程式が 1 本しかないので、まわりの空間より次元がちょうど 1 小さい（thm-hypersurface-components とその後の段落）。1 次の超曲面が超平面であり、2 次・3 次の超曲面を 2 次超曲面・3 次超曲面という。超曲面は方程式が具体的に書けるので、代数多様体の中でもっとも計算しやすい例であり、特異点の判定、次数の定義、因子や交わりの理論の出発点になる。
定義
以下、$k$ は体とする。アフィン空間 $\mathbb{A}^n_k=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ と射影空間 $\mathbb{P}^n_k$（$n\ge1$）をスキームとして考え、$S:=k[x_0,\dots,x_n]$、$S_d$ を次数 $d$ の斉次多項式の空間とする。$\mathbb{P}^n_k$ は開集合 $U_i=D_+(x_i)\cong\operatorname{Spec}k[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$（$i=0,\dots,n$）で覆われる。
定数でない多項式 $f\in k[x_1,\dots,x_n]$ に対し、閉部分スキーム
$$
V(f):=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]/(f)\subset\mathbb{A}^n_k
$$
を $f$ の定める $\mathbb{A}^n_k$ の 超曲面（hypersurface）という。$f$ の全次数を超曲面の次数という。
次数 $d\ge1$ の $0$ でない斉次多項式 $F\in S_d$ に対し、各 $U_i$ の上で方程式 $F(x_0/x_i,\dots,x_n/x_i)=0$ が定める閉部分スキームを貼り合わせた $\mathbb{P}^n_k$ の閉部分スキームを $V_+(F)$ と書き、$F$ の定める $\mathbb{P}^n_k$ の 超曲面 という。$d$ を超曲面の 次数 という（次数が $F$ の選び方によらないことは thm-hypersurface-parameter で示す）。
$U_i\cap U_j$ の上では $F(x_0/x_i,\dots,x_n/x_i)=(x_j/x_i)^d\,F(x_0/x_j,\dots,x_n/x_j)$ で $x_j/x_i$ は単元だから、2 つの方程式は同じ閉部分スキームを定め、貼り合わせができる（Vak25 9.3.1）。次数 $1,2,3,4$ の超曲面を、それぞれ超平面・2 次超曲面・3 次超曲面・4 次超曲面という。$n=2$ のときの超曲面を平面曲線、$n=3$ のときを曲面ともいい、平面の 2 次曲線が円錐曲線である（Vak25 9.3.2）。
$k$ が代数閉体のときは、古典的には超曲面をその $k$ 点の集合 $\{a\in k^n\mid f(a)=0\}$ や $\{[a]\in\mathbb{P}^n(k)\mid F(a)=0\}$ と同一視することが多い。ただし点の集合だけでは $f$ と $f^2$ の区別がつかないので、この記事ではスキームとして定義する（ex-hypersurface-nonreduced）。$f$ が $0$ でない定数なら $V(f)$ は空、$f=0$ なら $V(f)$ は $\mathbb{A}^n_k$ 全体であり、どちらも超曲面とは呼ばない。
代数幾何では、スキーム $X$ の閉集合で、すべての既約成分が $X$ の中で余次元 $1$ であるものを $X$ の超曲面と呼ぶこともある（Vak25 12.1.5）。$\mathbb{A}^n_k$ の中では、下の thm-hypersurface-components により、この意味の超曲面はちょうど上の定義の超曲面の台である。$\mathbb{P}^n_k$ でも、余次元 $1$ の既約閉集合は既約な斉次多項式 $F$ の $V_+(F)$ に限る（Weil因子の例「射影空間の超曲面」）ので、同じことが成り立つ。微分幾何では、$n$ 次元の多様体の余次元 $1$ の部分多様体を超曲面という。たとえば時空の Cauchy 超曲面（Globally Hyperbolic時空の定義「Cauchy超曲面」）がこの意味である。この場合は局所的に 1 本の滑らかな方程式で定まれば足り、多項式である必要はない。
例
$\mathbb{P}^2_k$ の $V_+(x^2+y^2-z^2)$ は円錐曲線、$\mathbb{P}^3_k$ の $V_+(xy-zw)$ は 2 次曲面である。$\mathbb{A}^3_k$ の $V(x^2+y^2-z^2)$ は、射影平面の円錐曲線の上の点を原点と結ぶ直線をすべて集めた錐である。後で見るように、$k$ が代数閉体で標数が $2$ でなければ、射影平面の円錐曲線 $V_+(x^2+y^2-z^2)$ は特異点をもたないが、アフィン空間の錐 $V(x^2+y^2-z^2)$ は頂点（原点）を特異点にもつ（ex-hypersurface-smooth-examples）。
$d\ge1$ に対し $V_+(x_0^d+x_1^d+\dots+x_n^d)\subset\mathbb{P}^n_k$ を次数 $d$ の Fermat 超曲面という。$n=2$、$d=3$ の $x^3+y^3+z^3=0$ は平面 3 次曲線、$n=3$、$d=3$ は 3 次曲面、$n=3$、$d=4$ は 4 次曲面である。標数が $d$ を割り切るかどうかで性質が大きく変わる（ex-hypersurface-fermat-char-p）。
$n\ge2$ とし、$n\times n$ 行列の空間 $M_n\cong\mathbb{A}^{n^2}_k$ の座標を $x_{ij}$ とする。行列式 $\det(x_{ij})$ は次数 $n$ の斉次多項式（斉次多項式の例「行列式」）だから、$V(\det)\subset\mathbb{A}^{n^2}_k$ は次数 $n$ の超曲面で、その $k$ 点は行列式が $0$ の行列、すなわち正則でない行列である。この超曲面の特異点は、階数が $n-2$ 以下の行列である（ex-hypersurface-smooth-examples）。
モニックな 2 次式 $X^2+bX+c$ の係数の組 $(b,c)$ を $\mathbb{A}^2_k$ の点とみると、重根をもつ多項式の全体は判別式の零点 $V(b^2-4c)$ で、これは $k$ の標数が $2$ でなければ平面の放物線である（標数 $2$ では $b^2-4c=b^2$ で、直線 $b=0$ を 2 重にしたものになる）。一般に次数 $m$ のモニックな多項式の係数の空間 $\mathbb{A}^m_k$ の中で、$k$ の代数閉包の中に重根をもつ多項式の全体は、判別式の定める超曲面の点の集合になる。
性質
既約成分と次元
$P:=k[x_1,\dots,x_n]$ は一意分解整域である。定数でない $f\in P$ を
$$
f=u\,f_1^{e_1}\cdots f_r^{e_r}\qquad(u\in k^\times,\ f_i\text{ は互いに同伴でない既約多項式},\ e_i\ge1)
$$
と分解する。$P$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さ $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ は、$\mathfrak{p}$ で終わる素イデアルの鎖の長さの上限である（Krull次元の定義「素イデアルの高さ」）。$\mathbb{A}^n_k$ の既約閉集合 $Z$ は素イデアル $\mathfrak{p}$ の $V(\mathfrak{p})$ と一対一に対応し、$Z$ の余次元は $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$、次元は $\dim P/\mathfrak{p}$ である。
- $(f)$ を含む極小な素イデアルは $(f_1),\dots,(f_r)$ であり、これらは相異なる。したがって $V(f)$ の既約成分は $V(f_1),\dots,V(f_r)$ である。
- 各 $(f_i)$ の高さは $1$ であり、$V(f)$ の各既約成分の次元は $n-1$ である。
- 逆に、$\mathbb{A}^n_k$ の余次元 $1$ の既約閉集合（高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の $V(\mathfrak{p})$）は、既約多項式 $g$ によって $V(g)$ と書け、$g$ は $0$ でない定数倍を除いて一意である。
- 環 $P/(f)$ が被約（冪零元が $0$ だけ）であることと、$e_1=\dots=e_r=1$ であることは同値である。
一意分解整域では既約元は素元であり、素元の生成する単項イデアルは素イデアルである。以下これを使う。
条件 (i)：素イデアル $\mathfrak{p}\supset(f)$ をとる。$f\in\mathfrak{p}$ で $u$ は単元だから、$\mathfrak{p}$ が素であることからある $f_i$ が $\mathfrak{p}$ に属し、$(f_i)\subset\mathfrak{p}$ となる。各 $(f_i)$ は $(f)$ を含む素イデアルである。$(f_i)\subset(f_j)$ なら $f_j\mid f_i$ で、$f_i$ は既約だから $f_i$ と $f_j$ は同伴、すなわち $i=j$ である。よって $(f)$ を含む極小な素イデアルはちょうど $(f_1),\dots,(f_r)$ である。既約成分は極小な素イデアルの $V$ に対応するので、後半が従う。
条件 (ii)：$0\subsetneq(f_i)$ だから $\operatorname{ht}(f_i)\ge1$ である。$0\neq\mathfrak{q}\subset(f_i)$ を素イデアルとする。$\mathfrak{q}$ の $0$ でない元を既約分解すると、ある既約因子 $g$ が $\mathfrak{q}$ に属する。$g\in(f_i)$ だから $f_i\mid g$ で、$g$ は既約なので $g$ と $f_i$ は同伴であり、$(f_i)=(g)\subset\mathfrak{q}$、よって $\mathfrak{q}=(f_i)$ である。したがって $(f_i)$ の下には $0$ しかなく、$\operatorname{ht}(f_i)=1$ である。$P/(f_i)$ は体上有限生成な整域だから、Krull次元の定理「体上有限生成な環の次元」の 1 と 3 により $\dim P/(f_i)=\dim P-\operatorname{ht}(f_i)=n-1$ である。
条件 (iii)：$\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1$ とする。$\mathfrak{p}\neq0$ だから、(ii) と同じく $\mathfrak{p}$ に属する既約多項式 $g$ があり、$0\subsetneq(g)\subset\mathfrak{p}$ である。$(g)$ は素イデアルで、高さが $1$ の $\mathfrak{p}$ との間に $0\subsetneq(g)$ があるから $(g)=\mathfrak{p}$ である（Vak25 12.1.7 の議論）。$(g)=(g')$ なら $g'=cg$（$c$ は $P$ の単元、すなわち $c\in k^\times$）である。
条件 (iv)：$e_i\ge2$ となる $i$ があるとき、$h:=f_1f_2\cdots f_r$ とおき $e:=\max_ie_i$ とすると、$h^e$ は $f$ で割り切れるが、$h$ は $f$ で割り切れない（$f_i^{e_i}\nmid h$）。よって $h$ の類は $P/(f)$ の $0$ でない冪零元である。逆にすべて $e_i=1$ とし、$h^m\in(f)$ とする。各 $f_i$ は素元で $h^m$ を割るから $f_i\mid h$ であり、$f_1,\dots,f_r$ は互いに同伴でない素元だから、一意分解により積 $f=uf_1\cdots f_r$ も $h$ を割る。よって $P/(f)$ は被約である。$\square$
とくに $V(f)$ が整スキーム（既約かつ被約）であることは、$f$ が既約多項式であることと同値である。(ii) は Krull の単項イデアル定理の特別な場合である。Noether 環 $A$ の元 $f$ について、$(f)$ を含む極小な素イデアルの高さは $1$ 以下であり、$f$ が零因子でなければちょうど $1$ である（Vak25 12.3.3、Krull次元の定理「Noether環の次元」）。多項式環では一意分解性のおかげで、上のように直接確かめられる。
射影空間でも同じことが成り立つ。$0$ でない $F\in S_d$ の既約分解 $F=c\,F_1^{e_1}\cdots F_r^{e_r}$ の因子 $F_i$ はすべて斉次である（斉次多項式の命題「斉次多項式の因子は斉次である」）。$V_+(F)$ の台は $V_+(F_1)\cup\dots\cup V_+(F_r)$ であり、既約な斉次多項式 $F_i$ の $V_+(F_i)$ は $\mathbb{P}^n_k$ の $n-1$ 次元の整な閉部分スキームである（Vak25 演習 12.3.A、射影多様体の例「射影空間と超曲面」）。
超曲面と方程式の対応、超曲面の空間
超曲面は方程式から定義したが、閉部分スキームとしての超曲面から方程式が定数倍を除いて復元できる。
$n\ge1$ とし、$F\in S_d$、$G\in S_e$ を $0$ でない斉次多項式（$d,e\ge1$）とする。閉部分スキームとして $V_+(F)=V_+(G)$ であることと、ある $c\in k^\times$ で $G=cF$ となることは同値である。とくに超曲面の次数は超曲面そのものから定まり、次数 $d$ の超曲面の全体は $S_d\setminus\{0\}$ を $k^\times$ 倍で割った集合、すなわち射影空間
$$
\mathbb{P}(S_d)\cong\mathbb{P}^N(k),\qquad N=\binom{n+d}{d}-1
$$
の点と一対一に対応する。アフィン超曲面についても、$V(f)=V(g)$ であることと $g=cf$（$c\in k^\times$）であることは同値である。
アフィンの場合：$\operatorname{Spec}P$ の閉部分スキームはイデアルと一対一に対応する（閉部分スキームの例「アフィンスキームの閉部分スキーム」）ので、$V(f)=V(g)$ は $(f)=(g)$ と同値である。これは $f$ と $g$ が互いに割り切り合うこと、すなわち $P$ の単元 $c\in k^\times$ で $g=cf$ となることと同値である。
射影の場合：$G=cF$ なら各 $U_i$ の方程式は定数倍しか違わないので同じ閉部分スキームを定める。逆に $V_+(F)=V_+(G)$ とする。$i=0,1$ について、$x_i=1$ を代入した非斉次化を $F_{(i)}$、$G_{(i)}$ と書く（$U_i$ の座標環を多項式環とみたときの $F(x_0/x_i,\dots,x_n/x_i)$ にあたる）。$U_i$ への制限が等しいから、アフィンの場合の議論（$0$ でない多項式 $f,g$ について $V(f)=V(g)\iff(f)=(g)$。$F_{(i)}$ が $0$ でない定数になる場合、たとえば $F=x_i^d$ のときもそのまま通る）により $G_{(i)}=c_iF_{(i)}$（$c_i\in k^\times$）である。$x_i^{r_i}$ を $F$ を割り切る $x_i$ の最大の冪、$x_i^{s_i}$ を $G$ を割り切る最大の冪とすると、射影閉包の補題「斉次化の基本性質」の 2（$x_0$ の役割を $x_i$ に替えたもの）により $F=x_i^{r_i}(F_{(i)})^h$、$G=x_i^{s_i}(G_{(i)})^h$ であり、斉次化は定数倍と両立するから
$$
x_i^{r_i}\,G=c_i\,x_i^{s_i}\,F\qquad(i=0,1)
$$
が成り立つ。$S$ の商体の中で $G/F=c_0x_0^{s_0-r_0}=c_1x_1^{s_1-r_1}$ である。$x_0$ と $x_1$ は $S$ の同伴でない素元なので、一意分解の指数を比べると $s_0-r_0=0$、$s_1-r_1=0$ であり、$c_0=c_1$ となる。よって $G=c_0F$ で、次数も $e=d$ である。
最後の主張は、$S_d$ が $\binom{n+d}{d}$ 次元のベクトル空間であること（斉次多項式の命題「次数 $d$ の斉次多項式の空間の次元」）から従う。$\square$
たとえば平面の円錐曲線は $N=5$ 次元、平面 3 次曲線は $N=9$ 次元、$\mathbb{P}^3$ の 2 次曲面は $N=9$ 次元、3 次曲面は $N=19$ 次元の射影空間で媒介変数表示される（Vak25 4.5.3）。$n\ge1$ の仮定は必要である。$\mathbb{P}^0_k$ は 1 点で、$x_0^d$ はどの $d\ge1$ でも空の閉部分スキームを定めるので、次数が定まらない。
一方、点の集合として同じでも、閉部分スキームとして同じとは限らない。$V_+(x^2y)$ と $V_+(xy^2)$ は $\mathbb{P}^2_k$ の中で同じ 2 本の直線 $\{x=0\}\cup\{y=0\}$ を台とするが、上の定理により異なる超曲面である（Vak25 4.5.3）。前者は直線 $x=0$ を 2 重に、後者は $y=0$ を 2 重に数えている。
特異点と Jacobi の判定法
超曲面 $X$ の点 $x$ が正則点であるとは局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が正則局所環であることであり、正則でない点を特異点という（特異点解消の定義「正則点と特異集合」）。$k$ が代数閉体のとき、アフィン超曲面の $k$ 点での判定は偏導関数で書ける。
$k$ を代数閉体、$f\in k[x_1,\dots,x_n]$ を定数でない多項式とする。$V(f)$ の閉点 $a\in k^n$（$f(a)=0$）が特異点であるための必要十分条件は
$$
\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)=\dots=\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=0
$$
である。
射影超曲面では、どのアフィン開集合 $U_i$ で見るかによらない形に書き直せる。ここで Euler の恒等式が効く。
$k$ を代数閉体、$F\in S_d$（$d\ge1$）を $0$ でない斉次多項式、$a\in k^{n+1}\setminus\{0\}$ とする。点 $[a]\in\mathbb{P}^n(k)$ が $V_+(F)$ の特異点であるための必要十分条件は
$$
F(a)=0\quad\text{かつ}\quad\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\dots=\frac{\partial F}{\partial x_n}(a)=0
$$
である。$k$ の標数が $d$ を割り切らないときは、条件 $F(a)=0$ は偏導関数の条件から従う。
偏導関数 $\partial F/\partial x_i$ は次数 $d-1$ の斉次多項式だから、条件は $a$ を定数倍しても変わらない（斉次多項式の命題「射影空間の点で消えるかどうか」）。$a_j\neq0$ となる $j$ があり、変数の番号を付け替えて $j=0$、さらに $a$ を定数倍して $a_0=1$ としてよい。$b:=(a_1,\dots,a_n)$、$f(y_1,\dots,y_n):=F(1,y_1,\dots,y_n)$ とおくと、$V_+(F)\cap U_0$ は $\mathbb{A}^n_k$ の $V(f)$ であり、点 $[a]$ は $b$ にあたる。$x_0=1$ の代入は $x_1,\dots,x_n$ による微分と交換する（単項式で確かめればよい）ので、$i\ge1$ について
$$
\frac{\partial f}{\partial y_i}(b)=\frac{\partial F}{\partial x_i}(1,b)
$$
である。したがって thm-hypersurface-jacobian-affine により、$[a]$ が特異点であることは「$F(1,b)=0$ かつ $i=1,\dots,n$ で $\partial F/\partial x_i(1,b)=0$」と同値である。この条件のもとで、Euler の恒等式（斉次多項式の命題「Euler の恒等式」）を点 $(1,b)$ で使うと
$$
\frac{\partial F}{\partial x_0}(1,b)=d\,F(1,b)-\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial F}{\partial x_i}(1,b)=0
$$
となる。よって条件は「$F(a)=0$ かつすべての $i=0,\dots,n$ で $\partial F/\partial x_i(a)=0$」と同値である。最後に、偏導関数がすべて $a$ で消えれば Euler の恒等式から $d\,F(a)=\sum_ia_i\,\partial F/\partial x_i(a)=0$ であり、$d$ が $k$ で可逆なら $F(a)=0$ となる。$\square$
$k$ を標数が $2$ でも $3$ でもない代数閉体とする。
- 円錐曲線 $F=x^2+y^2-z^2$ の偏導関数は $2x,2y,-2z$ で、同時に $0$ になるのは $x=y=z=0$ だけだから、$V_+(F)\subset\mathbb{P}^2_k$ は特異点をもたない。同じ多項式の $\mathbb{A}^3_k$ の錐 $V(F)$ では原点が特異点で、原点以外は特異点でない。
- 節点をもつ 3 次曲線 $F=y^2z-x^2(x+z)$ では $\partial F/\partial x=-3x^2-2xz$、$\partial F/\partial y=2yz$、$\partial F/\partial z=y^2-x^2$ で、これらが同時に $0$ になる点は $[0:0:1]$ だけであり、$F(0,0,1)=0$ だから特異点はただ 1 つ $[0:0:1]$ である。尖点をもつ 3 次曲線 $y^2z-x^3$ でも特異点は $[0:0:1]$ だけである。
- 行列式の超曲面 $V(\det)\subset\mathbb{A}^{n^2}_k$（$n\ge2$）では、第 $i$ 行についての余因子展開 $\det X=\sum_jx_{ij}C_{ij}$（行列式の定理「行と列に関する余因子展開」）で余因子 $C_{ij}$ は第 $i$ 行の成分を含まないから、$\partial\det/\partial x_{ij}=C_{ij}$ である。$C_{ij}$ は $\pm$ を除いて $(n-1)$ 次の小行列式だから、行列 $A$ で偏導関数がすべて消えることは、$A$ の $(n-1)$ 次の小行列式がすべて $0$ であること、すなわち $\operatorname{rank}A\le n-2$ と同値である（行列の階数の定理「階数と0でない小行列式」）。よって $V(\det)$ の特異点は、階数 $n-2$ 以下の行列全体である。
射影閉包・因子・交わり
アフィン超曲面 $V(f)\subset\mathbb{A}^n_k$ を $\mathbb{P}^n_k$ の中で閉じると、斉次化 $f^h$ の定める射影超曲面 $V_+(f^h)$ になる（射影閉包の命題「超曲面の射影閉包」）。たとえば放物線 $y=x^2$ の射影閉包は円錐曲線 $yz=x^2$ である。
$\mathbb{P}^n_k$ の次数 $d$ の超曲面 $V_+(F)$ は、各 $U_i$ の上で 1 つの方程式 $F/x_i^d$ で定まる有効 Cartier 因子であり、付随する可逆層は $\mathcal{O}(d)$ である（Cartier因子の例「射影空間の超平面と超曲面」）。$\mathbb{P}^n_k$ の素因子は既約な超曲面そのもので、次数を対応させる写像が因子類群の同型 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n_k)\cong\mathbb{Z}$ を与え、次数 $d$ の超曲面は超平面の $d$ 倍と線型同値である（Weil因子の例「射影空間の超曲面」）。サイクルの言葉では、同じ次数の超曲面は有理同値である（有理同値の例「射影空間の同じ次数の超曲面」）。
$k$ が代数閉体なら、超曲面に含まれない直線は、超曲面と重複度を込めてちょうど $d$ 点で交わる（射影多様体の定理「直線と超曲面の交点の個数」）。これは 2 変数の斉次多項式が 1 次式の積に分解すること（斉次多項式の定理「2 変数の斉次多項式の分解」）から出る。アフィン超曲面 $V(f)$ の 1 次の変形は $k[x_1,\dots,x_n]/(f,\partial f/\partial x_1,\dots,\partial f/\partial x_n)$ で記述され、Jacobi の判定法と同じ偏導関数が現れる（変形理論の命題「超曲面の1次変形」）。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 定義式が平方因子をもたない | $\mathbb{A}^1_k$ の $V(x^2)$ と $V(x)$ | 点の集合が同じなら同じ超曲面 |
| $k$ が代数閉体 | $\mathbb{R}$ 上の $V(x^2+y^2+1)$ | 超曲面は $n-1$ 次元ぶんの $k$ 点をもつ |
| 余次元が $1$ | $\mathbb{A}^3_k$ の直線 $V(x,y)$ | 1 つの方程式で定まる |
| 標数が $d$ を割り切らない | 標数 $p$ の Fermat 超曲面（$d=p$） | 偏導関数が消える点は超曲面上にあり、Fermat 超曲面は特異点をもたない |
$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ の $V(x)$ と $V(x^2)$ は、どちらも台が原点 1 点だが、座標環が $k$ と $k[x]/(x^2)$ で異なり、別の閉部分スキームである（閉部分スキームの例「アフィンスキームの閉部分スキーム」）。$x^2$ は平方因子をもつので、thm-hypersurface-components の条件 (iv) により $V(x^2)$ は被約でなく、$x$ の類が $0$ でない冪零元になる。射影空間でも、$V_+(x^2y)$ と $V_+(xy^2)$ は台が同じで超曲面としては異なる（thm-hypersurface-parameter）。「超曲面は点の集合で決まる」は、平方因子のない方程式に限って、しかも $k$ が代数閉体のときに成り立つ（Hilbertの零点定理により、平方因子のない $f$ では $k$ 点の集合 $V(f)$ 上で消える多項式全体が $(f)$ に一致するため）。
$k=\mathbb{R}$、$f=x^2+y^2+1$ とする。実数 $a,b$ について $a^2+b^2+1\ge1>0$ だから、$V(f)$ は $\mathbb{R}$ 点を 1 つももたない。一方 $f$ は $\mathbb{R}$ 上既約である（1 次式の積に分解すれば、1 次式の零点として実数の点をもつことになる）ので、thm-hypersurface-components により $V(f)=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x,y]/(f)$ は 1 次元の整スキームである。複素数の点は $x^2+y^2=-1$ を満たす $(x,y)\in\mathbb{C}^2$ の全体で、無限個ある。「$n$ 次元の空間の超曲面は $n-1$ 次元ぶんの $k$ 点をもつ」という見方は、$k$ が代数閉体でないと成り立たない。
$\mathbb{A}^3_k$ の直線 $Z=V(x,y)$（$z$ 軸）は、どの多項式 $f$ についても $V(f)$ の台にならない。実際、$k[x,y,z]/(x,y)\cong k[z]$ は 1 次元だから、Krull次元の定理「体上有限生成な環の次元」の 3 により $\operatorname{ht}(x,y)=3-1=2$ である。$Z$ が $V(f)$ の台なら、$Z$ は既約だから $V(f)$ の既約成分であり、thm-hypersurface-components の条件 (ii) により高さ $1$ の素イデアルに対応するはずで、矛盾する。同じ理由で、$\mathbb{P}^3_k$ のねじれ 3 次曲線（$\mathbb{P}^1_k$ と同型な 1 次元の曲線、Vak25 演習 9.3.A）は $\mathbb{P}^3_k$ の超曲面の台にならない。超曲面の既約成分はすべて 2 次元だからである。
$k$ を代数閉体とし、$F=x_0^d+\dots+x_n^d$ とする。$\partial F/\partial x_i=d\,x_i^{d-1}$ である。標数が $d$ を割り切らないとき、偏導関数がすべて消える点は $a_0=\dots=a_n=0$ だけで、これは $\mathbb{P}^n$ の点ではないから、prop-hypersurface-jacobian-projective により Fermat 超曲面は特異点をもたない。標数 $p$ が $d$ を割り切ると偏導関数は恒等的に $0$ になり、$V_+(F)$ のすべての点が特異点である。とくに $d=p$ なら、標数 $p$ で $(x_0+\dots+x_n)^p=x_0^p+\dots+x_n^p$ だから $V_+(F)=V_+\bigl((x_0+\dots+x_n)^p\bigr)$ は超平面 $x_0+\dots+x_n=0$ を $p$ 重にした被約でない超曲面である。このとき偏導関数は $V_+(F)$ の外の点でも消えるので、prop-hypersurface-jacobian-projective の条件の中の $F(a)=0$ は省けない。
関連項目
参考文献
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