Haar測度

$x\in G$ を固定し、$\mu_x(E):=\mu(xE)$ とおく。左移動 $T(y):=xy$ は同相写像なので、$\mu_x$ も Radon 測度であり、$\mu_x$ は $\mu$ の $T^{-1}$ による像測度である。像測度の積分の公式から、非負 Borel 関数 $f$ について $\int f\,d\mu_x=\int f(x^{-1}y)\,d\mu(y)$ が成り立つ（$f=1_E$ なら両辺は $\mu(xE)$ であり、単関数の極限に移る）。
1 ⇒ 2：$\mu_x=\mu$ なので、$f\in C_c(G)$ を正の部分と負の部分に分けて上の公式を使えばよい。2 ⇒ 1：2 は $\mu_x$ と $\mu$ が $C_c(G)$ 上で同じ正値線形汎関数を表すことを言っている。Riesz–Markov–角谷の表現定理 の定理「Riesz–Markov–角谷の表現定理」の後半（Radon 測度の一意性）により $\mu_x=\mu$ である。右移動についても同じ。$\square$

要点：1 は有限個の平行移動でコンパクト集合を覆う。3 の「有限ならコンパクト」は、コンパクトでなければ互いに交わらない平行移動を無限個並べられることによる。

Sal20 Theorem 8.14（p. 265）は、$C_c(G)$ 上の左不変で $0$ でない正値線形汎関数（左 Haar 積分）が存在し、正の定数倍を除いて一意であることを示している（証明は同書 pp. 268–275）。この汎関数を Riesz–Markov–角谷の表現定理 で表す Radon 測度は、prop-haar-integral により左 Haar 測度である。逆に左 Haar 測度 $\mu$ の積分 $f\mapsto\int f\,d\mu$ は左 Haar 積分であり（$\mu\ne0$ と内部正則性から $0$ でない）、表現定理の一意性により測度は汎関数で決まるので、測度の一意性も積分の一意性から従う。右 Haar 測度は $\tilde\mu(E)=\mu(E^{-1})$ で左 Haar 測度と 1 対 1 に対応する。$\square$

要点：$e$ の近くに台をもつ関数 $g$ を 1 つ固定し、$f$ を $g$ の左移動の正係数の和で上から覆うときの係数の和の下限 $(f:g)$ を考える。正規化した $I_g(f):=(f:g)/(1:g)$ は左不変・単調・劣加法的で、$g$ の台を小さくすると加法性の誤差が小さくなる。$g$ の台を縮める方向の超フィルター極限をとると、左不変な正値線形汎関数が得られ、表現定理で測度に直す。
段 1：被覆数．$e$ の開近傍 $U$ について、$g\in C_+(G)$ で $0\le g\le1$、$g(e)=1$、$\operatorname{supp}g\subset U$ となるものがある（Riesz–Markov–角谷の表現定理 の補題「局所コンパクト空間のUrysohnの補題」を $K=\{e\}$ に当てる）。このような $g$ を試験関数と呼ぶ。$f\in C_+(G)$ と試験関数 $g$ について
$$(f:g):=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^mc_i\Bigm|m\ge0,\ c_i\ge0,\ x_i\in G,\ f\le\sum_{i=1}^mc_i\,\ell_{x_i}g\Bigr\}$$
とおく。開集合 $\{g>\frac12\}$ は $e$ を含むので、その左移動 $x\{g>\frac12\}$ の全体は $G$ を覆い、コンパクト性から有限個 $x_1,\dots,x_m$ で覆える。すると $\sum_i2\ell_{x_i}g\ge1$ なので $f\le\sum_i2\|f\|\ell_{x_i}g$ であり、$(f:g)<\infty$。また $1\le\sum c_i\ell_{x_i}g$ なら各点で $1\le\sum c_i$（$g\le1$）なので $(1:g)\ge1$。$I_g(f):=(f:g)/(1:g)$ とおく。
段 2：基本性質．被覆の定義から次がすぐわかる：$f\le h$ なら $I_g(f)\le I_g(h)$。$c\ge0$ なら $I_g(cf)=cI_g(f)$。2 つの被覆を並べれば $I_g(f+h)\le I_g(f)+I_g(h)$。被覆に $\ell_a$ を施すと $\ell_a\ell_{x}g=\ell_{ax}g$ なので $(\ell_af:g)\le(f:g)$、$a^{-1}$ についても同じなので $I_g(\ell_af)=I_g(f)$。$I_g(1)=1$。さらに $f\le h+\|f-h\|\cdot1$ から $I_g(f)\le I_g(h)+\|f-h\|$ なので、$\lvert I_g(f)-I_g(h)\rvert\le\|f-h\|$、とくに $0\le I_g(f)\le\|f\|$。
段 3：加法性の誤差．$f,h\in C_+(G)$ で $f+h>0$（各点で）とし、$\varepsilon>0$ とする。$\rho:=f/(f+h)$ は値が $[0,1]$ の連続関数である。$e$ の開近傍 $U$ で、すべての $x\in G$、$u\in U$ について $\lvert\rho(xu)-\rho(x)\rvert<\varepsilon$ となるものがある。実際、$F(x,u):=\rho(xu)-\rho(x)$ は連続で $F(x,e)=0$ なので、各 $x$ に開近傍 $V_x\ni x$、$U_x\ni e$ で $V_x\times U_x$ 上 $\lvert F\rvert<\varepsilon$ となるものがあり、$V_x$ の有限個で $G$ を覆って対応する $U_x$ の共通部分を $U$ とすればよい。$\operatorname{supp}g\subset U$ とし、$f+h\le\sum c_i\ell_{x_i}g$ を被覆とする。$\ell_{x_i}g(y)>0$ なら $x_i^{-1}y\in U$ なので $\lvert\rho(y)-\rho(x_i)\rvert<\varepsilon$ であり、$f=\rho(f+h)$ から各点で
$$f\le\sum_i(\rho(x_i)+\varepsilon)c_i\,\ell_{x_i}g,\qquad h\le\sum_i(1-\rho(x_i)+\varepsilon)c_i\,\ell_{x_i}g$$
となる。よって $(f:g)+(h:g)\le(1+2\varepsilon)\sum c_i$、下限をとって
$$I_g(f)+I_g(h)\le(1+2\varepsilon)I_g(f+h)\le I_g(f+h)+2\varepsilon\|f+h\|.$$
段 4：極限．試験関数とその台を含む近傍の組 $(U,g)$ 全体を $\mathcal{D}$ とし、$e$ の開近傍 $W$ について $\mathcal{T}_W:=\{(U,g)\in\mathcal{D}\mid U\subset W\}$ とおく。$\mathcal{T}_{W_1}\cap\mathcal{T}_{W_2}=\mathcal{T}_{W_1\cap W_2}$ は空でないので、$\mathcal{T}_W$ を含む集合の全体は $\mathcal{D}$ 上のフィルターであり、選択公理によりこれを含む超フィルター $\mathfrak{U}$ がある（超フィルター の定理「超フィルターへの拡張」）。$f\in C_+(G)$ について $(U,g)\mapsto I_g(f)$ は $[0,\|f\|]$ に値をとるので、超フィルター の定理「超フィルター極限」と同じ区間の二分による証明で、極限 $\Phi(f):=\mathfrak{U}\text{-}\lim I_g(f)$ がただ 1 つ定まる（同定理は $\omega$ 上で述べられているが、証明は超フィルターの性質だけを使う）。極限は有限和・正の定数倍・不等式を保つので、$\Phi$ は段 2 の性質（単調、正斉次、劣加法的、左不変、$\Phi(1)=1$、$\lvert\Phi(f)-\Phi(h)\rvert\le\|f-h\|$）をもつ。$f+h>0$ なら、段 3 の $U$ について $\mathcal{T}_U\in\mathfrak{U}$ の上で $I_g(f)+I_g(h)\le I_g(f+h)+2\varepsilon\|f+h\|$ なので $\Phi(f)+\Phi(h)\le\Phi(f+h)+2\varepsilon\|f+h\|$、$\varepsilon\to0$ と劣加法性から $\Phi(f+h)=\Phi(f)+\Phi(h)$。一般の $f,h\in C_+(G)$ では $h$ を $h+\delta$（$\delta>0$）に替えて等式を得てから、$\lvert\Phi(h+\delta)-\Phi(h)\rvert\le\delta$ などで $\delta\to0$ とする。
段 5：測度．$f\in C(G)$ について $\Lambda f:=\Phi(f^+)-\Phi(f^-)$ とおく。$f=a-b$（$a,b\in C_+(G)$）と別の表し方 $f=c-d$ があれば $a+d=b+c$ と加法性から $\Phi(a)-\Phi(b)=\Phi(c)-\Phi(d)$ なので、$\Lambda$ は表し方によらず、線形で、$f\ge0$ なら $\Lambda f\ge0$、$\Lambda1=1$ である。$(\ell_af)^\pm=\ell_a(f^\pm)$ なので $\Lambda$ は左不変である。Riesz–Markov–角谷の表現定理 により $\Lambda f=\int f\,d\mu$ となる Radon 測度 $\mu$ があり、$\mu(G)=\Lambda1=1$、prop-haar-integral により $\mu$ は左移動で不変である。$\square$

要点：左 Haar 確率測度 $\mu'$ と右 Haar 確率測度 $\rho$ について、$\iint f(xy)\,d\mu'(y)\,d\rho(x)$ を 2 通りの順序で計算すると、$\int f\,d\mu'=\int f\,d\rho$ になる。
積分の順序交換．$\alpha,\beta$ を $G$ 上の有限な Borel 測度、$F\in C(G\times G)$ とする。$x\mapsto\int F(x,y)\,d\beta(y)$ と $y\mapsto\int F(x,y)\,d\alpha(x)$ は連続で、
$$\int\Bigl(\int F(x,y)\,d\beta(y)\Bigr)d\alpha(x)=\int\Bigl(\int F(x,y)\,d\alpha(x)\Bigr)d\beta(y)$$
が成り立つ。実際、$g(x)h(y)$（$g,h\in C(G)$）の形の関数の有限和の全体 $\mathcal{A}$ は $C(G\times G)$ の部分代数で、定数を含み、点を分離する（$G$ はコンパクト Hausdorff なので、異なる 2 点の値が異なる連続関数がある。Riesz–Markov–角谷の表現定理 の補題「局所コンパクト空間のUrysohnの補題」）。Stone–Weierstrassの定理 の定理「Stone–Weierstrassの定理（実数値）」により、$\|F-F_n\|\to0$ となる $F_n\in\mathcal{A}$ がある。$F_n$ については内側の積分は連続関数の有限和で、2 つの累次積分はどちらも $\sum\int g\,d\alpha\int h\,d\beta$ に等しい。$\lvert\int(F-F_n)(x,y)\,d\beta(y)\rvert\le\|F-F_n\|\beta(G)$ なので内側の積分は一様収束し、極限も連続で、累次積分も収束する。
比較．$\mu'$ を $\mu'(G)=1$ となる左 Haar 測度、$\rho$ を $\rho(G)=1$ となる右 Haar 測度とし、$f\in C(G)$、$F(x,y):=f(xy)$ とおく。prop-haar-integral により $\int f(xy)\,d\mu'(y)=\int f\,d\mu'$（$x$ によらない）、$\int f(xy)\,d\rho(x)=\int f\,d\rho$（$y$ によらない）なので、順序交換から $\int f\,d\mu'=\int f\,d\rho$ である。表現定理の一意性により $\mu'=\rho$。
結論．$\rho(E):=\mu(E^{-1})$ は $\rho(G)=1$ の右 Haar 測度なので、上で $\mu'=\mu$ として $\mu=\rho$、すなわち 1 の後半が従い、$\mu$ は右 Haar 測度 $\rho$ に等しいので右移動でも不変である。左 Haar 測度 $\nu$ は $0<\nu(G)<\infty$（prop-haar-basic）を満たし、$\nu/\nu(G)$ も上の $\mu'$ の条件を満たすので $\nu/\nu(G)=\rho=\mu$。右 Haar 測度 $\nu$ も同様に $\nu/\nu(G)=\mu$（上で $\mu'=\mu$、$\rho=\nu/\nu(G)$ とする）。$\square$

要点：$N$ は $e$ のすべての近傍に含まれるので、開集合は $N$ の剰余類について飽和しており、$G$ と $Q$ の開集合・Borel 集合は $q$ で 1 対 1 に対応する。