写像の合成

同義語：composition of maps

概要

写像の合成（composition of maps）とは、写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ を順に適用して得られる写像 $g\circ f\colon X\to Z$ である。合成は結合律を満たし、恒等写像を単位元とする。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 写像, 恒等写像

概要

写像の合成（composition of maps）とは、写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ を順に適用して得られる写像 $g\circ f\colon X\to Z$ である。合成は結合律を満たし、恒等写像を単位元とする。
合成によって二段階の対応を一つの写像として扱える。適用する順序に注意が必要だが、三つ以上の合成では結合律により括弧の付け方を省略できる。

定義

写像の合成

写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ に対し、$X$ の各元 $x$ に $Z$ の元 $g(f(x))$ を対応させる写像
$$ g\circ f\colon X\to Z,\qquad (g\circ f)(x)=g(f(x))\quad(x\in X) $$
を $f$ と $g$ の合成（composition）または合成写像（composite map）という。$f$ の終域と $g$ の定義域が同じ集合 $Y$ であるときに限って定義され、先に施す $f$ を右に書く。

自己写像の反復合成

自己写像 $f\colon X\to X$ と非負整数 $n$ に対し、$f$ の $n$ 回反復合成 $f^n\colon X\to X$ を
$$ f^0=\operatorname{id}_X, \qquad f^{n+1}=f\circ f^n $$
によって帰納的に定める。たとえば $f^1=f$、$f^2=f\circ f$、$f^3=f\circ f\circ f$ である。最後の式では合成の結合律により括弧を省略している。

合成を定義するには、先に施す写像の終域と後に施す写像の定義域が一致する必要がある。より一般には、$f(X)$ が $g$ の定義域に含まれるよう終域を取り直す場合もあるが、写像の型を明示せずに式 $g\circ f$ だけを書くと定義可能性を判定できない。

例と反例

合成の順序

$f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x+1$、$g(x)=x^{2}$ とすると、$(g\circ f)(x)=(x+1)^{2}$、$(f\circ g)(x)=x^{2}+1$ である。$x=1$ で前者は $4$、後者は $2$ なので $g\circ f\neq f\circ g$ であり、合成は一般に交換可能でない。

平行移動の反復

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x+1$ とすると、正の整数 $n$ に対して $f^n(x)=x+n$ である。実際、$n=1$ では定義そのものであり、$f^n(x)=x+n$ ならば
$$ f^{n+1}(x)=f(f^n(x))=f(x+n)=x+n+1 $$
となるので、数学的帰納法で従う。

反例：合成は交換的でない

最初の例は $g\circ f\neq f\circ g$ を示す。さらに一般には、$f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ に対して $g\circ f$ は定義できても、$f\circ g$ は $Z= X$ など型が合う条件なしには定義すらできない。従って「合成の順序を交換する」という主張は、等式が偽になる以前に片方が未定義の場合がある。

性質と証明

合成写像と反復合成の区別

合成写像 $g\circ f$ では異なる集合の間の二つの写像を接続できる。一方、$f^n$ は一つの自己写像 $f\colon X\to X$ を繰り返す記法であり、終域と定義域が同じ集合 $X$ であることを使う。したがって、任意の写像 $f\colon X\to Y$ に対して $f^2$ が定義されるわけではない。

結合律と単位律
  1. 写像 $f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$、$h\colon Z\to W$ に対して $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ が成り立つ。
  2. 写像 $f\colon X\to Y$ に対して $f\circ\mathrm{id}_X=f=\mathrm{id}_Y\circ f$ が成り立つ。ここで $\mathrm{id}_X$ は恒等写像である。
結合律と単位律の証明
  1. 両辺はいずれも $X$ から $W$ への写像である。任意の $x\in X$ に対して
    $$ ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x))),\qquad (h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))) $$
    であり、すべての $x$ で値が一致するので両辺は等しい。
  2. $f\circ\mathrm{id}_X$ と $f$ はいずれも $X$ から $Y$ への写像で、任意の $x\in X$ に対して $(f\circ\mathrm{id}_X)(x)=f(\mathrm{id}_X(x))=f(x)$ である。同様に $\mathrm{id}_Y\circ f$ と $f$ はいずれも $X$ から $Y$ への写像で、$(\mathrm{id}_Y\circ f)(x)=\mathrm{id}_Y(f(x))=f(x)$ である。$\square$

像・逆像と合成

合成写像による像は順方向に、逆像は反対方向に段階的に計算できる。

合成と像・逆像

$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ とする。$A\subseteq X$、$C\subseteq Z$ に対して
$$ (g\circ f)(A)=g(f(A)), $$
$$ (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C)) $$
が成り立つ。

合成と像・逆像の証明

$z\in(g\circ f)(A)$ であることは、ある $a\in A$ に対して $z=g(f(a))$ となることと同値である。これは、ある $y\in f(A)$ に対して $z=g(y)$ となること、すなわち $z\in g(f(A))$ と同値である。
また任意の $x\in X$ について
$$ x\in(g\circ f)^{-1}(C) \Longleftrightarrow g(f(x))\in C \Longleftrightarrow f(x)\in g^{-1}(C) \Longleftrightarrow x\in f^{-1}(g^{-1}(C)) $$
である。

逆像では $g^{-1}$ を先に取り、その後で $f^{-1}$ を取る。これは元へ写像を施す順序と逆であり、連続写像や可測写像の合成が再び同じ性質をもつことの基礎になる。

単射性・全射性

合成と単射・全射

$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ とする。

  1. $f$ と $g$ が単射なら $g\circ f$ も単射である。
  2. $f$ と $g$ が全射なら $g\circ f$ も全射である。
  3. $g\circ f$ が単射なら $f$ は単射である。
  4. $g\circ f$ が全射なら $g$ は全射である。
合成と単射・全射の証明
  1. $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')$ とする。$g$ の単射性から $f(x)=f(x')$、さらに $f$ の単射性から $x=x'$ である。
  2. $z\in Z$ とする。$g$ が全射なので $g(y)=z$ となる $y\in Y$ があり、$f$ が全射なので $f(x)=y$ となる $x\in X$ がある。従って $(g\circ f)(x)=z$ である。
  3. $f(x)=f(x')$ なら $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')$ なので、合成の単射性から $x=x'$ である。
  4. $z\in Z$ とする。合成の全射性から $(g\circ f)(x)=z$ となる $x\in X$ がある。$y=f(x)$ とおけば $g(y)=z$ である。
反例：残りの向きは従わない

$X=\{0\}$、$Y=\{0,1\}$、$Z=\{0\}$ とし、$f(0)=0$、$g(0)=g(1)=0$ とする。$g\circ f\colon X\to Z$ は全単射だが、$f$ は全射でなく、$g$ は単射でない。従って「合成が単射なら $g$ も単射」「合成が全射なら $f$ も全射」という二つの含意は一般に成り立たない。

逆写像と合成

全単射の合成と逆写像

$f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ が全単射なら $g\circ f$ も全単射であり、
$$ (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} $$
が成り立つ。

全単射の合成と逆写像の証明

全単射性は直前の命題から従う。合成を計算すると
$$ (f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f) =f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f =f^{-1}\circ\operatorname{id}_Y\circ f =\operatorname{id}_X $$
である。反対側も
$$ (g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1}) =g\circ(f\circ f^{-1})\circ g^{-1} =\operatorname{id}_Z $$
となるので、$f^{-1}\circ g^{-1}$ は $g\circ f$ の逆写像である。

反復合成

反復合成の指数法則

自己写像 $f\colon X\to X$ と非負整数 $m,n$ に対して
$$ f^{m+n}=f^m\circ f^n $$
が成り立つ。従って同じ自己写像の冪同士については $f^m\circ f^n=f^n\circ f^m$ である。

反復合成の指数法則の証明

$n$ を固定し、$m$ に関する帰納法で示す。$m=0$ では
$$ f^{0+n}=f^n=\operatorname{id}_X\circ f^n=f^0\circ f^n $$
である。$f^{m+n}=f^m\circ f^n$ を仮定すると、定義と結合律から
$$ f^{(m+1)+n} =f\circ f^{m+n} =f\circ(f^m\circ f^n) =(f\circ f^m)\circ f^n =f^{m+1}\circ f^n $$
を得る。最後に $m+n=n+m$ を使えば二つの合成順が等しい。

反復合成は力学系の軌道 $x,f(x),f^2(x),\ldots$ を記述する。写像が全単射なら負の整数に対して $f^{-n}:=(f^{-1})^n$ と定められるが、一般の自己写像には負の反復を定義できない。

グラフと圏

写像を二項関係としてグラフで表すと、合成写像のグラフは関係の合成
$$ \Gamma_{g\circ f} =\{(x,z):\text{ある }y\in Y\text{ に対して }(x,y)\in\Gamma_f, (y,z)\in\Gamma_g\} $$
である。合成の結合律と恒等写像の単位律は、集合と写像が圏をなすための公理である。対象を集合、射を写像とすれば、始域・終域が合う射だけを合成し、恒等写像を各対象の恒等射とする。
定義域を狭める操作は写像の制限、部分集合上の写像を広い定義域へ延ばす操作は写像の拡大で扱う。これらは合成と関係するが、合成そのものとは別の操作である。
合成、結合律・単位律、単射・全射、反復については Hara20（第3章 §§3.1--3.3）、Matsusaka68（第1章 §§3--4, pp. 22--41）を参照した。

関連項目

参考文献

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