接吻数

$OP=OQ=2$ で、$\theta=\angle POQ$ とおくと、余弦定理（余弦定理（高校数学））により
$$ PQ^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos\theta=8-8\cos\theta $$
である。2 つの球が重ならないのは $PQ\ge2$、つまり $PQ^2\ge4$ のときで、
$$ 8-8\cos\theta\ge4\iff\cos\theta\le\frac12\iff\theta\ge60^\circ $$
である（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ で $\cos$ は減少する）。等号 $\theta=60^\circ$ は $PQ=2$、つまり 2 つの球が接するときである。$\square$

要点：$\alpha=\angle(\vec a,\vec b)$、$\gamma=\angle(\vec b,\vec c)$ とし、$\vec a$ と $\vec c$ を $\vec b$ の向きの成分と $\vec b$ に垂直な成分に分けると、$\vec a\cdot\vec c\ge\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma=\cos(\alpha+\gamma)$ となる。$\alpha+\gamma\ge180^\circ$ なら左辺は $180^\circ$ 以下なので成り立ち、そうでなければ $\cos$ が減少することから結論を得る。

半径をすべて $1$、中心の球の中心を $O$ とする。lem-kis-angle により、置いた球の中心の向きは、どの 2 つも $O$ から見て $60^\circ$ 以上離れている。
段 1（平面の上限）。平面に $n$ 個の円を置いたとする。中心 $P_1,\dots,P_n$ を、$O$ のまわりの向きの角の小さい順に並べる。となりどうし（$P_n$ から $P_1$ へも含む）を反時計回りに測った角を $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n$ とすると、合わせて $O$ のまわりを 1 周するので和は $360^\circ$ である。また $\theta_i$ は $\angle P_iOP_{i+1}$ 以上（$\angle P_iOP_{i+1}$ は $\theta_i$ と $360^\circ-\theta_i$ の小さい方）なので、どれも $60^\circ$ 以上である。よって $60^\circ\times n\le360^\circ$、$n\le6$ である。ex-kis-start で 6 個置けたので、平面の接吻数は $6$ である。
段 2（空間の下限）。12 個のベクトル
$$ (\pm1,\pm1,0),\quad(\pm1,0,\pm1),\quad(0,\pm1,\pm1) $$
（符号はすべての組合せ）は、どれも長さ $\sqrt2$ である。異なる 2 つの内積は、成分ごとの積の和なので整数で、$-2,-1,0,1$ のどれかになる（内積が $2$ になるのは同じベクトルのときだけ）。よってなす角の余弦は $\dfrac{\text{内積}}{\sqrt2\cdot\sqrt2}\le\dfrac12$ で、なす角は $60^\circ$ 以上である。これらの向きに、$O$ から距離 $2$ の点を中心とする半径 $1$ の球を置けば、lem-kis-angle により 12 個が重ならずに接する。これは 球の詰め込み の面心立方格子で 1 つの球に接する 12 個の球である（座標を $\sqrt2$ 倍した）。
段 3（空間の上限：球冠を作る）。$n$ 個の球を置き、中心の球との接点を $T_1,\dots,T_n$ とする（$T_i$ は $O$ と中心 $P_i$ を結ぶ線分の中点で、中心の球の表面にある）。各 $T_i$ について、中心の球の表面の点 $X$ で $\angle XOT_i<30^\circ$ となるものの全体を $C_i$ とする。$C_i$ は、中心の球を $OT_i$ に垂直な平面で切り取った球冠（縁を除く）である（図 2）。
段 4（球冠は重ならない）。$X$ が $C_i$ と $C_j$（$i\ne j$）の両方に入るとすると、lem-kis-tri により
$$ \angle T_iOT_j\le\angle T_iOX+\angle XOT_j<30^\circ+30^\circ=60^\circ $$
となり、$\angle T_iOT_j\ge60^\circ$ に反する。よって $C_1,\dots,C_n$ は互いに重ならない。
段 5（面積で数える）。球冠 $C_i$ の高さは、極 $T_i$ から切り口の平面までの距離で、$1-\cos30^\circ=1-\dfrac{\sqrt3}2$ である。Archimedesの帽子箱定理 の系「球冠の面積」により、半径 $1$ の球の高さ $h$ の球冠の面積は $2\pi\cdot1\cdot h$ なので、1 つの球冠の面積は
$$ 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}2\right)=\pi(2-\sqrt3) $$
である。$n$ 個の球冠は重ならずに表面積 $4\pi$ の球面（球の体積と表面積）にのっているので
$$ n\cdot\pi(2-\sqrt3)\le4\pi,\qquad n\le\frac4{2-\sqrt3}=\frac{4(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=8+4\sqrt3\approx14.93 $$
である。$n$ は整数なので $n\le14$ である。段 2 と合わせて、空間の接吻数は $12$ 以上 $14$ 以下である。$\square$