内分点・外分点の座標

方針：$a< b$ のときに示し、$a>b$ のときは $A$ と $B$ の役割を入れかえる。
段 1（$a< b$ のとき）。$P$ が線分 $AB$ 上にあることは $a< p< b$、つまり $p-a>0$ かつ $b-p>0$ である。$p-a<0$ かつ $b-p<0$ となることは、$p< a$ かつ $p>b$ で $a< b$ に反するので起こらない。したがって「$(p-a)(b-p)>0$（2 つの因数が同じ符号）」は「$p-a>0$ かつ $b-p>0$」と同値で、1 が成り立つ。$p\ne a$、$p\ne b$ なので積は $0$ ではなく、線分上にないことは積が負であることと同値で、2 も成り立つ。
段 2（$a>b$ のとき）。$(p-a)(b-p)=(p-b)(a-p)$ なので、式は $A$ と $B$ を入れかえても変わらない。段 1 を $b< a$ に使えばよい。$\square$

方針：$a< b$ のときに、$P$ が $A$ の手前・$A$ と $B$ の間・$B$ の先のどこにあるかで分けて、$AP$、$PB$ を絶対値なしで書く。$a>b$ のときは $A$ と $B$ を入れかえれば同じである（$AP+PB$ も $|AP-PB|$ も入れかえで変わらない）。
段 1（$a< p< b$ のとき）。$AP=p-a$、$PB=b-p$ なので
$$ AP+PB=(p-a)+(b-p)=b-a=AB,\qquad |AP-PB|=|2p-a-b| $$
である。$a< p< b$ から $2a<2p<2b$、各辺から $a+b$ を引いて $-(b-a)<2p-a-b< b-a$ なので、$|AP-PB|< AB$ である。
段 2（$p>b$ のとき）。$AP=p-a$、$PB=p-b$ なので
$$ AP-PB=(p-a)-(p-b)=b-a=AB,\qquad AP+PB=(b-a)+2(p-b)>b-a=AB $$
である（$p-b>0$）。
段 3（$p< a$ のとき）。$AP=a-p$、$PB=b-p$ なので
$$ PB-AP=(b-p)-(a-p)=b-a=AB,\qquad AP+PB=(b-a)+2(a-p)>b-a=AB $$
である（$a-p>0$）。
段 4（まとめ）。$P$ は $A$、$B$ と異なるので、段 1〜3 のどれか 1 つにあたる。$AP+PB=AB$ となるのは段 1 のときだけなので 1 が成り立つ。$|AP-PB|=AB$ となるのは段 2・段 3 のときだけ（段 1 では $|AP-PB|< AB$）なので 2 が成り立つ。$\square$

方針：比の条件 $n\cdot AP=m\cdot PB$ を $n|p-a|=m|b-p|$ と書き、lem-cdp-between で絶対値を外して $p$ の 1 次方程式にする。解いたあとで、解が本当に内分点・外分点の条件を満たすことを確かめる。
段 1（内分点の方程式）。$P(p)$ が内分点なら、$P$ は $A$、$B$ と異なり、線分 $AB$ 上にあるので、lem-cdp-between の 1 により $p-a$ と $b-p$ は同じ符号である。すると $n|p-a|=m|b-p|$ は $n(p-a)=m(b-p)$ と同値である（同じ符号の数 $u$、$v$ と正の数 $n$、$m$ について、$n|u|=m|v|$ と $nu=mv$ は同値）。
段 2（解く）。$n(p-a)=m(b-p)$ を展開して $np-na=mb-mp$、移項して $(m+n)p=na+mb$、$m+n>0$ で割って $p=\dfrac{na+mb}{m+n}$ である。内分点があれば、この値しかない。
段 3（確かめる）。$p=\dfrac{na+mb}{m+n}$ とおくと
$$ p-a=\frac{na+mb-(m+n)a}{m+n}=\frac{m(b-a)}{m+n},\qquad b-p=\frac{(m+n)b-na-mb}{m+n}=\frac{n(b-a)}{m+n} $$
である。積は $\dfrac{mn(b-a)^2}{(m+n)^2}>0$ なので、lem-cdp-between の 1 により $P$ は線分 $AB$ 上にある。また $|p-a|:|b-p|=m|b-a|:n|b-a|=m:n$ である。よって $P$ は内分点で、1 が示された。
段 4（外分点）。$P$ が外分点なら、lem-cdp-between の 2 により $p-a$ と $b-p$ は異なる符号なので、$n|p-a|=m|b-p|$ は $n(p-a)=-m(b-p)$ と同値である。展開すると $np-na=-mb+mp$、移項して $(n-m)p=na-mb$、$m\ne n$ なので $p=\dfrac{na-mb}{n-m}=\dfrac{-na+mb}{m-n}$ である。
段 5（確かめる）。この $p$ について、段 3 と同じ計算で
$$ p-a=\frac{m(b-a)}{m-n},\qquad b-p=\frac{-n(b-a)}{m-n} $$
となる。積は $-\dfrac{mn(b-a)^2}{(m-n)^2}<0$ なので $P$ は線分の外にあり、$|p-a|:|b-p|=m:n$ である。よって $P$ は外分点で、2 が示された。$\square$

方針：$x$ 座標について示す（$y$ 座標は $y$ 軸に移して同じように示せる）。内分点 $P$ について書き、外分点も同じ手順で示せることを最後に述べる。
段 1（$x_1\ne x_2$ のとき、垂線を下ろす）。$A$、$P$、$B$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、その足を $A'(x_1)$、$P'(p)$、$B'(x_2)$ とする。3 本の垂線は互いに平行である。$x_1\ne x_2$ なので直線 $AB$ は垂線と平行でなく、3 本の垂線は直線 $AB$ と $x$ 軸の両方に交わる。
段 2（比と位置が移る）。平行線と線分の比により、3 本の垂線が直線 $AB$ から切り取る線分 $AP$、$PB$、$AB$ の長さの比は、$x$ 軸から切り取る線分 $A'P'$、$P'B'$、$A'B'$ の長さの比に等しい。$P$ は線分 $AB$ を $m:n$ に内分するので、$AP:PB=m:n$ で、$P$ は線分 $AB$ 上にあるから $AB=AP+PB$ である。よって $AP:PB:AB=m:n:(m+n)$ で、
$$ A'P'=\frac m{m+n}\,A'B',\qquad P'B'=\frac n{m+n}\,A'B' $$
である。$A'B'=|x_2-x_1|>0$ なので $A'P'>0$、$P'B'>0$ で、$P'$ は $A'$、$B'$ のどちらとも異なる。さらに
$$ A'P'+P'B'=\frac{m+n}{m+n}\,A'B'=A'B' $$
なので、lem-cdp-between-length の 1 により、$P'$ は $x$ 軸上で線分 $A'B'$ 上にある。$A'P':P'B'=m:n$ と合わせて、$P'$ は線分 $A'B'$ を $m:n$ に内分する。
段 3（数直線の公式）。thm-cdp-line の 1 により $p=\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n}$ である。$P$ の $x$ 座標は $P'$ の座標 $p$ に等しいので、主張の $x$ 座標が得られた。
段 4（$x_1=x_2$ のとき）。直線 $AB$ は $y$ 軸に平行で、その上の点はすべて $x$ 座標が $x_1$ である。公式の値も $\dfrac{nx_1+mx_1}{m+n}=x_1$ で一致する。
段 5（外分点）。外分点 $P$ では、$P$ は直線 $AB$ 上で線分 $AB$ の外にあるので $AB=|AP-PB|$ である（直線 $AB$ に目盛りをつけて数直線とみなし、lem-cdp-between-length の 2 を使う）。よって $AP:PB:AB=m:n:|m-n|$ で、段 2 と同じく平行線と線分の比から
$$ A'P'=\frac m{|m-n|}\,A'B',\qquad P'B'=\frac n{|m-n|}\,A'B' $$
である。どちらも正なので $P'$ は $A'$、$B'$ と異なり、
$$ |A'P'-P'B'|=\frac{|m-n|}{|m-n|}\,A'B'=A'B' $$
である。lem-cdp-between-length の 2 により $P'$ は線分 $A'B'$ の外にあり、$A'P':P'B'=m:n$ なので、$P'$ は線分 $A'B'$ を $m:n$ に外分する。thm-cdp-line の 2 を使えば外分の式が得られる。$x_1=x_2$ のときも、公式の値は $\dfrac{-nx_1+mx_1}{m-n}=x_1$ である。$\square$

方針：prf-cdp-line の段 3・段 5 の式で $\lambda$ を計算し、それを 2 の式に代入して thm-cdp-line の式と比べる。
段 1（内分点の $\lambda$）。prf-cdp-line の段 3 により $p-a=\dfrac{m(b-a)}{m+n}$、$b-p=\dfrac{n(b-a)}{m+n}$ なので
$$ \lambda=\frac{p-a}{b-p}=\frac{m(b-a)}{n(b-a)}=\frac mn $$
である（$b-a\ne0$）。
段 2（外分点の $\lambda$）。段 5 により $p-a=\dfrac{m(b-a)}{m-n}$、$b-p=\dfrac{-n(b-a)}{m-n}$ なので
$$ \lambda=\frac{m(b-a)}{-n(b-a)}=-\frac mn $$
である。
段 3（1 つの式）。$\lambda=\pm\dfrac mn$ で、内分なら $\lambda>0$、外分なら $m\ne n$ なので、どちらも $\lambda\ne-1$ である。$\lambda=\dfrac mn$ のとき、分母・分子に $n$ を掛けて
$$ \frac{a+\frac mn b}{1+\frac mn}=\frac{na+mb}{n+m} $$
で、thm-cdp-line の 1 の座標に等しい。$\lambda=-\dfrac mn$ のとき、同じく
$$ \frac{a-\frac mn b}{1-\frac mn}=\frac{na-mb}{n-m}=\frac{-na+mb}{m-n} $$
で、thm-cdp-line の 2 の座標に等しい。$\square$

方針：(1) $\lambda$ が $-1$ にならないこと、(2) $-1$ 以外のどの $\lambda$ にも対応する点があること、(3) その点がただ 1 つであることを順に示す。
段 1（$-1$ にならない）。$\dfrac{p-a}{b-p}=-1$ とすると、分母を払って $p-a=-(b-p)=p-b$、両辺から $p$ を引いて $-a=-b$、つまり $a=b$ となり、$A\ne B$ に反する。
段 2（対応する点がある）。$\lambda\ne-1$ とし、$p=\dfrac{a+\lambda b}{1+\lambda}$ とおく。
$$ p-a=\frac{a+\lambda b-a-\lambda a}{1+\lambda}=\frac{\lambda(b-a)}{1+\lambda},\qquad b-p=\frac{b+\lambda b-a-\lambda b}{1+\lambda}=\frac{b-a}{1+\lambda} $$
である。$b-a\ne0$ なので $b-p\ne0$、つまり $p\ne b$ である。比をとると $\dfrac{p-a}{b-p}=\lambda$ である。
段 3（ただ 1 つ）。$B$ と異なる点 $P(p)$ が $\dfrac{p-a}{b-p}=\lambda$ を満たすとする。分母を払うと $p-a=\lambda(b-p)$、移項して $(1+\lambda)p=a+\lambda b$ で、$1+\lambda\ne0$ なので $p=\dfrac{a+\lambda b}{1+\lambda}$ である。$\square$

方針：中線 $AM$ を $2:1$ に内分する点の座標を計算し、それが $A$、$B$、$C$ について対称な式であることから、ほかの 2 本の中線でも同じ点になることを示す。
段 1（中点）。辺 $BC$ の中点 $M$ は、ex-cdp-plane の (1) により $M\left(\dfrac{x_2+x_3}2,\dfrac{y_2+y_3}2\right)$ である。
段 2（$2:1$ の内分点）。中線 $AM$ を $2:1$ に内分する点の $x$ 座標は、thm-cdp-plane で $m=2$、$n=1$ として
$$ \frac{1\cdot x_1+2\cdot\frac{x_2+x_3}2}{2+1}=\frac{x_1+x_2+x_3}3 $$
である。$y$ 座標も同じ計算で $\dfrac{y_1+y_2+y_3}3$ である。この点を $G$ とする。
段 3（ほかの中線）。辺 $CA$ の中点を $N$ として中線 $BN$ を $2:1$ に内分する点を段 1・段 2 と同じように計算すると、$x_1$、$x_2$、$x_3$ の役割が入れかわるだけで、$x$ 座標は $\dfrac{x_2+x_3+x_1}3$ になる。これは段 2 と同じ値である。$y$ 座標も同じである。中線 $CL$（$L$ は辺 $AB$ の中点）でも同じである。
段 4（結論）。$G$ は 3 本の中線のどれの上にもあり、それぞれを頂点の側から $2:1$ に内分する。2 本の中線は 1 点でしか交わらない（異なる 2 直線の交点は 1 つ）ので、3 本の中線は $G$ で交わる。$\square$

方針：prf-cdp-line の段 3・段 5 で求めた $p-a$、$q-a$ の式を代入する。
段 1。prf-cdp-line の段 3 により $p-a=\dfrac{m(b-a)}{m+n}$、段 5 により $q-a=\dfrac{m(b-a)}{m-n}$ である。どちらも $0$ でないので逆数がとれる。
段 2。逆数の和は
$$ \frac{m+n}{m(b-a)}+\frac{m-n}{m(b-a)}=\frac{(m+n)+(m-n)}{m(b-a)}=\frac{2m}{m(b-a)}=\frac2{b-a} $$
である。
段 3（特別な場合）。$a< b$ なら $b-a=AB>0$ である。$P$ は $A$ と $B$ の間にあるので $p-a=AP>0$ である。$m>n$ なら $q-a=\dfrac{m(b-a)}{m-n}>0$ なので $q-a=AQ$ である。代入して $\dfrac1{AP}+\dfrac1{AQ}=\dfrac2{AB}$ を得る。$\square$