Schubert多様体
概要
Schubert多様体（Schubert variety）とは、代数閉体上の Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ の中で、旗 $F_\bullet$ と $k\times(n-k)$ の長方形に収まる Young 図形 $\lambda$ を固定し、$\dim(W\cap F_{n-k+i-\lambda_i})\ge i$（$i=1,\dots,k$）をみたす部分空間 $W$ の全体として定まる閉部分多様体である。これは Schubert 胞体の閉包であり、$\lambda$ を含む図形の胞体の和に分かれ、既約で次元は $k(n-k)-\lvert\lambda\rvert$ である。上三角行列の群で保たれる既約閉集合はちょうど Schubert 多様体であり、Schubert 多様体は一般には特異点をもつ。
前提知識: Grassmann多様体, Schubert胞体, Young図形, 旗多様体
Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ の点は $K^n$ の $k$ 次元部分空間 $W$ である。旗 $F_1\subset F_2\subset\cdots\subset F_n=K^n$ を 1 つ固定し、「$W$ が $F_j$ と少なくとも何次元で交わるか」という条件を課すと、閉部分多様体が得られる。これが Schubert 多様体である。たとえば $\mathbb{P}^3$ の直線の全体 $\operatorname{Gr}(2,K^4)$ の中で「与えられた直線と交わる直線の全体」は Schubert 多様体であり、数え上げ幾何の条件はこうした多様体の交わりとして表される。
Schubert 多様体は Schubert 胞体（アフィン空間）の閉包であり、より小さい胞体の和に分かれる。この胞体の分解から、Schubert 多様体の既約性・次元・包含関係が Young 図形の言葉で読める。一方、Schubert 多様体は一般には特異点をもつ。
| 問い | この記事の答え |
|---|---|
| 何で決まるか | 旗 $F_\bullet$ と、$k\times(n-k)$ の長方形に収まる Young 図形 $\lambda$（def-schv-main） |
| どんな形か | $\lambda$ を含む図形 $\mu$ の胞体の和で、$\lambda$ の胞体の閉包。既約で、次元は $k(n-k)-\lvert\lambda\rvert$（thm-schv-main） |
| 包含関係は | $X_\mu\subset X_\lambda$ と $\mu\supset\lambda$ は同値（thm-schv-main の 3） |
| どう特徴づけられるか | 上三角行列の群で保たれる既約閉集合はちょうど Schubert 多様体（cor-schv-borel） |
| 非特異か | 一般にはそうでない。$\operatorname{Gr}(2,K^4)$ の「1 本の直線と交わる直線」の多様体は 1 点で特異（ex-schv-singular） |
| 旗多様体では | 置換 $w$ の Schubert 胞体の閉包で、次元は $w$ の転倒数（prop-schv-flag） |
設定と定義
この記事を通して $K$ を代数閉体、$1\le k< n$ とし、$G:=\operatorname{Gr}(k,K^n)$ を $K^n$ の $k$ 次元部分空間の Grassmann多様体 とする。$G$ は $K$ 上 $k(n-k)$ 次元の非特異な既約射影多様体である。$k$ 元部分集合 $Q\subset\{1,\dots,n\}$ に対し、$U_Q\subset G$ を、$W$ を行空間とする $k\times n$ 行列の第 $Q$ 列の部分が可逆になる $W$ の全体とする。第 $Q$ 列を単位行列にとると残りの成分が一意に決まり、それを座標として $U_Q\cong\mathbb{A}^{k(n-k)}$ であり、$U_Q$ たちは $G$ を覆う開集合である。
$K^n$ の旗 $F_\bullet$ とは部分空間の列 $F_1\subset F_2\subset\cdots\subset F_n=K^n$（$\dim F_j=j$）をいう。標準基底 $e_1,\dots,e_n$ について $E_j:=\langle e_1,\dots,e_j\rangle$ を標準の旗、$E'_j:=\langle e_{n+1-j},\dots,e_n\rangle$ を反対の旗という（$E_0=E'_0:=0$）。$B\subset\mathrm{GL}_n(K)$ を可逆な上三角行列の群とすると、$B$ はどの $E_j$ も保つ。
$\lambda$ は $k\times(n-k)$ の長方形に収まる Young図形、すなわち整数の列 $n-k\ge\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_k\ge0$ とし、$\lvert\lambda\rvert:=\sum_i\lambda_i$ と書く。図形 $\mu$ が $\lambda$ を含む（$\mu\supset\lambda$）とは、すべての $i$ で $\mu_i\ge\lambda_i$ であることをいう。
$$
p_i=p_i(\lambda):=n-k+i-\lambda_i\qquad(i=1,\dots,k)
$$
とおくと $1\le p_1< p_2< \cdots< p_k\le n$ であり、逆にこの形の列から $\lambda_i=n-k+i-p_i$ で図形が戻る。$\mu\supset\lambda$ は、すべての $i$ で $p_i(\mu)\le p_i(\lambda)$ となることと同値である。
旗 $F_\bullet$ と長方形に収まる Young 図形 $\lambda$ に対し、
$$
X_\lambda(F_\bullet):=\{W\in G\mid\dim(W\cap F_{p_i})\ge i\ \ (i=1,\dots,k)\}
$$
を被約な閉部分スキームとみたものを、$F_\bullet$ に関する $\lambda$ の Schubert 多様体（Schubert variety）という。また
$$
e_\lambda(F_\bullet):=\{W\in G\mid\dim(W\cap F_j)=\#\{i\mid p_i\le j\}\ \ (j=1,\dots,n)\}
$$
を $\lambda$ の Schubert 胞体という。
$X_\lambda(F_\bullet)$ は閉集合である。実際、$U_Q$ の上で $W$ を座標の $k\times n$ 行列 $M$ の行空間とし、$F_p$ の基底を並べた $p\times n$ 行列を $N$ とすると、$\dim(W\cap F_p)=k+p-\operatorname{rank}\binom{M}{N}$ なので、$\dim(W\cap F_p)\ge i$ は $\binom{M}{N}$ の $(k+p-i+1)$ 次の小行列式がすべて消えることと同値であり、これは座標の多項式の条件である。$\lambda$ は $W$ に課す条件の「強さ」を表し、$\lambda=0$ なら条件はなく $X_0(F_\bullet)=G$ である。標準の旗について $e_\lambda(E_\bullet)$ は、Schubert胞体 の Schubert 記号 $\sigma=(p_1,\dots,p_k)$ の胞体 $e(\sigma)$ に等しい。この記事の $\lambda$ は胞体の余次元を表す（Schubert胞体 の $\lambda(\sigma)$ は次元を表し、補図形の関係にある）。記法は Schubertカルキュラス にそろえ、そこでは $X_\lambda(F_\bullet)$ を胞体の閉包として定義している。両者が一致することが下の thm-schv-main の 2 である。
$\mathrm{GL}_n(K)$ は旗の全体に推移的に作用し、$F_\bullet=gE_\bullet$ なら、$\dim(gW\cap gE_j)=\dim(W\cap E_j)$ から
$$
X_\lambda(gE_\bullet)=g\,X_\lambda(E_\bullet),\qquad e_\lambda(gE_\bullet)=g\,e_\lambda(E_\bullet)
$$
である。$g$ は $G$ の自己同型なので、以下では標準の旗 $E_\bullet$ についてだけ調べればよい。$X_\lambda:=X_\lambda(E_\bullet)$、$e_\lambda:=e_\lambda(E_\bullet)$ と略す。
胞体
$P:=\{p_1,\dots,p_k\}$（$p_i=p_i(\lambda)$）とする。
- $W\in G$ が基底 $v_1,\dots,v_k$ で、$v_i\in E_{p_i}$ かつ $v_i$ の $e_{p_i}$ の係数が $0$ でないものをもてば、すべての $j$ で $W\cap E_j=\langle v_i\mid p_i\le j\rangle$ であり、$W\in e_\lambda$ である。
- $W\in e_\lambda$ は、$v_i=e_{p_i}+\sum_{c< p_i,\ c\notin P}a_{ic}e_c$ の形の基底をただ 1 組もつ。
- したがって $e_\lambda\subset U_P$ であり、$U_P$ の座標 $a_{ic}$（$c\notin P$）で $e_\lambda$ は線型部分空間 $\{a_{ic}=0\ (c>p_i)\}$ に一致し、$e_\lambda\cong\mathbb{A}^{k(n-k)-\lvert\lambda\rvert}$ である。
要点：最後の $0$ でない成分の位置で元を分類し、掃き出しで基底を一意に正規化する。
証明を開く
1：$0\ne w=\sum_ic_iv_i$ をとり、$c_i\ne0$ となる最大の $i$ を $i_0$ とする。$i< i_0$ では $v_i\in E_{p_i}\subset E_{p_{i_0}-1}$ なので、$w$ の $e_{p_{i_0}}$ の係数は $c_{i_0}$ と $v_{i_0}$ のその係数の積で $0$ でなく、$w\in E_{p_{i_0}}\setminus E_{p_{i_0}-1}$ である。とくに $v_i$ は一次独立で、$w\in E_j$ と「$p_i>j$ なら $c_i=0$」は同値である。よって $W\cap E_j=\langle v_i\mid p_i\le j\rangle$ で、その次元は $\#\{i\mid p_i\le j\}$ である。
2：$W\in e_\lambda$ なら $\dim(W\cap E_{p_i})=i$、$\dim(W\cap E_{p_i-1})=i-1$ なので、$W\cap E_{p_i}$ の元 $u_i$ で $e_{p_i}$ の係数が $1$ のものがとれる。$i=1,2,\dots$ の順に、すでに作った $v_l$（$l< i$。$e_{p_m}$（$m\ne l$）の係数は $0$）の倍数を $u_i$ から引いて、$e_{p_l}$（$l< i$）の係数を $0$ にしたものを $v_i$ とする。$v_i\in E_{p_i}$ なので $c>p_i$ の係数も $0$ であり、主張の形になる。1 により $v_i$ は $W$ の基底である。一意性：2 組の基底の差 $v_i-v'_i$ は $W$ の元で、すべての $e_{p_l}$ の係数が $0$ である。1 の議論により $W$ の $0$ でない元は $e_{p_{i_0}}$ の係数が $0$ でないので、$v_i=v'_i$ である。
3：2 の基底を並べた行列は第 $P$ 列が単位行列なので $W\in U_P$ であり、座標は $a_{ic}$、$c>p_i$ では $0$ である。逆にこの線型部分空間の点は 1 により $e_\lambda$ に属する。自由な座標 $a_{ic}$（$c< p_i$、$c\notin P$）は第 $i$ 行に $(p_i-1)-(i-1)=n-k-\lambda_i$ 個あり、合計は $k(n-k)-\lvert\lambda\rvert$ である。$\square$
$W_\lambda:=\langle e_{p_1},\dots,e_{p_k}\rangle$ とおくと $W_\lambda\in e_\lambda$ であり、$e_\lambda=B\cdot W_\lambda$ である。
$W_\lambda\in e_\lambda$ は lem-schv-echelon の 1 による。$B$ は各 $E_j$ を保つので $e_\lambda$ を保ち、$B\cdot W_\lambda\subset e_\lambda$ である。逆に $W\in e_\lambda$ の lem-schv-echelon の 2 の基底 $v_i$ について、$be_{p_i}:=v_i$、$be_c:=e_c$（$c\notin P$）と定めると、$v_i-e_{p_i}\in E_{p_i-1}$ なので $b$ は対角成分が $1$ の上三角行列で、$b\in B$、$bW_\lambda=W$ である。$\square$
主定理
長方形に収まる Young 図形 $\lambda$ について次が成り立つ。
- $X_\lambda$ は、$\mu\supset\lambda$ となる長方形に収まる図形 $\mu$ の胞体 $e_\mu$ の、互いに交わらない和である。
- $X_\lambda$ は $e_\lambda$ の Zariski 閉包に等しい。$X_\lambda$ は既約で、$P:=\{p_1(\lambda),\dots,p_k(\lambda)\}$ について $e_\lambda=X_\lambda\cap U_P$ は $X_\lambda$ の稠密な開集合であり、$\dim X_\lambda=k(n-k)-\lvert\lambda\rvert$ である。
- 長方形に収まる図形 $\lambda,\mu$ について、$X_\mu\subset X_\lambda$ と $\mu\supset\lambda$ は同値である。
旗 $F_\bullet$ について、$X_\lambda(F_\bullet)$ と $e_\lambda(F_\bullet)$ についても同じことが成り立つ。
1：$W\in G$ について、$j\mapsto\dim(W\cap E_j)$ は $0$ から $k$ まで $1$ ずつ $k$ 回増える（Schubert胞体 の補題「跳びの列」）。増える番号を $q_1< \cdots< q_k$ とし、$\mu_i:=n-k+i-q_i$ とおくと $\mu$ は長方形に収まる図形で、$W\in e_\mu$ である。$W$ は $q$ から一意に決まる $\mu$ の胞体にだけ属するので、胞体は互いに交わらず $G$ を覆う。さらに $\dim(W\cap E_j)\ge i$ は $q_i\le j$ と同値である（Schubert胞体 の定義「Schubert 記号と Schubert 胞体」の後の同値 (1)）。したがって
$$
W\in X_\lambda\iff q_i\le p_i(\lambda)\ (i=1,\dots,k)\iff\mu\supset\lambda
$$
である。
2：$X_\lambda$ は $e_\lambda$ を含む閉集合なので $\overline{e_\lambda}\subset X_\lambda$ である。逆を示すため、$\mu\supset\lambda$ とし、$q_i:=p_i(\mu)\le p_i:=p_i(\lambda)$ とおく。$t\in\mathbb{A}^1$ について、第 $i$ 行を
$$
u_i(t):=\begin{cases}e_{q_i}+t\,e_{p_i}&(q_i< p_i)\\ e_{p_i}&(q_i=p_i)\end{cases}
$$
とする $k\times n$ 行列 $M(t)$ を考える。$t=0$ では行は相異なる $e_{q_i}$ なので階数 $k$ であり、$t\ne0$ では $u_i(t)\in E_{p_i}$ の $e_{p_i}$ の係数が $0$ でないので、lem-schv-echelon の 1 により階数 $k$ で、行空間は $e_\lambda$ に属する。$M(t)$ の $k$ 次小行列式は $t$ の多項式で、どの $t$ でも同時には消えないので、$t\mapsto(M(t)\text{ の行空間})$ は射 $\varphi\colon\mathbb{A}^1\to G$ である。$\varphi^{-1}(\overline{e_\lambda})$ は $\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ を含む閉集合なので $\mathbb{A}^1$ 全体であり、$W_\mu=\varphi(0)\in\overline{e_\lambda}$ である。$B$ は $G$ の自己同型として $e_\lambda$ を保つので $\overline{e_\lambda}$ も保ち、lem-schv-orbit により $e_\mu=B\cdot W_\mu\subset\overline{e_\lambda}$ である。1 と合わせて $X_\lambda\subset\overline{e_\lambda}$ を得る。
$e_\lambda\cong\mathbb{A}^{k(n-k)-\lvert\lambda\rvert}$ は既約なので、その閉包 $X_\lambda$ も既約である。$e_\lambda$ は lem-schv-echelon の 3 により $U_P$ の閉集合なので、$X_\lambda\cap U_P=\overline{e_\lambda}\cap U_P=e_\lambda$ である。ゆえに $e_\lambda=X_\lambda\cap U_P$ は $X_\lambda$ の空でない開集合で、既約な $X_\lambda$ の中で稠密である。次元は、多様体の次元が空でない開集合の座標環の次元、すなわち関数体の超越次数に等しいこと（Stacks Tag 00P0）から、$\dim X_\lambda=\dim e_\lambda=k(n-k)-\lvert\lambda\rvert$ である。
3：$\mu\supset\lambda$ なら、1 により $X_\mu$ の胞体 $e_\nu$（$\nu\supset\mu$）はどれも $\nu\supset\lambda$ を満たし、$X_\mu\subset X_\lambda$ である。逆に $X_\mu\subset X_\lambda$ なら $W_\mu\in e_\mu\subset X_\lambda$ であり、1 により $\mu\supset\lambda$ である。
一般の旗には、$F_\bullet=gE_\bullet$ となる $g\in\mathrm{GL}_n(K)$ の作用で移せばよい。$\square$
2 の証明の射 $\varphi$ は、$e_\lambda$ の中の点 $\varphi(t)$ を $t\to0$ で $e_\mu$ の点 $W_\mu$ へ退化させている。Schubert胞体 の注意「Schubert 多様体と Schubert 計算」は $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ で同じ曲線を使って古典位相の閉包を求めており、上の証明はその Zariski 位相版である。1 と 3 から、$\lambda$ を含む図形の全体が $X_\lambda$ に含まれる胞体を表し、図形の包含の順序が Schubert 多様体の包含の順序になる。
$Y\subset G$ を空でない既約な閉集合で、$B$ の作用で保たれるものとする。このとき $Y=X_\lambda$ となる長方形に収まる図形 $\lambda$ がただ 1 つ存在する。
lem-schv-orbit により各胞体は 1 つの $B$ 軌道であり、thm-schv-main の 1 により胞体は $G$ を互いに交わらずに覆う。$Y$ は $B$ で保たれるので、$Y$ と交わる胞体 $e_\mu$ は $Y$ に含まれ、$Y$ はそれら有限個の胞体の和である。$Y$ は閉なので $Y=\bigcup_\mu\overline{e_\mu}=\bigcup_\mu X_\mu$（thm-schv-main の 2）であり、$Y$ は既約なので、ある $\mu=\lambda$ について $Y=X_\lambda$ である。一意性：$X_\lambda=X_\mu$ なら thm-schv-main の 3 により $\lambda\supset\mu\supset\lambda$ である。$\square$
$B$ は標準の旗 $E_\bullet$ の固定部分群なので、cor-schv-borel は「旗 $E_\bullet$ に対する相対的な位置だけで決まる既約閉集合は Schubert 多様体に限る」ということである。
例
$k=1$ のとき $G=\mathbb{P}^{n-1}$ であり、図形は $\lambda=(a)$（$0\le a\le n-1$）、$p_1=n-a$ である。条件は $\dim(W\cap F_{n-a})\ge1$、すなわち直線 $W$ が $F_{n-a}$ に含まれることなので、
$$
X_{(a)}(F_\bullet)=\mathbb{P}(F_{n-a})\cong\mathbb{P}^{n-1-a}
$$
は線型部分空間である。胞体 $e_{(a)}$ は $\mathbb{P}(F_{n-a})\setminus\mathbb{P}(F_{n-a-1})\cong\mathbb{A}^{n-1-a}$ で、thm-schv-main の 1 は $\mathbb{P}(F_{n-a})=\bigsqcup_{b\ge a}e_{(b)}$ という射影空間の通常の分解である。この場合の Schubert 多様体はどれも非特異である。
$k=2$、$n=4$ とすると $G=\operatorname{Gr}(2,K^4)$ は $\mathbb{P}^3$ の直線の全体で、$\mathbb{P}(W)$ を直線、$\mathbb{P}(E_1)$ を点、$\mathbb{P}(E_2)$ を直線、$\mathbb{P}(E_3)$ を平面とみる。$p_1=3-\lambda_1$、$p_2=4-\lambda_2$ から条件を読むと次のようになる。
| $\lambda$ | $(p_1,p_2)$ | $X_\lambda$ の条件 | 次元 |
|---|---|---|---|
| $(0,0)$ | $(3,4)$ | なし（$G$ 全体） | $4$ |
| $(1,0)$ | $(2,4)$ | $W\cap E_2\ne0$：直線 $\mathbb{P}(E_2)$ と交わる | $3$ |
| $(2,0)$ | $(1,4)$ | $E_1\subset W$：点 $\mathbb{P}(E_1)$ を通る | $2$ |
| $(1,1)$ | $(2,3)$ | $W\subset E_3$：平面 $\mathbb{P}(E_3)$ に含まれる | $2$ |
| $(2,1)$ | $(1,3)$ | $E_1\subset W\subset E_3$ | $1$ |
| $(2,2)$ | $(1,2)$ | $W=E_2$ | $0$ |
（$(1,1)$ の行は $\dim(W\cap E_2)\ge1$ と $\dim(W\cap E_3)\ge2$ で、後者が前者を含む。）thm-schv-main の 3 により包含関係は $X_{(0,0)}\supset X_{(1,0)}\supset X_{(2,0)},X_{(1,1)}\supset X_{(2,1)}\supset X_{(2,2)}$ であり、$X_{(2,0)}$ と $X_{(1,1)}$ はどちらも他方に含まれない（図形 $(2,0)$ と $(1,1)$ はどちらも他方を含まない）。幾何的にも、点 $\mathbb{P}(E_1)$ を通る直線が平面 $\mathbb{P}(E_3)$ に含まれるとは限らず、その逆も成り立たない。
ex-schv-gr24 の $X:=X_{(1,0)}=\{W\in\operatorname{Gr}(2,K^4)\mid W\cap E_2\ne0\}$ の特異点の集合は 1 点 $\{E_2\}=X_{(2,2)}$ である。
$U_{\{1,2\}}$ の点 $W$ を行列 $\begin{pmatrix}1&0&a&b\\0&1&c&d\end{pmatrix}$ の行空間とする。$W\cap E_2\ne0$ は、$(s,t)\ne(0,0)$ で $s(a,b)+t(c,d)=0$ となるものがあること、すなわち $ad-bc=0$ と同値である。よって $X\cap U_{\{1,2\}}$ は集合として $\mathbb{A}^4$ の超曲面 $V(ad-bc)$ である。$ad-bc$ は $K[b,c,d][a]$ の 1 次式で、係数 $d$ と定数項 $-bc$ は共通因子をもたないので既約であり（Gauss の補題）、 $(ad-bc)$ は素イデアルであり、被約な構造の定義イデアルは $(ad-bc)$ である。
原点 $E_2$ では $ad-bc$ は極大イデアルの 2 乗に属するので、Zariski 接空間は $4$ 次元で、$\dim X=3$ より大きい。よって $X$ は $E_2$ で非特異でない。原点以外の点では勾配 $(d,-c,-b,a)$ が $0$ でないので、Jacobi の判定法により $X$ は非特異である（Har77 I, Theorem 5.1, p. 32）。
$U_{\{1,2\}}$ の外の点：$X$ の特異点の集合 $\operatorname{Sing}X$ は閉集合であり（Har77 I, Theorem 5.3, p. 33）、$B$ は $X$ の自己同型として作用するので $B$ で保たれる。cor-schv-borel の証明と同じく、$\operatorname{Sing}X$ は胞体 $e_\mu$（$\mu\supset(1,0)$）の和で、各 $\overline{e_\mu}=X_\mu$ を含む。$\operatorname{Sing}X$ が $e_{(2,2)}=\{E_2\}$ 以外の胞体 $e_\mu$ を含むとすると、$\mu\in\{(1,0),(2,0),(1,1),(2,1)\}$ はどれも $(2,1)$ に含まれるので $\operatorname{Sing}X\supset X_\mu\supset X_{(2,1)}$ である。ところが $X_{(2,1)}$ の点 $W=\langle e_1,\,e_2+e_3\rangle$ は $U_{\{1,2\}}$ の $(a,b,c,d)=(0,0,1,0)$ で原点でなく、上で見たように非特異点である。これは矛盾なので、$\operatorname{Sing}X=\{E_2\}$ である。
$\operatorname{Gr}(2,K^4)$ は非特異なので、この例は「非特異な多様体の Schubert 多様体は非特異」という含意が成り立たないことを示す。$X$ は「与えられた直線 $\mathbb{P}(E_2)$ と交わる直線」の全体で、$\mathbb{P}(E_2)$ 自身だけが特別な点になっている。
旗多様体の Schubert 多様体
完全旗の全体 $\operatorname{Fl}_n$（旗多様体）でも同じ構成ができる。$S_n$ の元 $w$ に対し、置換行列 $e_a\mapsto e_{w(a)}$ も同じ記号で書き、座標旗 $wE_\bullet$ を $(wE)_i=\langle e_{w(1)},\dots,e_{w(i)}\rangle$ とする。$\ell(w):=\#\{(a,b)\mid a< b,\ w(a)>w(b)\}$ を $w$ の転倒数という。
$w\in S_n$ に対し $C_w:=B\cdot wE_\bullet\subset\operatorname{Fl}_n$ を Schubert 胞体、その Zariski 閉包 $X_w:=\overline{C_w}$ を（被約な閉部分スキームとみて）$w$ の Schubert 多様体という。
旗多様体 の定理「Bruhat 分解」により、$\operatorname{Fl}_n$ は $C_w$（$w\in S_n$）の互いに交わらない和で、$C_w$ は局所閉集合で $\mathbb{A}^{\ell(w)}$ に同型である（FH91 §23.4, Theorem 23.59 と Corollary 23.60 とその後の段落、pp. 396–397）。
$X_w$ は既約な閉部分多様体で、$B$ で保たれ、次元は $\ell(w)$ である。$C_w$ は $X_w$ の稠密な開集合であり、$X_w$ は有限個の Schubert 胞体 $C_v$ の和である。
$C_w\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}$ は既約なので、閉包 $X_w$ も既約である。$C_w$ は局所閉なので閉包の中で開集合であり、thm-schv-main の証明と同じく $\dim X_w=\dim C_w=\ell(w)$ である（Stacks Tag 00P0）。$B$ は $\operatorname{Fl}_n$ の自己同型として $C_w$ を保つので $X_w$ も保つ。各 $C_v=B\cdot vE_\bullet$ は 1 つの $B$ 軌道で、$C_v$ たちは $\operatorname{Fl}_n$ を互いに交わらずに覆うので、$X_w$ は $X_w$ と交わる $C_v$ の和である。$\square$
どの $C_v$ が $X_w$ に含まれるかは Bruhat 順序 $v\le w$ で決まる（旗多様体 の定理「Bruhat 分解」の 3、Bruhat順序）。
$n=3$ とし、完全旗を $V_1\subset V_2\subset K^3$ と書く。旗多様体 の例「3 次元の旗多様体の Schubert 胞体」の胞体の記述から、6 つの Schubert 多様体は次のとおりである（$w$ は 1 行記法）。
| $w$ | $\ell(w)$ | $X_w$ |
|---|---|---|
| $123$ | $0$ | 1 点 $\{E_\bullet\}$ |
| $132$ | $1$ | $\{V_1=E_1\}\cong\mathbb{P}^1$ |
| $213$ | $1$ | $\{V_2=E_2\}\cong\mathbb{P}^1$ |
| $231$ | $2$ | $\{V_1\subset E_2\}$ |
| $312$ | $2$ | $\{E_1\subset V_2\}$ |
| $321$ | $3$ | $\operatorname{Fl}_3$ 全体 |
表の各行は胞体の次元と閉集合の包含から確かめられる。
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$w=231$ の行を確かめる。$Y:=\{V_1\subset E_2\}$ は閉集合で、$V_1\in\mathbb{P}(E_2)\cong\mathbb{P}^1$ を決めると $V_2$ は $K^3/V_1$ の直線として $\mathbb{P}^1$ を動くので、$Y$ は $\mathbb{P}^1$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束（旗多様体 の例「3 次元の旗多様体」の $\mathbb{P}^1$ 束 $\operatorname{Fl}_3\to\mathbb{P}^2$ を直線 $\mathbb{P}(E_2)$ に制限したもの）で、既約な 2 次元の閉集合である。$C_{231}$ は「$V_1\not\subset E_1$、$V_1\subset E_2$、$V_2\ne E_2$」の旗の全体で $Y$ に含まれ、2 次元である。既約な 2 次元の閉集合 $Y$ の中の 2 次元の既約閉集合 $X_{231}$ は $Y$ に一致する。ほかの行も同じ方法による：$\{V_1=E_1\}\cong\mathbb{P}(K^3/E_1)$ は $C_{132}$（$V_1=E_1$、$V_2\ne E_2$）を含み、$\{V_2=E_2\}\cong\mathbb{P}(E_2)$ は $C_{213}$（$V_2=E_2$、$V_1\ne E_1$）を含み、$\{E_1\subset V_2\}$ は「$E_1$ を含む平面 $V_2$（$\mathbb{P}^1$ をなす）と $V_1\in\mathbb{P}(V_2)$」の組として既約な 2 次元の閉集合で、$C_{312}$（$V_1\not\subset E_2$、$V_2\ni e_1$）を含む。表から $X_{132}$ と $X_{213}$ はどちらも $X_{231}$ と $X_{312}$ の両方に含まれ、これは $S_3$ の Bruhat 順序と一致する。また $X_{231}\cap X_{312}=\{V_1\subset E_2,\ E_1\subset V_2\}$ は、$V_1=E_1$ のときと、$V_1\ne E_1$ で $V_2=V_1+E_1=E_2$ となるときに分かれ、$X_{132}\cup X_{213}$ に等しい。2 つの Schubert 多様体の交わりは、一般には 1 つの Schubert 多様体にならない。
Schubert 類
$G$ の Schubert 多様体の類 $\sigma_\lambda:=[X_\lambda(F_\bullet)]\in CH^{\lvert\lambda\rvert}(G)$ は旗 $F_\bullet$ によらず、$\lambda$ を動かすと Chow 環 $CH^*(G)$ の $\mathbb{Z}$ 基底をなす。標準の旗と反対の旗に関する $X_\lambda(E_\bullet)$ と $X_{\lambda^\vee}(E'_\bullet)$（$\lambda^\vee$ は長方形の中の補図形）は 1 点で横断的に交わり、これが基底の双対性を与える。これらの証明と、積の規則（Pieri の公式・Littlewood–Richardson 係数）は Schubertカルキュラス の補題「類は旗によらない」、定理「双対性」「Schubert類による基底」「Pieriの公式」にある。旗多様体の Schubert 多様体の類も Chow 環の基底をなし（旗多様体 の注意「胞体分解からの別証と Chow 環」）、それを多項式で表すのが Schubert多項式 である。
条件を変えた反例
| 変えたこと | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 全体の多様体 $G$ の非特異性を Schubert 多様体へ移す | $\operatorname{Gr}(2,K^4)$ の $X_{(1,0)}$ | Schubert 多様体が非特異であること（$E_2$ で特異） |
| cor-schv-borel の「既約」を外す | $\operatorname{Gr}(2,K^4)$ の $X_{(2,0)}\cup X_{(1,1)}$ | 1 つの Schubert 多様体 $X_\lambda$ であること |
| cor-schv-borel の「$B$ で保たれる」を対角行列の群 $T$ で保たれることに弱める | $\operatorname{Gr}(2,K^4)$ の $X_{(1,0)}(E'_\bullet)$ | 標準の旗に関する Schubert 多様体 $X_\lambda$ であること |
各行は左の列の 1 か所だけを変えている。
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1 行目は ex-schv-singular である。
2 行目：$Y:=X_{(2,0)}\cup X_{(1,1)}$ は $B$ で保たれる閉集合である。thm-schv-main の 3 により $X_{(2,0)}$ と $X_{(1,1)}$ はどちらも他方に含まれないので、$Y$ は既約でない。Schubert 多様体は既約なので（thm-schv-main の 2）、$Y$ はどの $X_\lambda$ とも等しくない。
3 行目：$Y:=X_{(1,0)}(E'_\bullet)=\{W\mid W\cap E'_2\ne0\}$、$E'_2=\langle e_3,e_4\rangle$ とする。対角行列は $E'_2$ を保つので $Y$ は $T$ で保たれ、$Y=w_0X_{(1,0)}$（$w_0$ は座標を逆順にする置換行列）なので既約な 3 次元の閉集合である。$Y=X_\lambda$ となる $\lambda$ があれば、次元から $\lvert\lambda\rvert=1$、すなわち $\lambda=(1,0)$ である。ところが $E_2=\langle e_1,e_2\rangle$ は $E_2\cap E_2\ne0$ なので $X_{(1,0)}$ に属するが、$E_2\cap E'_2=0$ なので $Y$ に属さない。よって $Y$ は標準の旗に関するどの Schubert 多様体とも等しくない（反対の旗に関する Schubert 多様体ではある）。
関連項目
- 前提: Grassmann多様体, Schubert胞体, Young図形, 旗多様体
- 使い所: Schubertカルキュラス, 数え上げ幾何学, Chow環
- 比較: Bruhat分解, Bruhat順序, Schubert多項式
- 道具: Chowの移動補題, Kleimanの横断性定理
参考文献
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