積分で定める内積

$\vec a=(1,2,2)$、$\vec b=(2,-1,0)$、$\vec c=(2,1,-1)$ とする。

1. 長さ：$|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a=1^2+2^2+2^2=9$ なので $|\vec a|=3$ である。同じく $|\vec b|^2=2^2+(-1)^2+0^2=5$ である。
2. 垂直：$\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot0=0$ なので $\vec a\perp\vec b$ である。
3. 垂直でない例：$\vec a\cdot\vec c=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-1)=2$ は $0$ でないので、$\vec a$ と $\vec c$ は垂直でない。

ex-ipf-vector の $\vec a,\vec b$ は垂直である。和 $\vec a+\vec b=(3,1,2)$ の長さの 2 乗を成分で計算すると
$$ |\vec a+\vec b|^2=3^2+1^2+2^2=14 $$
であり、$|\vec a|^2+|\vec b|^2=9+5=14$ に等しい。これは、$\vec a$ と $\vec b$ を 2 辺とする直角三角形でのピタゴラスの定理である。内積の分配法則で展開すると
$$ |\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 $$
となり、$\vec a\cdot\vec b=0$ なので真ん中の項が消える。これが「垂直ならピタゴラスの定理が成り立つ」理由である。

$\mathbb{R}^n$ で $\langle a,b\rangle:=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$ と定める。

1. 線形性：$\langle sa+tb,c\rangle=\sum_i(sa_i+tb_i)c_i=s\sum_ia_ic_i+t\sum_ib_ic_i=s\langle a,c\rangle+t\langle b,c\rangle$。
2. 対称性：$a_ib_i=b_ia_i$ なので $\langle a,b\rangle=\langle b,a\rangle$。
3. 正定値性：$\langle a,a\rangle=a_1^2+\cdots+a_n^2$ は 2 乗の和なので $0$ 以上である。これが $0$ なら、$0$ 以上の数の和が $0$ なので各 $a_i^2$ が $0$、すなわち $a=0$ である。
   $n=3$ が高校の空間ベクトルの内積である。数値で 1 を確かめると、$a=(1,2,2)$、$b=(2,-1,0)$、$c=(2,1,-1)$、$s=2$、$t=3$ のとき $2a+3b=(8,1,4)$ で $\langle 2a+3b,c\rangle=16+1-4=13$、一方 $2\langle a,c\rangle+3\langle b,c\rangle=2\cdot2+3\cdot3=13$ である。

区間 $[0,1]$ で計算する。

1. $\langle1,x\rangle=\int_0^1x\,dx=\frac12$。$0$ でないので、$1$ と $x$ は $[0,1]$ では直交しない。
2. $\|1\|^2=\int_0^11\,dx=1$、$\|x\|^2=\int_0^1x^2\,dx=\frac13$。
3. $\langle x,x^2\rangle=\int_0^1x^3\,dx=\frac14$、$\|x^2\|^2=\int_0^1x^4\,dx=\frac15$。
4. $g(x):=x-\frac12$ とすると $\langle1,g\rangle=\int_0^1\bigl(x-\frac12\bigr)dx=\frac12-\frac12=0$ なので、$1$ と $x-\frac12$ は直交する。

ex-ipf-unit-interval の 4 で、$1$ と $g(x)=x-\frac12$ は $[0,1]$ で直交した。$\|g\|^2=\int_0^1\bigl(x-\frac12\bigr)^2dx=\Bigl[\frac13\bigl(x-\frac12\bigr)^3\Bigr]_0^1=\frac13\Bigl(\frac18+\frac18\Bigr)=\frac1{12}$ である。和 $1+g$ は $x+\frac12$ なので
$$ \|1+g\|^2=\int_0^1\Bigl(x+\frac12\Bigr)^2dx=\Bigl[\frac13\Bigl(x+\frac12\Bigr)^3\Bigr]_0^1=\frac13\Bigl(\frac{27}8-\frac18\Bigr)=\frac{13}{12} $$
であり、$\|1\|^2+\|g\|^2=1+\frac1{12}=\frac{13}{12}$ と一致する。prop-ipf-expand の 2 が関数でも成り立っている（ただし、関数の内積が内積であることは thm-ipf-is-inner-product で示す）。

区間 $[-\pi,\pi]$ で計算する。

1. $\|1\|^2=\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi$。
2. $\|x\|^2=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\pi^3}3-\Bigl(-\frac{\pi^3}3\Bigr)=\frac{2\pi^3}3$。
3. $\langle1,x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\pi^2}2-\frac{\pi^2}2=0$。したがって $1$ と $x$ は $[-\pi,\pi]$ で直交する。
4. $\langle x,x^2\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}x^3\,dx=\Bigl[\frac{x^4}4\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$。$x$ と $x^2$ も直交する。
   1 と 3 と比べると、$[0,1]$ では直交しなかった $1$ と $x$ が、$[-\pi,\pi]$ では直交する。直交するかどうかは区間による。

prop-ipf-even-odd により、区間 $[-\pi,\pi]$ で次の組はすべて直交する。

1. $\cos x$（偶）と $x$（奇）：$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx=0$（図 1）。
2. $x^2$（偶）と $\sin x$（奇）：$\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin x\,dx=0$。
3. $1$（偶）と $x^3$（奇）：$\int_{-\pi}^{\pi}x^3\,dx=0$。
   逆に、奇関数どうしは直交するとは限らない。$x$ と $\sin x$ はどちらも奇関数だが、部分積分で
   $$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx=\bigl(-\pi\cos\pi\bigr)-\bigl(\pi\cos(-\pi)\bigr)+0=\pi+\pi=2\pi $$
   となり、$0$ でない。

区間 $[0,1]$ と $f(x)=x$ で段 5 をたどる。$c=1$ とすると $m=|f(1)|=1$ である。

1. (a)：$\delta=\frac12$ とすると、$x\in[0,1]$、$|x-1|<\frac12$ ならば $|f(x)-f(1)|=1-x<\frac12$ である。$\delta=\frac12\le1=q-p$ も満たす。
2. (b)：そのような $x$ は $x>\frac12$ なので、$f(x)^2=x^2>\frac14=\frac{m^2}4$ である。
3. (c)(d)：$\alpha=\max\bigl(0,\frac34\bigr)=\frac34$、$\beta=\min\bigl(1,\frac54\bigr)=1$、幅は $\frac14=\frac\delta2$ である。
4. (e)：証明の下からの評価は $\frac{m^2}4\cdot\frac\delta2=\frac14\cdot\frac14=\frac1{16}$ である。実際の値は $\int_{3/4}^1x^2\,dx=\frac{37}{192}=0.192\ldots$、全体では $\langle f,f\rangle=\frac13$ であり、確かに $\frac13\ge\frac{37}{192}\ge\frac1{16}>0$ となっている。

半径 $1$ の球面上に $n$ 個の点をとる。そのうちの 2 点を結ぶ線分は $\frac{n(n-1)}2$ 本ある。これらの線分の長さの 2 乗をすべて足すと、$n^2$ 以下であることを示せ。
出典：第 29 回 Putnam 数学競技会（北米の大学生向けの競技会、1968 年）問題 A4（Kal68）。問題文は本記事の言葉で述べた。
小さな $n$ で確かめる。

1. $n=2$：北極 $(0,0,1)$ と南極 $(0,0,-1)$ の距離は $2$ で、2 乗は $4=2^2$ である。
2. $n=3$：赤道上の正三角形の 3 頂点では、1 辺の長さは $\sqrt3$ で、2 乗の和は $3+3+3=9=3^2$ である。
3. $n=3$：$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ では、どの 2 点の距離の 2 乗も $1+1=2$ で、和は $6$ であり $9$ より小さい。
4. $n=4$：正四面体の 4 頂点 $\frac1{\sqrt3}(1,1,1)$、$\frac1{\sqrt3}(1,-1,-1)$、$\frac1{\sqrt3}(-1,1,-1)$、$\frac1{\sqrt3}(-1,-1,1)$ では、どの 2 点の距離の 2 乗も $\frac13(2^2+2^2+0^2)=\frac83$ で、6 本の和は $16=4^2$ である。

1. 区間を半分にした「内積」：$C([-\pi,\pi])$ で $\langle f,g\rangle':=\int_0^{\pi}f(x)g(x)\,dx$ とする。線形性・対称性・$\langle f,f\rangle'\ge0$ は thm-ipf-is-inner-product の段 2〜4 と同じ理由で成り立つ。しかし $f(x):=\max(-x,0)$（$x\le0$ で $-x$、$x\ge0$ で $0$ の連続関数）は $f(-\pi)=\pi$ なので $0$ でないのに、$[0,\pi]$ では値が $0$ なので $\langle f,f\rangle'=0$ である。正定値性の後半が成り立たない。
2. 崩れる主張：$e(x):=\frac1{\sqrt\pi}$ とすると $\langle e,e\rangle'=\int_0^\pi\frac1\pi\,dx=1$ である。$u_1:=e+f$、$u_2:=-e$ とおくと、$[0,\pi]$ では $u_1=e$ なので $\langle u_1,u_1\rangle'=\langle u_2,u_2\rangle'=1$ である。$u_1-u_2=2e+f$ から $\langle u_1-u_2,u_1-u_2\rangle'=\int_0^\pi\frac4\pi\,dx=4=2^2$ となり、prop-ipf-distance-sum の上限 $n^2$ に等しい。ところが $u_1+u_2=f\ne0$ である。「等号は $\sum u_i=0$ のときに限る」が崩れる。
3. 連続性を外す：区間 $[-\pi,\pi]$ で、$x=0$ で値 $1$、それ以外で値 $0$ をとる関数 $h$ は連続でない。$h$ は $0$ でないが、$h^2$ は 1 点を除いて $0$ なので $\int_{-\pi}^{\pi}h(x)^2\,dx=0$ である。thm-ipf-is-inner-product の段 5 は、$c=0$ の近くで $h$ が $0$ から離れていることを使ったが、$h$ ではそれが成り立たない。

$\mathbb{R}^2$ で $\langle a,b\rangle'':=a_1b_1-a_2b_2$ とする。

1. 満たす条件：線形性と対称性は、ex-ipf-standard と同じ計算で確かめられる。
2. 満たさない条件：$u=(0,1)$ で $\langle u,u\rangle''=0-1=-1<0$ なので、正定値性の前半が成り立たない。$\sqrt{-1}$ は実数でないので、$u$ の「長さ」が定まらない。
3. さらに $w=(1,1)$ は $0$ でないのに $\langle w,w\rangle''=1-1=0$ であり、正定値性の後半も成り立たない。
4. 崩れる主張：$a=(1,0)$、$b=(0,1)$ は $\langle a,b\rangle''=0$ で「直交」する。展開公式は形式的には成り立ち、$\langle a+b,a+b\rangle''=1+(-1)=0$ となるが、2 辺の「長さの 2 乗」が $1$ と $-1$、斜辺が $0$ となって、長さの定理としての意味を失う。