第1可算公理

同義語：第1可算空間

概要

前提知識: 位相空間, 近傍, 基本近傍系, 点列

定義

位相空間 $X$ の点 $x$ に対し、$x$ の近傍からなる族 $\mathcal{N}_x$ が $x$ の基本近傍系（local base）であるとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対してある $U\in\mathcal{N}_x$ が存在して $U\subseteq V$ となることをいう。

第1可算公理

位相空間 $X$ が 第1可算公理（first axiom of countability）を満たす、あるいは 第1可算空間（first-countable space）であるとは、$X$ の任意の点 $x$ に対して高々可算な基本近傍系が存在することをいう。すなわち、各 $x\in X$ について、高々可算な近傍の族 $\mathcal{N}_x=\{U_1,U_2,\dots\}$ であって、$x$ の任意の近傍 $V$ に対しある番号 $k$ が存在して $U_k\subseteq V$ となるものがとれることをいう。

条件は各点ごとに課されるので、「$X$ は点 $x$ で第1可算である」という局所的な言い方も用いる。$X$ が第1可算であるとは、$X$ のすべての点で第1可算であることにほかならない。また、基本近傍系の各元 $U_k$ は開集合にとってよく、さらに $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$ と減少するようにとれる（prop-first-countable-space-decreasing）。

直感

第1可算性は、距離が与えられていない空間でも「点 $x$ にどれだけ近いか」を可算個の段階で測れることを要求する条件である。距離空間では半径 $1/n$ の開球がその段階を与えるが、第1可算性は距離そのものを要求せず、段階の列が存在することだけを要求する。この一段階ずつ縮む近傍の列があるおかげで、閉包・連続性・コンパクト性といった位相的な概念を、番号 $n\to\infty$ で添字づけられた点列の言葉に翻訳できるようになる。

例と反例

開球からなる基本近傍系

距離空間 $(X,d)$ において $B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)< r\}$ とおくと、族 $\{B(x,1/n)\mid n\ge 1\}$ は $x$ の高々可算な基本近傍系である。実際、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し $B(x,\varepsilon)\subseteq V$ となる $\varepsilon>0$ がとれるので、$1/n<\varepsilon$ を満たす $n$ をとればよい。したがってすべての距離空間は第1可算空間である。

離散位相を入れた集合

任意の集合 $X$ に離散位相（すべての部分集合が開）を入れると、各点 $x$ について $\{\{x\}\}$ が 1 元からなる基本近傍系になるので、$X$ は第1可算空間である。$X$ が非可算のとき、この空間は第1可算だが第2可算公理を満たさない。開基の元の和集合として $\{x\}$ を表すには $\{x\}$ 自身が開基に属さねばならず、開基の濃度が $|X|$ 以上になるからである。さらに $x\neq y$ のとき $d(x,y)=1$ で定まる離散距離はこの位相を与えるので、これは距離空間でもある。

局所的にEuclid空間と同相な空間

Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ は通常の距離が定める位相を持つので第1可算である。位相多様体のように、各点が $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相な開近傍 $W$ を持つ空間 $X$ も第1可算である。実際、$x\in W$ の $W$ における（部分空間としての）高々可算な基本近傍系は、$W$ が $X$ で開であることから $X$ における基本近傍系にもなる。

可算順序数のなす順序位相の空間

可算順序数全体の集合 $\omega_1$ に順序位相を入れた空間は第1可算である。$\alpha\in\omega_1$ が $0$ または後続順序数 $\beta+1$ ならば $\{\alpha\}$ は開集合（それぞれ $[0,1)$、$(\beta,\beta+2)$）なので $\{\{\alpha\}\}$ が基本近傍系になる。$\alpha$ が極限順序数ならば $\alpha$ は可算集合なので $\sup_n\beta_n=\alpha$ を満たす狭義単調増加列 $\beta_0<\beta_1<\cdots<\alpha$ がとれ、$\alpha+1\in\omega_1$ より $(\beta_n,\alpha]=(\beta_n,\alpha+1)$ は開集合だから、$\{(\beta_n,\alpha]\mid n\ge 0\}$ が $\alpha$ の高々可算な基本近傍系になる。この空間はコンパクトでないが可算コンパクトである（可算コンパクト空間）。

反例：非可算集合上の補有限位相

$X$ を非可算集合とし、$\emptyset$ と補集合が有限であるような部分集合を開集合とする補有限位相を入れる。これは位相空間だが第1可算ではない。すなわち「位相空間 $\implies$ 第1可算」は成り立たない。破れる条件はdef-first-countable-spaceの「各点に高々可算な基本近傍系が存在する」である。この空間では点列の極限が一意でない。実際、項がすべて相異なる列 $(x_n)$ は $X$ のすべての点に収束する。$x$ の任意の開近傍は $X$ の有限個の点しか除かないので、十分大きいすべての $n$ について $x_n$ はその中に入るからである。

$x\in X$ が高々可算な基本近傍系 $\{U_n\}_{n\ge1}$ を持つと仮定する。各 $U_n$ は $x$ の近傍なので、$x\in V_n\subseteq U_n$ を満たす開集合 $V_n$ がとれ、$X\setminus V_n$ は有限である。$X\setminus\bigcap_{n}V_n=\bigcup_n(X\setminus V_n)$ は可算個の有限集合の合併なので高々可算である（可算選択公理を用いる）。$X$ は非可算だから、$y\in\bigcap_n V_n$ かつ $y\neq x$ となる $y$ がとれる。$X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍だが、すべての $n$ について $y\in V_n\subseteq U_n$ なので $U_n\subseteq X\setminus\{y\}$ となる $n$ は存在しない。これは $\{U_n\}$ が $x$ の基本近傍系であることに反する。$\square$

反例：非可算個の実数直線の直積

$J$ を非可算集合とし、$\mathbb{R}^J=\prod_{j\in J}\mathbb{R}$ に直積位相を入れる（各因子は通常の位相）。この空間は第1可算ではない。各因子は距離空間なので第1可算であり、破れる含意は「各因子が第1可算 $\implies$ 直積空間も第1可算」である（可算個の直積では成り立つ）。とくに、非可算個の $\mathbb{R}$ の直積 $\mathbb{R}^J$ は距離化可能でない。距離化可能ならば第1可算だからである（同じ議論は、各因子が2点以上を持つ非可算個の距離空間の直積に対しても通用する）。

各座標が $0$ である点を $0\in\mathbb{R}^J$ と書き、$\{U_n\}_{n\ge1}$ を $0$ の高々可算な基本近傍系と仮定する。直積位相の定義から、各 $n$ について有限部分集合 $F_n\subseteq J$ と開集合 $W_{n,j}\subseteq\mathbb{R}$（$j\in F_n$）があって、
$$B_n=\{f\in\mathbb{R}^J\mid f(j)\in W_{n,j}\ (j\in F_n)\}$$
が $0\in B_n\subseteq U_n$ を満たす。$F=\bigcup_n F_n$ は可算個の有限集合の合併なので高々可算であり（可算選択公理）、$J$ は非可算だから $j_0\in J\setminus F$ がとれる。$V=\{f\in\mathbb{R}^J\mid |f(j_0)|<1\}$ は $0$ の開近傍である。ここで各 $n$ について、$f(j_0)=2$、$j\neq j_0$ のとき $f(j)=0$ で定まる点 $f$ を考える。$j_0\notin F_n$ であり、$0\in B_n$ から $j\in F_n$ について $0\in W_{n,j}$ なので $f\in B_n\subseteq U_n$ である。一方 $|f(j_0)|=2$ だから $f\notin V$ である。よって $U_n\subseteq V$ となる $n$ は存在せず、$\{U_n\}$ は $0$ の基本近傍系ではない。$\square$

反例：整数全体を一点につぶした商空間

第1可算空間の商空間は第1可算とは限らない。$\mathbb{R}$（通常の位相）において $\mathbb{Z}$ のすべての点を同一視して得られる商空間 $Y=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と商写像 $q\colon\mathbb{R}\to Y$ を考えると、$\mathbb{R}$ は距離空間だから第1可算だが、$Y$ は点 $p=q(\mathbb{Z})$ において高々可算な基本近傍系を持たない。破れる含意は「$X$ が第1可算 $\implies$ $X$ の商空間も第1可算」である。

$q$ による同値類は $\mathbb{Z}$ と、$t\notin\mathbb{Z}$ に対する一点集合 $\{t\}$ である。したがって $A\subseteq\mathbb{R}$ が $q^{-1}(q(A))=A$ を満たすのは、$\mathbb{Z}\subseteq A$ または $\mathbb{Z}\cap A=\emptyset$ のときであり、そのような開集合 $A$ について $q(A)$ は商位相で開集合である。
$\{U_n\}_{n\ge1}$ を $p$ の高々可算な基本近傍系と仮定する。各 $n\ge1$ について、$U_n$ は $p$ の近傍なので $p\in O_n\subseteq U_n$ となる $Y$ の開集合 $O_n$ がとれる。$q^{-1}(O_n)$ は $\mathbb{Z}$ を含む $\mathbb{R}$ の開集合だから、整数 $n$ の位置で、$0<\varepsilon_n<1/4$ かつ $(n-\varepsilon_n,\,n+\varepsilon_n)\subseteq q^{-1}(O_n)$ を満たす $\varepsilon_n$ がとれる（可算選択公理）。番号 $n$ を整数 $n$ の位置で使うのが以下の対角線論法の要点である。
$m\in\mathbb{Z}$ に対し、$m\ge1$ のとき $\delta_m=\varepsilon_m/2$、$m\le 0$ のとき $\delta_m=1/4$ とおき、
$$V=\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}(m-\delta_m,\,m+\delta_m)$$
とする。$V$ は $\mathbb{Z}$ を含む開集合なので、上の注意より $q(V)$ は $p$ を含む $Y$ の開集合である。
$n\ge1$ を固定し、$t_n=n+\tfrac{3}{4}\varepsilon_n$ とおく。$t_n\in(n-\varepsilon_n,\,n+\varepsilon_n)\subseteq q^{-1}(O_n)$ だから $q(t_n)\in O_n\subseteq U_n$ である。他方 $\delta_n=\varepsilon_n/2<\tfrac{3}{4}\varepsilon_n$ より $t_n\notin(n-\delta_n,\,n+\delta_n)$ であり、すべての $m$ について $\delta_m\le 1/4$ かつ $0< t_n-n<1/4$ なので、$m\neq n$ に対する区間 $(m-\delta_m,\,m+\delta_m)$ も $t_n$ を含まない。よって $t_n\notin V$ であり、$q^{-1}(q(V))=V$ だから $q(t_n)\notin q(V)$ である。すなわちどの $n$ についても $U_n\subseteq q(V)$ とはならず、$\{U_n\}$ は $p$ の基本近傍系ではない。$\square$

性質

減少する高々可算な基本近傍系

位相空間 $X$ の点 $x$ が高々可算な基本近傍系を持つならば、$x$ の高々可算な基本近傍系 $\{U_n\}_{n\ge1}$ であって、各 $U_n$ が $x$ を含む開集合であり、かつ $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$ を満たすものがとれる。

$\{W_n\}_{n\ge1}$ を $x$ の高々可算な基本近傍系とする（有限個のときは同じ元を繰り返して添字づける）。各 $W_n$ は $x$ の近傍なので、その内部 $O_n:=\operatorname{int}W_n$ は $x\in O_n\subseteq W_n$ を満たす開集合である（$O_n$ は $W_n$ から一意に定まるので、ここで選択は要らない）。このとき $\{O_n\}$ もまた $x$ の基本近傍系である。$U_n=O_1\cap\cdots\cap O_n$ とおくと、有限個の開集合の共通部分なので $U_n$ は $x$ を含む開集合であり、構成から $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$ を満たす。$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、ある $m$ で $W_m\subseteq V$ となるから $U_m\subseteq O_m\subseteq W_m\subseteq V$ である。よって $\{U_n\}$ は求める基本近傍系である。$\square$

閉包の点列による判定

$X$ を第1可算空間、$A\subseteq X$、$x\in X$ とする。このとき、$x$ が $A$ の閉包 $\overline{A}$ に属するための必要十分条件は、$A$ の点からなる点列 $(a_n)_{n\ge1}$ で $x$ に収束するものが存在することである。

（十分性）$A$ の点列 $(a_n)$ が $x$ に収束するとする。$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、十分大きいすべての $n$ で $a_n\in V$ だから $V\cap A\neq\emptyset$ である。よって $x\in\overline{A}$ となる。この向きは第1可算性を用いない。
（必要性）$x\in\overline{A}$ とする。prop-first-countable-space-decreasing により、$x$ の減少する高々可算な基本近傍系 $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$ をとる。各 $n$ について $U_n$ は $x$ の近傍だから $U_n\cap A\neq\emptyset$ であり、$a_n\in U_n\cap A$ を選ぶ（可算選択公理）。$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、ある $m$ で $U_m\subseteq V$ となるので、$n\ge m$ ならば $a_n\in U_n\subseteq U_m\subseteq V$ である。よって $(a_n)$ は $x$ に収束する。$\square$

点列の集積点は部分列の極限

$X$ を第1可算空間、$(x_n)_{n\ge1}$ を $X$ の点列とする。点 $p\in X$ が $(x_n)$ の集積点である、すなわち $p$ の任意の近傍が無限個の $n$ について $x_n$ を含むならば、$(x_n)$ の部分列で $p$ に収束するものが存在する。

prop-first-countable-space-decreasing により $p$ の減少する高々可算な基本近傍系 $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$ をとる。$n_0=0$ とし、$n_{k-1}$ まで定まったとき、$U_k$ は $p$ の近傍だから $\{n\mid x_n\in U_k\}$ は無限集合であり、その中で $n_{k-1}$ より大きい最小の番号を $n_k$ とする（無限集合なので存在し、最小性により一意に定まるからここで選択は要らない）。こうして狭義単調増加な番号の列 $n_1< n_2<\cdots$ が得られる。$p$ の任意の近傍 $V$ に対し、ある $m$ で $U_m\subseteq V$ となるので、$k\ge m$ ならば $x_{n_k}\in U_k\subseteq U_m\subseteq V$ である。よって部分列 $(x_{n_k})$ は $p$ に収束する。$\square$

コンパクトならば点列コンパクト

第1可算空間 $X$ がコンパクト空間であれば、$X$ は点列コンパクトである。すなわち $X$ の任意の点列は収束する部分列を持つ。逆は成り立たない。

コンパクト空間は可算コンパクト空間であり、可算コンパクト空間では任意の点列が集積点を持つ。この二つの主張は可算コンパクト空間が所有しており、本記事では引用する。$X$ は第1可算だから、prop-first-countable-space-cluster により、その集積点に収束する部分列がとれる。
逆が成り立たないことは ex-first-countable-space-omega1 の $\omega_1$ が示す。$\omega_1$ は第1可算であり、可算コンパクトなので任意の点列が集積点を持ち（引用）、prop-first-countable-space-cluster により点列コンパクトである。しかし $\omega_1$ はコンパクトではない（引用）。$\square$

長さ$\omega_1$の閉集合の増大列の合併

$X$ を第1可算空間とし、$\{A_\alpha\}_{\alpha<\omega_1}$ を $X$ の閉集合の族で、$\alpha\le\beta<\omega_1$ ならば $A_\alpha\subseteq A_\beta$ を満たすものとする。このとき $A=\bigcup_{\alpha<\omega_1}A_\alpha$ は閉集合である。

$x\in\overline{A}$ とする。thm-first-countable-space-closure により、$A$ の点列 $(x_n)_{n\ge1}$ で $x$ に収束するものがとれる。各 $n$ について $x_n\in A_{\alpha_n}$ となる $\alpha_n<\omega_1$ を選ぶ（可算選択公理）。$\alpha=\sup_n\alpha_n$ とおくと、$\omega_1$ の共終数が $\aleph_0$ より真に大きいこと、すなわち可算個の可算順序数の上限がふたたび可算順序数であることから、$\alpha<\omega_1$ である。増大性よりすべての $n$ について $A_{\alpha_n}\subseteq A_\alpha$ なので $x_n\in A_\alpha$ である。$A_\alpha$ は閉集合であり、thm-first-countable-space-closure の十分性の向き（第1可算性を用いない向き）を $A_\alpha$ に適用すると $x\in\overline{A_\alpha}=A_\alpha\subseteq A$ を得る。よって $\overline{A}\subseteq A$、すなわち $A$ は閉集合である。$\square$

共終数が効いていること

上の証明が $\omega_1$ について使った性質は「$\omega_1$ は可算な部分集合によって共終にならない」ことだけである。したがって添字の順序数を、共終数が $\aleph_0$ より大きい任意の順序数（$\omega_2$、$\omega_3$、$\omega_{\omega_1}$ など）に取り替えても同じ議論が通る。一方 $\omega_\omega$ は共終数が $\aleph_0$ なのでこの議論は回らない。実際、長さ $\omega$ の増大列では主張そのものが成り立たない。$\mathbb{R}$（通常の位相）で $A_n=\left[0,\,1-\tfrac{1}{n+1}\right]$（$n\ge1$）とおくと、これは閉集合の増大列だが $\bigcup_{n\ge1}A_n=[0,1)$ は閉集合でない。$\mathbb{R}$ は距離空間なので第1可算であり、破れる含意は「第1可算空間における閉集合の増大列の合併は閉」を共終数が可算な長さの列に広げたものである。

可算性の条件どうしの関係

第1可算性は各点の近傍だけに関わる局所的な条件であり、空間全体を可算個の開集合から組み立てられるという第2可算公理よりも弱い。名前は似ているが、「第2」の方が真に強い条件である。

可算性の条件の強弱

一般の位相空間について、次の含意が成り立つ。
$$\text{第2可算} \implies \text{第1可算}, \qquad \text{距離空間} \implies \text{第1可算}$$

第2可算 $\implies$ 第1可算：可算な開基のうち $x$ を含むものだけを集めれば $x$ の高々可算な基本近傍系になる。この含意の言明と証明は第2可算公理が所有する。
第1可算 $\not\implies$ 第2可算：非可算集合上の離散空間は第1可算だが第2可算ではない（ex-first-countable-space-discrete）。各点で近傍が可算にとれるという局所的な条件は、空間全体を可算個の開集合で組み立てられるという大域的な条件を導かない。
距離空間 $\not\implies$ 第2可算：同じ例に離散距離を入れれば、非可算集合上の離散空間は距離空間である。したがって第2可算でない距離空間が存在し、「距離空間 $\implies$ 第2可算」は偽である。距離空間から一般に従うのは第1可算性までである。
距離空間に限れば、第2可算であること・可分空間であること・Lindelöf空間であることの三つは互いに同値になる。この同値定理は第2可算公理が所有する。可分性を仮定しない限り、距離空間から第2可算性は従わない。

補足：点列で位相をどこまで記述できるか

第1可算空間では位相の情報の多くが点列だけで取り出せる。thm-first-countable-space-closure がその代表であり、写像 $f\colon X\to Y$ が点 $x$ で連続であることと点列連続であること（$x_n\to x$ ならば $f(x_n)\to f(x)$）の同値も、$X$ が $x$ で第1可算であれば成り立つ。この同値の言明と完全な証明は点列連続性が所有する。より広く、第1可算空間は点列閉包が閉包と一致する空間（Fréchet–Urysohn空間）であり、さらに列型空間でもある。これらのクラスの階層は列型空間が扱う。
第1可算でない一般の位相空間では点列だけでは位相構造を捉えきれず、ネット（Moore–Smith 列）やフィルターが必要になる。上に挙げた非可算個の直積 $\mathbb{R}^J$ がその典型である（一方、非可算集合上の補有限位相では閉包は点列で捉えられ、破れるのは極限の一意性である。これは第1可算性ではなく Hausdorff 性の欠如による）。
$X$ が第1可算であることは、各点における基本近傍系の最小濃度（指標、character）が可算であることにほかならない。指標の正確な定義（有限になる場合の扱いに流儀がある）と、指標および重みによる第1可算性・第2可算性の言い換えは基数関数が扱う。

選択公理の使いどころ

本記事の証明のうち、prf-first-countable-space-closure の必要性の向き（$a_n\in U_n\cap A$ の選択）、prf-first-countable-space-omega1-union（$\alpha_n$ の選択と、$\omega_1$ の共終数が非可算であること）、および prf-first-countable-space-cofinite・prf-first-countable-space-product・prf-first-countable-space-quotient（可算個の有限集合の合併が高々可算であること、および $\varepsilon_n$ の選択）は、いずれも可算選択公理を用いている。選択公理を仮定しない集合論では、これらの論法はそのままでは通用しない。