共役(群論)

1：$c_g(xy)=gxyg^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=c_g(x)c_g(y)$ なので $c_g$ は準同型である。$c_g(c_h(x))=g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1}=c_{gh}(x)$ であり、$c_e=\mathrm{id}_G$ は明らかである。よって $c_g\circ c_{g^{-1}}=c_{g^{-1}}\circ c_g=c_e=\mathrm{id}_G$ で、$c_g$ は全単射、したがって自己同型である。作用の公理 $e\cdot x=x$、$g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x$ はこの 2 式そのものである。
2：「$x$ と $y$ が共役」は「$y$ が $x$ の共役作用の軌道に属する」ということなので、群の作用 の記事の命題「軌道による分割と安定化群」により同値関係であり、同値類が軌道 $\operatorname{Cl}_G(x)$ である。
3：自己同型は元の位数を保つ（$x^n=e\iff c_g(x)^n=c_g(x^n)=e$）。$c_g$ は準同型なので部分群の像 $c_g(H)=gHg^{-1}$ は部分群で、$c_g$ の $H$ への制限は単射だから $H\cong gHg^{-1}$ である。
4：$\operatorname{Cl}_G(x)=\{x\}$ は、すべての $g$ で $gxg^{-1}=x$、すなわち $gx=xg$ ということであり、これは $x\in Z(G)$ の定義である。
5：$N_G(S)$ は共役作用を部分集合の集合に広げた作用 $g\cdot S:=gSg^{-1}$ における $S$ の安定化群なので部分群であり、$C_G(x)=N_G(\{x\})$ も部分群である。$h\in H$ なら $hHh^{-1}=H$ なので $H\le N_G(H)$ であり、$N_G(H)$ のどの元 $g$ も $gHg^{-1}=H$ を満たすから、$H$ は $N_G(H)$ の正規部分群である。最後の主張は、正規部分群の定義（正規部分群 の記事の定理「正規性の同値条件」により「すべての $g$ で $gHg^{-1}=H$」と同値）そのものである。$\square$

$g,h\in G$ について、$N:=N_G(S)$ とおくと
$$ gN=hN\iff h^{-1}g\in N\iff (h^{-1}g)S(h^{-1}g)^{-1}=S\iff gSg^{-1}=hSh^{-1} $$
である。最後の同値は、両辺に左から $h$、右から $h^{-1}$ を掛ける（逆向きは $h^{-1}$ と $h$ を掛ける）ことによる。「$\Rightarrow$」の向きから写像は代表元の取り方によらずに定まり、「$\Leftarrow$」の向きから単射である。全射であることは共役全体の定義から明らかである。
1 は $S=\{x\}$ の場合で、$N_G(\{x\})=C_G(x)$ であり、$\{x\}$ の共役 $\{gxg^{-1}\}$ と元 $gxg^{-1}$ は 1 対 1 に対応する。2 は $S=H$ の場合である。有限群では Lagrangeの定理 により $[G:C_G(x)]=|G|/|C_G(x)|$ である。$\square$

prop-conj-basic の 2 により $G$ は共役類の互いに交わらない和集合であり、4 により 1 元の共役類はちょうど中心の元 1 つずつに対応する。残りの共役類の大きさは thm-conj-class-size により $[G:C_G(x_i)]$ で、$x_i\notin Z(G)$ だから $1$ より大きい。$\square$

$x$ を固定すると、$xy=yx$ を満たす $y$ の全体は $C_G(x)$ なので、左辺は $\sum_{x\in G}|C_G(x)|$ である。thm-conj-class-size により $|C_G(x)|=|G|/|\operatorname{Cl}_G(x)|$ である。共役類 $C$ ごとに和をまとめると、$C$ に属する $|C|$ 個の $x$ がそれぞれ $|G|/|C|$ を与えるので、$C$ からの寄与はちょうど $|G|$ である。共役類は $k(G)$ 個あるので、和は $k(G)|G|$ である。$\square$

$Z:=Z(G)$ とおく。$G/Z$ が巡回群なら $G$ は可換になる（剰余群 の記事の命題「中心による剰余群が巡回群なら可換」）ので、$G/Z$ は巡回群でない。位数 $1,2,3$ の群は巡回群である（位数が素数の群は巡回群、Lagrangeの定理 の記事の系「素数位数の群」）から、$[G:Z]\ge4$、すなわち $|Z|\le|G|/4$ である。
共役類のうち 1 元のものはちょうど $|Z|$ 個で（prop-conj-basic の 4）、残りの $k(G)-|Z|$ 個はどれも 2 元以上を含む。共役類は $G$ を分割するので
$$ |G|\ \ge\ |Z|+2\bigl(k(G)-|Z|\bigr)=2k(G)-|Z| $$
であり、$k(G)\le\frac12(|G|+|Z|)\le\frac12\bigl(|G|+\frac14|G|\bigr)=\frac58|G|$ である。$Q_8$ と $D_4$ では ex-conj-order-eight により $k=5$、$|G|=8$ なので等号が成り立つ。$\square$

$G$ を $k(G)=k$ の有限群とし、各共役類から代表元 $x_1,\dots,x_k$ を選ぶ（$x_1=e$ とする）。類等式（prop-conj-basic の 2 と thm-conj-class-size）$|G|=\sum_i|G|/|C_G(x_i)|$ を $|G|$ で割ると
$$ 1=\sum_{i=1}^k\frac1{n_i},\qquad n_i:=|C_G(x_i)| $$
となる。$C_G(e)=G$ なので $n_1=|G|$ であり、どの $n_i$ も $|G|$ 以下だから、$|G|=\max_in_i$ である。
次の主張を $m$ についての帰納法で示す：正の有理数 $q$ と正の整数 $m$ について、$\sum_{i=1}^m1/n_i=q$ を満たす正の整数の組 $n_1\le n_2\le\cdots\le n_m$ は有限個しかない。$m=1$ なら $n_1=1/q$ に限る。$m\ge2$ なら、$n_1$ が最小なので $q\le m/n_1$、すなわち $n_1\le m/q$ であり、$n_1$ の候補は有限個である。各候補について、残りの $(n_2,\dots,n_m)$ は $\sum_{i\ge2}1/n_i=q-1/n_1$ を満たす $m-1$ 個の組なので（右辺が正でなければ組はない）、帰納法の仮定により有限個である。
$n_i$ を小さい順に並べ替えて主張を $q=1$、$m=k$ に当てはめると、$(n_1,\dots,n_k)$ の可能性は有限個で、したがって $|G|=\max n_i$ は $k$ だけで決まる上限をもつ。位数を決めた群の同型類は有限個である（群の位数 の記事の命題「位数 $n$ の群の同型類の個数」）から、主張が従う。$\square$

$n:=[G:H]\ge2$ とおく。thm-conj-class-size の 2 により $H$ の共役部分群は $[G:N_G(H)]$ 個あり、$H\le N_G(H)$ だから指数の乗法性（剰余類 の記事の命題「指数の乗法性」）により $[G:N_G(H)]\le[G:H]=n$ である。どの共役部分群も $|H|$ 個の元からなり、単位元 $e$ を共通に含む。したがって和集合の元の個数は
$$ \Bigl|\bigcup_{g\in G}gHg^{-1}\Bigr|\le n\bigl(|H|-1\bigr)+1=|G|-n+1<|G| $$
である（$n|H|=|G|$ と $n\ge2$ による）。$\square$

任意の $x\in G$ について、$x$ の共役類が $H$ の元 $h$ を含むので $h=gxg^{-1}$ となる $g$ があり、$x=g^{-1}hg\in g^{-1}Hg$ である。よって $\bigcup_gg^{-1}Hg=G$ であり、thm-conj-not-union により $H=G$ である。$\square$