開部分スキーム

逆向きの主張は $j$ の像が $U$ であることから明らかなので、存在と一意性を示す。
存在。連続写像 $g\colon T\to U$ を $g(t):=f(t)$ で定める。$U$ の開集合 $V$ は $X$ の開集合でもあり $g^{-1}(V)=f^{-1}(V)$ なので、$g$ は連続である。$V\subset U$ を開集合とすると
$$ \mathcal{O}_U(V)=\mathcal{O}_X(V),\qquad (g_*\mathcal{O}_T)(V)=\mathcal{O}_T(g^{-1}(V))=\mathcal{O}_T(f^{-1}(V))=(f_*\mathcal{O}_T)(V) $$
なので、$g^\sharp_V:=f^\sharp_V$ とおけば、制限と両立する環準同型の族、すなわち層の射 $g^\sharp\colon\mathcal{O}_U\to g_*\mathcal{O}_T$ が得られる。点 $t\in T$ での茎の写像は $g^\sharp_t=f^\sharp_t\colon\mathcal{O}_{X,f(t)}=\mathcal{O}_{U,f(t)}\to\mathcal{O}_{T,t}$ であり、$f$ が局所射なので局所準同型である。よって $g=(g,g^\sharp)$ はスキームの射である。
$j\circ g=f$ を確かめる。連続写像としては明らかである。$X$ の開集合 $W$ について、合成の層の射は
$$ (j\circ g)^\sharp_W\colon\mathcal{O}_X(W)\xrightarrow{\ j^\sharp_W\ }\mathcal{O}_X(W\cap U)\xrightarrow{\ g^\sharp_{W\cap U}\ }\mathcal{O}_T(g^{-1}(W\cap U)) $$
である。$f(T)\subset U$ なので $g^{-1}(W\cap U)=f^{-1}(W\cap U)=f^{-1}(W)$ であり、$s\in\mathcal{O}_X(W)$ は $f^\sharp_{W\cap U}(s|_{W\cap U})=f^\sharp_W(s)|_{f^{-1}(W\cap U)}=f^\sharp_W(s)$ に送られる（$f^\sharp$ が制限と両立すること）。よって $(j\circ g)^\sharp=f^\sharp$ である。
一意性。$g'\colon T\to U$ も $j\circ g'=f$ をみたすとする。$j$ は単射なので、連続写像として $g'=g$ である。$V\subset U$ が開集合なら $j^\sharp_V\colon\mathcal{O}_X(V)\to\mathcal{O}_X(V\cap U)=\mathcal{O}_X(V)$ は恒等写像なので、上の合成の式で $W=V$ とおくと
$$ g'^\sharp_V=(j\circ g')^\sharp_V=f^\sharp_V=g^\sharp_V $$
である。よって $g'=g$ である。$\square$

$f:=j\circ a=j\circ b$ は像が $U$ に含まれる射であり、$a$ と $b$ はどちらも $j\circ g=f$ をみたす $g$ である。thm-open-subscheme-universal の一意性により $a=b$ である。$\square$

包含射の合成は包含射なので（def-open-subscheme の後の注意）、$j_U\circ p=j_{U\cap V}=j_V\circ q$ であり、四角形は可換である。
存在。$f:=j_U\circ a=j_V\circ b$ とおくと、$f(T)=a(T)\subset U$ かつ $f(T)=b(T)\subset V$ なので $f(T)\subset U\cap V$ である。thm-open-subscheme-universal を開部分スキーム $U\cap V\subset X$ に使うと、$j_{U\cap V}\circ c=f$ となる $c\colon T\to U\cap V$ がある。このとき $j_U\circ(p\circ c)=j_{U\cap V}\circ c=f=j_U\circ a$ であり、cor-open-subscheme-monomorphism により $p\circ c=a$ である。同様に $q\circ c=b$ である。
一意性。$c'$ も $p\circ c'=a$、$q\circ c'=b$ をみたせば、$j_{U\cap V}\circ c'=j_U\circ p\circ c'=f=j_{U\cap V}\circ c$ なので、ふたたび cor-open-subscheme-monomorphism（$U\cap V$ の包含射に使う）により $c'=c$ である。$\square$

要点：$x\in D_V(g)\subset D_U(f)\subset U\cap V$ と基本開集合を 2 段とり、$g$ を $D_U(f)\cong\operatorname{Spec}A_f$ に制限して $a/f^m$ と書くと、$g$ が $0$ でない点の集合を 2 通りに計算して $D_V(g)=D_U(af)$ を得る。

$A/\mathfrak{o}\cong k$ なので $\mathfrak{o}$ は極大イデアルで $V(\mathfrak{o})=\{\mathfrak{o}\}$ であり、素イデアルがすべての $x_i$ を含むことは $\mathfrak{o}$ に等しいことと同値だから $U=D(x_1)\cup\cdots\cup D(x_n)$ である。
1 の証明。層の条件と アフィンスキーム の記事の定理「基本開集合の上の切断」（$\mathcal{O}(D(f))=A_f$）により、$\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$ は、族 $(s_i)_i\in\prod_iA_{x_i}$ で、すべての $i,j$ について $s_i$ と $s_j$ の $A_{x_ix_j}$ での像が等しいものの全体と同一視される（$D(x_i)\cap D(x_j)=D(x_ix_j)$）。$A$ は整域なので、これらの局所化はすべて商体 $K=k(x_1,\dots,x_n)$ の部分環であり、局所化どうしの写像は $K$ の中の包含である。したがって $\Gamma(U,\mathcal{O}_X)=\bigcap_iA_{x_i}$（$K$ の中の共通部分）であり、$r$ は包含 $A\subset\bigcap_iA_{x_i}$ である。$r$ は単射なので、全射を示せばよい。
$s\in\bigcap_iA_{x_i}$ をとり、$s=g/x_1^m=h/x_2^l$（$g,h\in A$、$m,l\ge0$）と書くと、$gx_2^l=hx_1^m$ である。$A$ は一意分解整域で $x_1$ は素元であり、$x_1$ は $x_2^l$ を割らないので、$x_1^m$ は $g$ を割る。よって $s=g/x_1^m\in A$ である。ここで $n\ge2$ を使った。
2 の証明。$U$ がアフィンだとすると、スキーム の記事の系「標準射とアフィン性の判定」により、恒等写像 $\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\to\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$ に対応する標準射 $c\colon U\to\operatorname{Spec}\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$ は同型である。同記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」の全単射を $\rho$ と書くと、包含射 $j\colon U\to X$ について $\rho(j)=j^\sharp_X=r$ である。一方、$r$ が定める射 $\operatorname{Spec}r\colon\operatorname{Spec}\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\to\operatorname{Spec}A=X$ について、同じ命題の自然性から
$$ \rho(\operatorname{Spec}r\circ c)=\rho(c)\circ\rho(\operatorname{Spec}r)=\mathrm{id}\circ r=r=\rho(j) $$
であり（$c$ の大域切断の写像 $\rho(c)$ は、$c$ の定義により恒等写像）、$\rho$ の単射性から $j=\operatorname{Spec}r\circ c$ である。1 により $r$ は同型なので $\operatorname{Spec}r$ も同型であり、$j$ は同型の合成として同型になる。しかし $j$ の像 $U$ は $\mathfrak{o}$ を含まないので、$j$ は全射でなく同型でない。これは矛盾である。$\square$