全測地的部分多様体

1 ⇒ 2：$p\in M$、$v\in T_pM$ とし、$\gamma$ を $\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=v$ の $\bar M$ の測地線とする。1 により、小さな区間で $\gamma$ は $M$ の中の曲線であり、Gauss の公式を $V=\gamma'$ に当てると
$$ 0=\bar D_t\gamma'=D_t\gamma'+\mathrm{II}(\gamma',\gamma') $$
である。右辺の第 1 項は $M$ に接し、第 2 項は法ベクトルなので、両方とも $0$ である。$t=0$ で $\mathrm{II}(v,v)=0$ を得る。$v$ は任意なので、偏極により $\mathrm{II}_p=0$ である。
2 ⇒ 3：$\gamma$ を $M$ の測地線とすると $D_t\gamma'=0$ であり、Gauss の公式と $\mathrm{II}=0$ から $\bar D_t\gamma'=0$ である。
3 ⇒ 1：$\bar M$ の測地線 $\gamma$ が $\gamma(t_0)=p\in M$、$\gamma'(t_0)=v\in T_pM$ を満たすとする。$\sigma$ を $\sigma(t_0)=p$、$\sigma'(t_0)=v$ の $M$ の測地線とすると、3 により $\sigma$ は $\bar M$ の測地線でもあり、初期条件が $\gamma$ と同じである。測地線 の命題「測地線の局所存在と一意性」により、$t_0$ を含む区間で $\gamma=\sigma$ であり、そこで $\gamma(t)\in M$ である。$\square$

1：Gauss の方程式（Lee18 Theorem 8.5、p. 230）を正規直交な $v,w\in T_pM$ に当てると
$$ K_M(v,w)=K_{\bar M}(v,w)+\bar g\bigl(\mathrm{II}(v,v),\mathrm{II}(w,w)\bigr)-\bigl|\mathrm{II}(v,w)\bigr|^2 $$
であり、$\mathrm{II}=0$ なので $K_M=K_{\bar M}$ である。2：Codazzi の方程式（Lee18 Theorem 8.9、p. 232）は $\bigl(\bar R(X,Y)Z\bigr)^\perp$ を $\mathrm{II}$ の共変微分の差で表すので、$\mathrm{II}\equiv0$ なら左辺も $0$ である。$\square$

thm-tg-characterization の 3 により、$v\in T_pM$ について $M$ の測地線 $t\mapsto\exp^M_p(tv)$ は $\bar M$ の測地線 $t\mapsto\exp_p(tv)$ と一致する。よって $M$ の指数写像 $\exp^M_p$ は、定義される範囲で $\exp_p$ の $T_pM$ への制限に等しい。正規座標 の命題「指数写像の原点での微分」を $(M,g)$ に当てると、$\varepsilon$ が小さければ $\exp^M_p$ は $T_pM\cap B_\varepsilon(0)$ から $M$ の中の $p$ の開近傍への微分同相である。後半は、2 つの部分多様体がどちらも $\exp_p\bigl(V\cap B_\varepsilon(0)\bigr)$（$V$ は共通の接空間）を $p$ の開近傍として含むことから従う。$\square$

$F$ は連続写像の固定点の集合の共通部分なので閉集合である。$p\in F$ とし、$\varepsilon>0$ を $\exp_p$ が $B_\varepsilon(0)\subset T_p\bar M$ から $\bar M$ の開集合 $U$ への微分同相になるようにとる（正規座標 の定義「正規近傍と正規座標」）。$\phi\in\Phi$ について $\phi(p)=p$ であり、Riemann幾何学 の命題「等長写像は測地線を測地線に写す」により $\phi\circ\exp_p=\exp_p\circ d\phi_p$ である。$d\phi_p$ は $T_p\bar M$ の線形等長写像なので $B_\varepsilon(0)$ を保つ。したがって $v\in B_\varepsilon(0)$ について
$$ \phi(\exp_pv)=\exp_pv\iff\exp_p(d\phi_pv)=\exp_pv\iff d\phi_pv=v $$
である（最後の同値は $\exp_p$ の $B_\varepsilon(0)$ 上の単射性による）。よって $F\cap U=\exp_p\bigl(E_p\cap B_\varepsilon(0)\bigr)$ で、これは線形部分空間 $E_p$ の一部を微分同相で写したものだから、$\dim E_p$ 次元の埋め込まれた部分多様体で、$p$ での接空間は $E_p$ である（$d(\exp_p)_0=\mathrm{id}$）。とくに $F$ は局所連結で、各連結成分は $F$ の中で開かつ閉であり、次元は成分の上で一定である。
全測地的であること：$q\in F$、$w\in T_qF=E_q$ とし、$\gamma_w$ を $q$ を初速度 $w$ で出る $\bar M$ の測地線とする。$\phi\in\Phi$ について $\phi\circ\gamma_w$ は初速度 $d\phi_qw=w$ の測地線なので $\phi\circ\gamma_w=\gamma_w$ であり、$\gamma_w(t)$ は定義されるすべての $t$ で $F$ に入る。$\gamma_w$ は連結なので $q$ を含む成分に入る。$\square$

$P(x)$ を $W(x)$ への（標準内積についての）直交射影とする。$Z_i$ を Gram–Schmidt の方法で正規直交化すれば、$P$ は滑らかである。$W(x)$ に値をとる滑らかな関数 $s=\sum_if_iZ_i$ については $D_Xs=\sum_i(Xf_i)Z_i+\sum_if_iD_XZ_i\in W(x)$ である。$W(x)^\perp$ に値をとる滑らかな関数 $\nu$ については、$\langle\nu,Z_i\rangle=0$ を微分して $\langle D_X\nu,Z_i\rangle=-\langle\nu,D_XZ_i\rangle=0$ なので $D_X\nu\in W(x)^\perp$ である。
定ベクトル $a\in\mathbb R^N$ をとり、$s=Pa$、$\nu=a-Pa$ とおく。$s+\nu=a$ は定数なので $D_Xs=-D_X\nu$ であり、左辺は $W(x)$、右辺は $W(x)^\perp$ に入るので $D_X(Pa)=0$ である。$M$ は連結なので $Pa$ は一定であり、$a$ は任意だから $P$ も一定、したがって $W(x)$ も一定である。$\square$

「開集合なら全測地的」は、アフィン部分空間では $D_XY$ が接空間に入ることから、2・3 では ex-tg-fixed-point-examples から従う（全測地的な部分多様体の開集合は全測地的である）。逆を示す。
1：$M$ の接ベクトル場 $X,Y$ について、Gauss の公式と $\mathrm{II}=0$ から $D_XY=\nabla_XY$ は $M$ に接する。$M$ の局所的な接枠 $Z_1,\dots,Z_k$ に lem-tg-constant-subspace を当てると、$T_xM=V$ は一定である。$\nu\in V^\perp$ について $X\langle x,\nu\rangle=\langle X,\nu\rangle=0$ なので $\langle x,\nu\rangle$ は $M$ の上で一定であり、$p\in M$ をとれば $M\subset p+V$ である。$M$ から $k$ 次元のアフィン空間 $p+V$ への包含は同じ次元の多様体の間の単射なはめ込みなので、逆関数定理 により開写像であり、$M$ は $p+V$ の開集合である。
2：$S^n\subset\mathbb R^{n+1}$ の点 $x$ での単位法ベクトルは $x$ で、$S^n$ の接ベクトル場 $X,Y$ について $\langle Y,x\rangle=0$ を微分すると $\langle D_XY,x\rangle=-\langle X,Y\rangle$ である。よって $S^n$ の $\mathbb R^{n+1}$ の中での Gauss の公式は $D_XY=\nabla^{S^n}_XY-\langle X,Y\rangle x$ である。$M\subset S^n$ が全測地的なら $\nabla^{S^n}_XY=\nabla^M_XY$ なので、$M$ の接ベクトル場 $X,Y$ について
$$ D_XY=\nabla^M_XY-\langle X,Y\rangle x\in W(x):=\mathrm{span}(x,\ T_xM),\qquad D_Xx=X\in W(x) $$
である。位置ベクトル $x$ と局所的な接枠に lem-tg-constant-subspace を当てると、$k+1$ 次元の $W(x)=W$ は一定である。$x\in W(x)$ なので $M\subset S^n\cap W$ であり、1 と同じく次元を比べて $M$ は $S^n\cap W$ の開集合である。
3：双曲空間 の定理「双曲空間の曲率」の証明の段 1 により、$H^n$ の $\mathbb R^{n,1}$ の中での Gauss の公式は $D_XY=\nabla^{H^n}_XY+g(X,Y)\,x$ である（$D$ は $\mathbb R^{n+1}$ の普通の微分で、$\mathbb R^{n,1}$ の Riemann 接続でもある）。2 と同じく $D_XY$ と $D_Xx$ は $\mathrm{span}(x,T_xM)$ に入り、lem-tg-constant-subspace（標準内積を使う補題であり、Minkowski の形式は使わない）から $\mathrm{span}(x,T_xM)=W$ は一定で、$M\subset H^n\cap W$ の開集合である。$\square$