安定性理論

要点：Zorn の補題で極大な有限充足可能集合をとると、それが完全型になる。

要点：$A$ の外の 2 元は、$A$ を固定して 2 元を入れ替える置換（記号がないので自己同型）で移り合うので、同じ論理式を満たす。

要点：量化記号消去により、型は「どの多項式の根か」で決まる。

$T$ が $\kappa$-安定でないとし、$T$ のモデル $M$ と $A\subset M$ で $\lvert A\rvert\le\kappa< \lvert S^M(A)\rvert$ となるものをとる。$x$ だけを自由変数とする $L_A$ の論理式を単に論理式とよび、$\varphi$ を含む型の集合を $[\varphi]:=\{p\in S^M(A)\mid\varphi\in p\}$ と書く。$\lvert[\varphi]\rvert>\kappa$ のとき $\varphi$ は 大きい という。$x=x$ は大きい。
段 1（大きい論理式は 2 つに割れる）． 大きい $\varphi$ について、$\varphi\land\psi$ と $\varphi\land\lnot\psi$ がともに大きい論理式 $\psi$ があることを示す。型は $\psi$ か $\lnot\psi$ を含むので $[\varphi]=[\varphi\land\psi]\cup[\varphi\land\lnot\psi]$ であり、$\kappa+\kappa=\kappa$ だから少なくとも一方は大きい。そのような $\psi$ がないとすると、どの $\psi$ についてもちょうど一方だけが大きい。$q:=\{\psi\mid\varphi\land\psi\text{ は大きい}\}$ とおく。$r\in[\varphi]$ が $q$ と異なれば、$\psi\in r\setminus q$（このとき $\varphi\land\psi$ は大きくない）か、$\psi\in q\setminus r$（このとき $\lnot\psi\in r$ で $\varphi\land\lnot\psi$ は大きくない）となる $\psi$ がある。どちらの場合も、$r$ は大きくない論理式 $\varphi\land\chi$ の $[\varphi\land\chi]$ に属する。論理式は $\kappa$ 個以下なので
$$ \lvert[\varphi]\rvert\le1+\kappa\cdot\kappa=\kappa $$
となり、$\varphi$ が大きいことに反する。
段 2（2 分木を作る）． 有限の 0-1 列 $s$ ごとに大きい論理式 $\varphi_s$ を、$\varphi_{\emptyset}:=(x=x)$ とし、$\varphi_s$ に段 1 の $\psi_s$ をとって $\varphi_{s0}:=\varphi_s\land\psi_s$、$\varphi_{s1}:=\varphi_s\land\lnot\psi_s$ と定める。これらの可算個の論理式に現れるパラメータの集合 $A_0\subset A$ は可算である。
段 3（可算集合の上の型を $2^{\aleph_0}$ 個作る）． 無限の 0-1 列 $\eta$ ごとに $\Pi_\eta:=\{\varphi_{\eta\restriction n}\mid n\in\mathbb N\}$ とおく（$\eta\restriction n$ は最初の $n$ 項）。$\Pi_\eta$ の有限部分集合は最も長い $\varphi_{\eta\restriction n}$ に含意され、$\varphi_{\eta\restriction n}$ は大きいのである型に含まれ、したがって $M$ のある元が満たす。よって $\Pi_\eta$ は $M$ で有限充足可能な $L_{A_0}$ の論理式の集合であり、lem-st-completion により $p_\eta\in S^M(A_0)$ に延びる。$\eta\ne\eta'$ が最初に $n$ 項目で異なるとき、$s:=\eta\restriction n$ について $\psi_s$ と $\lnot\psi_s$ が $p_\eta$ と $p_{\eta'}$ に分かれて属するので、$p_\eta\ne p_{\eta'}$ である。よって $\lvert S^M(A_0)\rvert\ge2^{\aleph_0}>\aleph_0$ となり、$T$ は $\omega$-安定でない。$\square$

要点：$2^\mu>\kappa$ となる最小の基数 $\mu$ をとり、長さ $\mu$ の 0-1 列を辞書式に並べる。「いつかから先すべて $0$」の列を $J$、どちらの値も限りなく現れる列を $Z$ とする。

$\kappa$ を無限基数とし、lem-st-cuts の $J,Z$ をとる。
段 1（$J$ で添字づけた列を作る）． $L$ に新しい定数記号 $c_\eta$ と $r$ 個組の定数記号 $\bar d_\eta$（$\eta\in J$）を加え、
$$ \Sigma:=T\cup\{\varphi(c_\eta;\bar d_\theta)\mid\eta< \theta\}\cup\{\lnot\varphi(c_\eta;\bar d_\theta)\mid\theta\le\eta\} $$
とおく（$\eta,\theta\in J$）。$\Sigma$ の有限部分集合に現れる添字を $\eta_1< \cdots< \eta_m$ とし、順序性を与えるモデル $M$ で $c_{\eta_i}$ を $a_i$、$\bar d_{\eta_i}$ を $\bar b_i$ と解釈すれば、$M\models\varphi(a_i;\bar b_j)\iff i< j\iff\eta_i< \eta_j$ なので、この有限部分集合は満たされる。コンパクト性定理(一階論理) により $\Sigma$ はモデルをもち、その $L$ への簡約を $N$、定数記号の値を $a_\eta,\bar b_\eta$ とする。$N\models T$ で、
$$ N\models\varphi(a_\eta;\bar b_\theta)\iff\eta< \theta\qquad(\eta,\theta\in J) $$
である。$\bar b_\theta$（$\theta\in J$）の成分の全体を $B$ とすると $\lvert B\rvert\le r\cdot\lvert J\rvert\le\kappa$ である。
段 2（切れ目ごとに型を作る）． $\zeta\in Z$ について
$$ \Pi_\zeta:=\{\varphi(x;\bar b_\theta)\mid\theta\in J,\ \zeta< \theta\}\cup\{\lnot\varphi(x;\bar b_\theta)\mid\theta\in J,\ \theta< \zeta\} $$
とおく（$Z\cap J=\emptyset$ なので、$J$ の元は $\zeta$ より大きいか小さい）。$\Pi_\zeta$ の有限部分集合に現れる $\theta$ のうち $\zeta$ より小さいものの最大を $\eta$ とする（なければ $\eta:=o$）。$\zeta$ より小さい $\theta$ については $\theta\le\eta$ なので $\lnot\varphi(a_\eta;\bar b_\theta)$ が、$\zeta< \theta$ なら $\eta< \zeta< \theta$ なので $\varphi(a_\eta;\bar b_\theta)$ が成り立ち（$\eta=o$ のときも lem-st-cuts の 3 により $o< \zeta$）、$a_\eta$ がこの有限部分集合を満たす。よって $\Pi_\zeta$ は $N$ で有限充足可能であり、lem-st-completion により $p_\zeta\in S^N(B)$ に延びる。
段 3（型は互いに異なる）． $\zeta< \zeta'$ なら、lem-st-cuts の 2 により $\zeta< \theta< \zeta'$ となる $\theta\in J$ があり、$\varphi(x;\bar b_\theta)\in p_\zeta$、$\lnot\varphi(x;\bar b_\theta)\in p_{\zeta'}$ である。よって $\zeta\mapsto p_\zeta$ は単射で、$\lvert S^N(B)\rvert\ge\lvert Z\rvert>\kappa\ge\lvert B\rvert$ となり、$T$ は $\kappa$-安定でない。$\square$