Gagliardo–Nirenbergの不等式

$0$ でない $u\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を 1 つ固定し、$\lambda>0$ について $u_\lambda(x):=u(\lambda x)$ とおく。連鎖律から $D^\alpha u_\lambda(x)=\lambda^{|\alpha|}(D^\alpha u)(\lambda x)$ であり、変数変換 $y=\lambda x$ により、$1\le s\le\infty$ と $k\ge0$ について
$$ \|D^ku_\lambda\|_s=\lambda^{\,k-n/s}\|D^ku\|_s $$
である（$s=\infty$ では $n/s=0$）。
ここで $\|D^ju\|_p>0$、$\|D^mu\|_r>0$、$\|u\|_q>0$ である。実際、$u\ne0$ なので $\|u\|_q>0$ である。また $D^ku$ がほとんど至るところ $0$ なら、$D^ku$ は連続なので恒等的に $0$ であり、$u$ は次数 $k$ 未満の多項式になる。コンパクトな台をもつ多項式は $0$ だけなので、$u\ne0$ に反する。
仮定の不等式を $u_\lambda$ に当てると
$$ \lambda^{\,j-n/p}\|D^ju\|_p\le C\,\lambda^{\,a(m-n/r)-(1-a)n/q}\,\|D^mu\|_r^{\,a}\|u\|_q^{\,1-a} $$
となる。$\lambda$ の冪の差を $e:=j-\frac np-a\bigl(m-\frac nr\bigr)+(1-a)\frac nq$ とおくと、$\lambda^{e}$ は正の定数で上から押さえられる。$e>0$ なら $\lambda\to\infty$、$e<0$ なら $\lambda\to0$ で矛盾するので $e=0$ である。$e=0$ を $n$ で割って整理すれば主張の式になる。$\square$

被積分関数は非負可測なので、Fubiniの定理（Tonelli の形）により積分の順序を自由に入れ替えてよい。
$n=2$ の場合．$\hat x_1=x_2$、$\hat x_2=x_1$ なので、左辺は $\int\!\!\int f_1(x_2)f_2(x_1)\,dx_1dx_2=\|f_1\|_{L^1(\mathbb R)}\|f_2\|_{L^1(\mathbb R)}$ で、等号が成り立つ。
$n$ から $n+1$ へ．$n\ge2$ で主張が正しいとし、$\mathbb R^{n+1}$ の点を $(x',t)$（$x'\in\mathbb R^n$、$t\in\mathbb R$）と書く。$\hat x_{n+1}=x'$ であり、$i\le n$ では $\hat x_i=(\hat x'_i,t)$ である（$\hat x'_i\in\mathbb R^{n-1}$ は $x'$ から $x_i$ を除いた点）。$t$ を固定し、指数 $n$ と $n':=\frac n{n-1}$ の Hölderの不等式 を使うと
$$ \int_{\mathbb R^n}f_{n+1}(x')\prod_{i=1}^nf_i(\hat x'_i,t)\,dx'\le\|f_{n+1}\|_{L^n(\mathbb R^n)}\Bigl(\int_{\mathbb R^n}\prod_{i=1}^nf_i(\hat x'_i,t)^{n'}dx'\Bigr)^{1/n'} $$
である。右辺の積分に帰納法の仮定を $h_i:=f_i(\cdot,t)^{n'}$ について当てる。$n'(n-1)=n$ なので $\|h_i\|_{L^{n-1}(\mathbb R^{n-1})}=\bigl(\int_{\mathbb R^{n-1}}f_i(y,t)^n\,dy\bigr)^{1/(n-1)}$ であり、$\frac1{n-1}\cdot\frac1{n'}=\frac1n$ から
$$ \int_{\mathbb R^n}f_{n+1}(x')\prod_{i=1}^nf_i(\hat x'_i,t)\,dx'\le\|f_{n+1}\|_{L^n(\mathbb R^n)}\prod_{i=1}^nF_i(t),\qquad F_i(t):=\Bigl(\int_{\mathbb R^{n-1}}f_i(y,t)^n\,dy\Bigr)^{1/n} $$
を得る。これを $t$ について積分し、$n$ 個の関数の Hölder の不等式（指数はすべて $n$ で、$\sum_{i=1}^n\frac1n=1$）を使うと
$$ \int_{\mathbb R}\prod_{i=1}^nF_i(t)\,dt\le\prod_{i=1}^n\|F_i\|_{L^n(\mathbb R)}=\prod_{i=1}^n\|f_i\|_{L^n(\mathbb R^n)} $$
である（最後の等号は Tonelli の定理による）。合わせると $\mathbb R^{n+1}$ での主張になる。$\square$

$u\in C_c^1(\mathbb R^n)$ とする。台がコンパクトなので、各 $x$ と $i$ について 微積分学の基本定理 から
$$ u(x)=\int_{-\infty}^{x_i}\partial_iu(x_1,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_n)\,dt $$
であり、$|u(x)|\le g_i(\hat x_i):=\int_{\mathbb R}|\partial_iu(x_1,\dots,t,\dots,x_n)|\,dt$ である。$n$ 個を掛けて $\frac1{n-1}$ 乗すると
$$ |u(x)|^{n/(n-1)}\le\prod_{i=1}^ng_i(\hat x_i)^{1/(n-1)} $$
となる。lem-gn-loomis-whitney を $f_i:=g_i^{1/(n-1)}$ に当てる。$\|f_i\|_{L^{n-1}(\mathbb R^{n-1})}^{n-1}=\int_{\mathbb R^{n-1}}g_i=\|\partial_iu\|_1$ なので
$$ \int_{\mathbb R^n}|u|^{n/(n-1)}dx\le\prod_{i=1}^n\|\partial_iu\|_1^{1/(n-1)} $$
であり、両辺を $\frac{n-1}n$ 乗すれば第 1 の不等式になる。$|\partial_iu|\le|\nabla u|$ から $\|\partial_iu\|_1\le\|\nabla u\|_1$ なので、第 2 の不等式も成り立つ。
$u\in W^{1,1}(\mathbb R^n)$ のときは、$C_c^\infty(\mathbb R^n)$ の列 $u_k$ で $u_k\to u$、$\nabla u_k\to\nabla u$ がともに $L^1$ で成り立つものをとる（Bre11 Theorem 9.2、p. 265）。部分列に移って $u_k\to u$ がほとんど至るところ成り立つとしてよい。Fatouの補題 により
$$ \int|u|^{n/(n-1)}\le\liminf_{k\to\infty}\int|u_k|^{n/(n-1)}\le\liminf_{k\to\infty}\prod_{i=1}^n\|\partial_iu_k\|_1^{1/(n-1)}=\prod_{i=1}^n\|\partial_iu\|_1^{1/(n-1)} $$
となる。$\square$

$r=1$ は thm-gn-r1 である。$1< r< n$ とし、まず $u\in C_c^1(\mathbb R^n)$ とする。$\gamma:=\frac{r(n-1)}{n-r}$ とおくと $\gamma>1$ である。$\gamma>1$ なので $v:=|u|^\gamma$ は $C_c^1$ 級で、$\nabla v=\gamma|u|^{\gamma-1}\operatorname{sgn}(u)\nabla u$ である。$v$ に thm-gn-r1 を当て、$r':=\frac r{r-1}$ として Hölder の不等式を使うと
$$ \|u\|_{\gamma n/(n-1)}^{\gamma}=\|v\|_{n/(n-1)}\le\|\nabla v\|_1\le\gamma\,\bigl\||u|^{\gamma-1}\bigr\|_{r'}\|\nabla u\|_r=\gamma\,\|u\|_{(\gamma-1)r'}^{\gamma-1}\|\nabla u\|_r $$
である。$\gamma$ の選び方から
$$ \frac{\gamma n}{n-1}=\frac{nr}{n-r}=r^*,\qquad(\gamma-1)r'=\frac{n(r-1)}{n-r}\cdot\frac r{r-1}=r^* $$
なので、$\|u\|_{r^*}^{\gamma}\le\gamma\|u\|_{r^*}^{\gamma-1}\|\nabla u\|_r$ である。$u\ne0$ なら $0<\|u\|_{r^*}<\infty$ なので割って $\|u\|_{r^*}\le\gamma\|\nabla u\|_r$ を得る（$u=0$ なら明らか）。
一般の $u\in W^{1,r}(\mathbb R^n)$ は、thm-gn-r1 の証明の後半と同じく、$C_c^\infty$ の列による近似（Bre11 Theorem 9.2）と Fatouの補題 で得られる。$\square$

$\frac1p=\frac a{r^*}+\frac{1-a}q$ なので、$L^p$ ノルムの補間で $s_1=r^*$、$s_2=q$ とすると $\|u\|_p\le\|u\|_{r^*}^{\,a}\|u\|_q^{\,1-a}$ である。thm-gn-sobolev により $\|u\|_{r^*}\le\frac{r(n-1)}{n-r}\|\nabla u\|_r$ なので、主張を得る。$\square$

台がコンパクトなので、部分積分で境界項は出ない。$\int|\nabla u|^2=\sum_i\int\partial_iu\,\partial_iu=-\sum_i\int u\,\partial_i^2u=-\int u\,\Delta u$ であり、右辺は Cauchy–Schwarzの不等式 により $\|u\|_2\|\Delta u\|_2$ 以下である。また部分積分を 2 回使うと
$$ \int(\Delta u)^2=\sum_{i,k}\int\partial_i^2u\,\partial_k^2u=\sum_{i,k}\int(\partial_i\partial_ku)^2=\|D^2u\|_2^2 $$
である（$\int\partial_i^2u\,\partial_k^2u=-\int\partial_iu\,\partial_i\partial_k^2u=\int\partial_k\partial_iu\,\partial_i\partial_ku$ と 2 回部分積分した）。$\square$

$v:=u^2\in C_c^1(\mathbb R^2)$ に thm-gn-r1（$n=2$）を当てると $\|v\|_2\le\bigl(\|\partial_1v\|_1\|\partial_2v\|_1\bigr)^{1/2}$ である。$\|v\|_2=\|u\|_4^2$、$\|\partial_iv\|_1=2\|u\,\partial_iu\|_1\le2\|u\|_2\|\partial_iu\|_2$ なので
$$ \|u\|_4^2\le2\|u\|_2\bigl(\|\partial_1u\|_2\|\partial_2u\|_2\bigr)^{1/2}\le2\|u\|_2\Bigl(\frac{\|\partial_1u\|_2^2+\|\partial_2u\|_2^2}2\Bigr)^{1/2}=\sqrt2\,\|u\|_2\|\nabla u\|_2 $$
である（2 番目の不等号は相加相乗平均）。$\square$

台がコンパクトなので、各 $x$ で $u(x)^2=\int_{-\infty}^x2uu'\,dt=-\int_x^\infty2uu'\,dt$ である。2 つの式を足すと $2u(x)^2\le\int_{\mathbb R}2|uu'|\,dt$ なので、$u(x)^2\le\|uu'\|_1\le\|u\|_2\|u'\|_2$ である。$\square$