Stone–von Neumannの定理

1：ユニタリ作用素の積なのでユニタリである。$\|U(x)V(y)\psi-U(x_0)V(y_0)\psi\|\le\|V(y)\psi-V(y_0)\psi\|+\|(U(x)-U(x_0))V(y_0)\psi\|$ から連続性が従う。
2・3：要点：Weyl 関係で $V(y)$ と $U(x')$ を入れ替えると位相 $e^{ix'\cdot y}$ が出て、これを整理すると $\frac i2\sigma(z,z')$ になる。3 は 2 を 2 回使う。

要点：lem-svn-weyl-operators の 2 の位相 $\frac i2\sigma(z,z')$ が、$H_N$ の積の第 3 成分の補正 $-\frac12\sigma(z,z')$ と中心の働き $e^{-it}$ でちょうど打ち消される。

1：定義式を 2 回使い、Fubini の定理（被積分関数は連続で、絶対値は $e^{-(|a|^2+|b|^2)/4}\|\varphi\|\|\psi\|$ 以下）を使うと
$$ \langle\varphi,PW(z)P\psi\rangle=(2\pi)^{-2N}\iint e^{-(|a|^2+|b|^2)/4}\langle\varphi,W(a)W(z)W(b)\psi\rangle\,da\,db $$
である。lem-svn-weyl-operators の 2 から $W(a)W(z)W(b)=e^{\frac i2(\sigma(a,z)+\sigma(a+z,b))}W(a+z+b)$ であり、$b=c-a-z$ と変数を替えると、$\sigma$ の交代性から指数は $\frac i2\sigma(a,z+c)+\frac i2\sigma(z,c)$ になる。$a$ についての積分は Gauss 積分で
$$ \int_{\mathbb{R}^{2N}}e^{-|a|^2/4-|c-z-a|^2/4}\,e^{\frac i2\sigma(a,z+c)}\,da=(2\pi)^Ne^{-(|c|^2+|z|^2)/4}\,e^{\frac i2\sigma(c,z)}\qquad(**) $$
と計算できる。位相 $e^{\frac i2\sigma(c,z)}$ と $e^{\frac i2\sigma(z,c)}$ は打ち消し合い、
$$ \langle\varphi,PW(z)P\psi\rangle=(2\pi)^{-N}e^{-|z|^2/4}\int e^{-|c|^2/4}\langle\varphi,W(c)\psi\rangle\,dc=e^{-|z|^2/4}\langle\varphi,P\psi\rangle $$
となる。
2：$\langle\varphi,P^*\psi\rangle=\overline{\langle\psi,P\varphi\rangle}=(2\pi)^{-N}\int e^{-|z|^2/4}\langle W(z)\varphi,\psi\rangle\,dz$ であり、$W(z)^*=W(-z)$ と変数 $z\mapsto-z$ により $P^*=P$ である。1 で $z=0$ とすると $P^2=P$ なので、$P$ は直交射影である。
3：$P=0$ と仮定する。任意の $z$ について $0=\langle W(z)\varphi,PW(z)\psi\rangle$ であり、lem-svn-weyl-operators の 3 から
$$ 0=(2\pi)^{-N}\int_{\mathbb{R}^{2N}}e^{i\sigma(c,z)}F(c)\,dc,\qquad F(c):=e^{-|c|^2/4}\langle\varphi,W(c)\psi\rangle $$
である。$\sigma(c,z)=c\cdot Jz$ で、$z$ が $\mathbb{R}^{2N}$ を動くと $-Jz$ も $\mathbb{R}^{2N}$ 全体を動くので、可積分な連続関数 $F$ の Fourier 変換は恒等的に $0$ である。Fourier 変換の単射性（Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」。変数の規格化の違いは影響しない）から $F=0$ であり、$F(0)=\langle\varphi,\psi\rangle=0$ がすべての $\varphi,\psi$ で成り立つ。これは $\mathcal H\neq\{0\}$ に反する。
4：$S$ がすべての $W(z)$ と可換なら、$\langle\varphi,SP\psi\rangle=\langle S^*\varphi,P\psi\rangle=(2\pi)^{-N}\int e^{-|z|^2/4}\langle\varphi,SW(z)\psi\rangle\,dz=\langle\varphi,PS\psi\rangle$ である。$M$ が保たれるなら、$W(z)^*=W(-z)$ から $M^\perp$ も保たれるので、$M$ への直交射影はすべての $W(z)$ と可換であり、$P$ とも可換である。
5：$\langle W(z)u,W(z')u'\rangle=\langle u,W(-z)W(z')u'\rangle=e^{\frac i2\sigma(-z,z')}\langle Pu,W(z'-z)Pu'\rangle$ で、$P^*=P$ と 1 から $\langle Pu,W(z'-z)Pu'\rangle=\langle u,PW(z'-z)Pu'\rangle=e^{-|z'-z|^2/4}\langle u,u'\rangle$ である。$\square$

1：$W(z)W(z')e_\alpha=e^{\frac i2\sigma(z,z')}W(z+z')e_\alpha$ なので $\mathcal H_\alpha$ は保たれる。直交性は lem-svn-projection の 5 で $\langle e_\alpha,e_\beta\rangle=0$ とすればよい。$\mathcal K:=\bigoplus_\alpha\mathcal H_\alpha$ は保たれ、$W(z)^*=W(-z)$ から $\mathcal K^\perp$ も保たれる。$e_\alpha=W(0)e_\alpha\in\mathcal K$ なので $P\mathcal H\subset\mathcal K$ であり、lem-svn-projection の 4 から $P\mathcal K^\perp\subset\mathcal K^\perp$ なので、$\mathcal K^\perp$ の上で $P=0$ である。$\mathcal K^\perp\neq\{0\}$ なら、$U$、$V$ を $\mathcal K^\perp$ に制限したものは Weyl 対で、その射影は定義から $P$ の制限 $0$ であり、lem-svn-projection の 3 に反する。よって $\mathcal K=\mathcal H$ である。
2：有限和について $T_\alpha\bigl(\sum_jc_jW(z_j)e_\alpha\bigr):=\sum_jc_jW'(z_j)u'$ と定めたい。lem-svn-projection の 5 により、両辺のノルムの 2 乗はどちらも $\sum_{j,k}\overline{c_j}c_k\,e^{-\frac i2\sigma(z_j,z_k)-|z_j-z_k|^2/4}$ に等しい。とくに左辺が $0$ なら右辺も $0$ なので $T_\alpha$ は矛盾なく定まり、ノルムを保つ。稠密な部分空間の上のノルムを保つ線形写像として閉包へ延ばすと、像は稠密な部分空間を含む閉部分空間なので $\mathcal H'_{u'}$ 全体であり、$T_\alpha$ はユニタリである。$W(z)W(z_j)=e^{\frac i2\sigma(z,z_j)}W(z+z_j)$ と $W'$ の同じ式から、生成元の上で $T_\alpha W(z)=W'(z)T_\alpha$ であり、連続性から $\mathcal H_\alpha$ 全体で成り立つ。$\square$

Schrödinger 表現の射影。 $(U_0,V_0)$ では $(W(x,y)f)(q)=e^{\frac i2x\cdot y+ix\cdot q}f(q+y)$ である。$f,g\in L^2(\mathbb{R}^N)$ について $\langle g,Pf\rangle$ の 3 重積分は絶対収束する（$\int|g(q)||f(q+y)|\,dq\le\|g\|\|f\|$）ので、まず $x$ で積分すると $\int e^{-|x|^2/4}e^{ix\cdot(q+y/2)}dx=(4\pi)^{N/2}e^{-|q+y/2|^2}$ であり、
$$ \langle g,Pf\rangle=\pi^{-N/2}\iint\overline{g(q)}f(q+y)\,e^{-|y|^2/4-|q+y/2|^2}\,dq\,dy $$
となる。$r:=q+y$ と置くと指数は $-\frac14|r-q|^2-\frac14|r+q|^2=-\frac12(|q|^2+|r|^2)$ なので、$\psi_0(q):=\pi^{-N/4}e^{-|q|^2/2}$（$\|\psi_0\|=1$）について
$$ \langle g,Pf\rangle=\langle g,\psi_0\rangle\langle\psi_0,f\rangle $$
である。すなわち $P$ は Gauss 関数 $\psi_0$ の張る $1$ 次元部分空間への直交射影である。
1。 $M\neq\{0\}$ をすべての $U_0(x)$、$V_0(y)$ で保たれる閉部分空間とし、$E$ を $M$ への直交射影とする。lem-svn-projection の 4 から $EP=PE$ なので、$E\psi_0=EP\psi_0=PE\psi_0\in\mathbb{C}\psi_0$ である。$E$ は直交射影なので $E\psi_0$ は $0$ か $\psi_0$ である。$E\psi_0=0$ なら $\psi_0\in M^\perp$ で、$M^\perp$ も保たれるので、lem-svn-decomposition の 1（$P\mathcal H=\mathbb{C}\psi_0$ なので $\mathcal H=\mathcal H_{\psi_0}$）から $M^\perp\supset\mathcal H_{\psi_0}=L^2(\mathbb{R}^N)$、すなわち $M=\{0\}$ となり仮定に反する。よって $\psi_0\in M$ で、$M\supset\mathcal H_{\psi_0}=L^2(\mathbb{R}^N)$ である。
3。 $(U,V)$ を Weyl 対とする。lem-svn-projection の 3 により $P\neq0$ なので、$P\mathcal H$ の完全正規直交系 $(e_\alpha)_{\alpha\in I}$ は空でない。lem-svn-decomposition の 1 により $\mathcal H=\bigoplus_\alpha\mathcal H_\alpha$ であり、同じ補題の 2 を Schrödinger 表現と $u'=\psi_0$ に使うと、各 $\mathcal H_\alpha$ から $\mathcal H'_{\psi_0}=L^2(\mathbb{R}^N)$ へのユニタリ作用素 $T_\alpha$ で $W$ と Schrödinger 表現の Weyl 作用素 $W_0$ を絡めるものがある。$T:=\bigoplus_\alpha T_\alpha$ が求めるものである（$U(x)=W(x,0)$、$V(y)=W(0,y)$ なので、$W$ を絡めれば $U$、$V$ も絡める）。
2。 $(U,V)$ が既約なら、3 の分解の各 $\mathcal H_\alpha$ は $\{0\}$ でない保たれる閉部分空間なので $\mathcal H$ に等しく、$I$ はただ 1 つの元からなる。よって $T$ は Schrödinger 表現とのユニタリ同値を与える。$\square$

既約なら $P$ の階数は $1$ なので $P\mathcal H=\mathbb{C}u$（$\|u\|=1$）と書ける。$S$ がすべての $W(z)$ と可換なら、lem-svn-projection の 4 から $Su=SPu=PSu\in\mathbb{C}u$ なので $Su=cu$ である。すると $SW(z)u=W(z)Su=cW(z)u$ であり、$W(z)u$ の張る部分空間は稠密（lem-svn-decomposition の 1 で $I$ が 1 点）なので $S=c\cdot1$ である。$T_1,T_2$ がともに絡めるユニタリ作用素なら $T_2^{-1}T_1$ はすべての $W(z)$ と可換なので $c\cdot1$ で、ユニタリなので $|c|=1$ である。$\square$