完備距離空間

1：$x\in\overline A$（$A$ の閉包）をとる。各 $n\in\mathbb{N}$ について開球 $B(x,1/(n+1))$ は $A$ と交わるので、$a_n\in A\cap B(x,1/(n+1))$ を選ぶ（可算選択公理）。$d(a_n,x)<1/(n+1)$ なので $a_n\to x$ であり、$(a_n)$ は $X$ の Cauchy列、したがって $A$ の Cauchy列である。$A$ の完備性からある $a\in A$ に $a_n\to a$ となる。距離空間では点列の極限は一意なので（収束 の記事の命題「Hausdorff空間では極限は一意」）$x=a\in A$ である。よって $\overline A=A$ であり、$A$ は閉集合である。
2：$(a_n)$ を $A$ の Cauchy列とすると、$X$ の Cauchy列でもあるので、$X$ の完備性からある $x\in X$ に収束する。$x$ は $A$ の点列の極限なので $x\in\overline A=A$ である。よって $(a_n)$ は $A$ の点に収束する。$\square$

1：$(f_n)$ を $B(S)$ の Cauchy列とする。各 $s\in S$ について $|f_m(s)-f_n(s)|\le d_\infty(f_m,f_n)$ なので、$(f_n(s))_n$ は実数の Cauchy列であり、$\mathbb{R}$ の完備性から極限 $f(s):=\lim_nf_n(s)$ が存在する。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ ならば $d_\infty(f_m,f_n)<\varepsilon$ となる $N$ をとる。$n\ge N$ と $s\in S$ を固定して $|f_m(s)-f_n(s)|<\varepsilon$ で $m\to\infty$ とすると、$|f(s)-f_n(s)|\le\varepsilon$ を得る。とくに $|f(s)|\le\sup_{t\in S}|f_N(t)|+\varepsilon$ なので $f\in B(S)$ であり、$n\ge N$ ならば $d_\infty(f_n,f)\le\varepsilon$ である。よって $(f_n)$ は $f$ に収束する。
2：$f_n\in C_b(S)$ が $d_\infty$ について $f\in B(S)$ に収束するとし、$f$ が連続であることを示す。$s_0\in S$ と $\varepsilon>0$ をとり、$d_\infty(f_n,f)<\varepsilon/3$ となる $n$ を一つ固定する。$f_n$ は連続なので、$s_0$ の開近傍 $W$ で、$s\in W$ ならば $|f_n(s)-f_n(s_0)|<\varepsilon/3$ となるものがある。$s\in W$ ならば
$$ |f(s)-f(s_0)|\le|f(s)-f_n(s)|+|f_n(s)-f_n(s_0)|+|f_n(s_0)-f(s_0)|<\varepsilon $$
である。よって $f$ は $s_0$ で連続であり、$f\in C_b(S)$ となる。$C_b(S)$ は極限をとる操作で閉じているので、prop-complete-metric-space-closed の 1 の証明と同じ議論（閉包の点は $C_b(S)$ の点列の極限である）により $B(S)$ の閉集合であり、prop-complete-metric-space-closed の 2 により完備である。$\square$

1 ⇒ 2：各 $n$ について $x_n\in F_n$ を選ぶ（可算選択公理）。$m,n\ge N$ ならば $x_m,x_n\in F_N$ なので $d(x_m,x_n)\le\operatorname{diam}F_N$ であり、$\operatorname{diam}F_N\to0$ から $(x_n)$ は Cauchy列である。完備性からある $x\in X$ に $x_n\to x$ となる。$n$ を固定すると、$m\ge n$ のすべての $x_m$ は閉集合 $F_n$ に属するので、その極限 $x$ も $F_n$ に属する。よって $x\in\bigcap_nF_n$ である。$y$ も共通部分の点なら、すべての $n$ で $d(x,y)\le\operatorname{diam}F_n$ なので $d(x,y)=0$、すなわち $y=x$ である。
2 ⇒ 1：$(x_n)$ を Cauchy列とし、$T_n:=\{x_m\mid m\ge n\}$、$F_n:=\overline{T_n}$ とおく。$F_n$ は空でない閉集合の減少列である。$p,q\in F_n$ と $\eta>0$ に対し、$d(p,p')<\eta$、$d(q,q')<\eta$ となる $p',q'\in T_n$ があるので $d(p,q)<\operatorname{diam}T_n+2\eta$ であり、$\operatorname{diam}F_n=\operatorname{diam}T_n$ となる。Cauchy列 の記事の命題「尾部の直径による特徴づけ」により $\operatorname{diam}T_n\to0$ なので、2 から $x\in\bigcap_nF_n$ がとれる。$x_n,x\in F_n$ より $d(x_n,x)\le\operatorname{diam}F_n\to0$ なので $(x_n)$ は $x$ に収束する。$\square$

$x\in X$ とする。$A$ は稠密なので、prop-complete-metric-space-closed の 1 の証明と同様に、$x$ に収束する $A$ の点列 $(a_n)$ がとれる。$(a_n)$ は Cauchy列であり、一様連続写像は Cauchy列を Cauchy列に移すので（Cauchy列 の記事の命題「一様連続写像による保存」）、$(f(a_n))$ は $Y$ の Cauchy列であり、$Y$ の完備性から収束する。極限は列の選び方によらない。実際、$(a'_n)$ も $x$ に収束する $A$ の点列なら、交互に並べた列 $a_0,a'_0,a_1,a'_1,\dots$ も $x$ に収束するので、その像も収束し、その二つの部分列 $(f(a_n))$、$(f(a'_n))$ の極限は一致する。そこで $F(x):=\lim_nf(a_n)$ と定める。$x\in A$ なら定数列 $a_n=x$ をとれるので $F(x)=f(x)$ である。
一様連続性：$\varepsilon>0$ に対し、$a,a'\in A$、$d_X(a,a')<\delta$ ならば $d_Y(f(a),f(a'))<\varepsilon$ となる $\delta>0$ をとる。$x,x'\in X$、$d_X(x,x')<\delta$ とし、$a_n\to x$、$a'_n\to x'$ となる $A$ の点列をとる。三角不等式から $|d_X(a_n,a'_n)-d_X(x,x')|\le d_X(a_n,x)+d_X(a'_n,x')\to0$ なので、十分大きい $n$ で $d_X(a_n,a'_n)<\delta$、したがって $d_Y(f(a_n),f(a'_n))<\varepsilon$ である。同様に $d_Y(f(a_n),f(a'_n))\to d_Y(F(x),F(x'))$ なので $d_Y(F(x),F(x'))\le\varepsilon$ となる。よって $F$ は一様連続であり、とくに連続である。
一意性：$G\colon X\to Y$ も $f$ の連続な延長とする。$x\in X$ と $a_n\to x$ に対し、連続写像は点列の収束を保つので（収束 の記事の命題「連続写像は収束を保つ」）、$G(x)=\lim_nG(a_n)=\lim_nf(a_n)=F(x)$ である。
等長性：$f$ が等長写像なら、上の記号で $d_Y(F(x),F(x'))=\lim_nd_Y(f(a_n),f(a'_n))=\lim_nd_X(a_n,a'_n)=d_X(x,x')$ である。$\square$

存在：$X=\emptyset$ なら $\widehat X=\emptyset$ とすればよい。$X\neq\emptyset$ とし、点 $a\in X$ を固定する。$x\in X$ に対し、関数 $\varphi_x\colon X\to\mathbb{R}$ を
$$ \varphi_x(z):=d(z,x)-d(z,a) $$
で定める。三角不等式により $|d(z,x)-d(z,y)|\le d(x,y)$ がすべての $z$ で成り立つので、$|\varphi_x(z)|\le d(x,a)$ から $\varphi_x\in B(X)$ であり、$x,y\in X$ について
$$ d_\infty(\varphi_x,\varphi_y)=\sup_{z\in X}|d(z,x)-d(z,y)|\le d(x,y) $$
である。$z=y$ とすると $|d(y,x)-d(y,y)|=d(x,y)$ なので、上限は $d(x,y)$ に等しい。よって $\iota(x):=\varphi_x$ は等長写像 $X\to B(X)$ である。$\widehat X$ を $\iota(X)$ の $B(X)$ における閉包とし、$\widehat d$ を $d_\infty$ の制限とする。$B(X)$ は完備なので（prop-complete-metric-space-bounded-functions の 1）、その閉集合 $\widehat X$ は完備であり（prop-complete-metric-space-closed の 2）、$\iota(X)$ は定義により $\widehat X$ で稠密である。
一意性：$\iota'\circ\iota^{-1}\colon\iota(X)\to\widehat X'$ は等長写像であり、$\iota(X)$ は $\widehat X$ で稠密、$\widehat X'$ は完備である。thm-complete-metric-space-extension により、これは等長写像 $j\colon\widehat X\to\widehat X'$ に延長され、$j\circ\iota=\iota'$ となる。同様に $\iota\circ\iota'^{-1}$ は等長写像 $k\colon\widehat X'\to\widehat X$ に延長される。$k\circ j\colon\widehat X\to\widehat X$ は連続で $\iota(X)$ 上で恒等写像なので、thm-complete-metric-space-extension の一意性（恒等写像 $\iota(X)\to\widehat X$ の連続な延長は一つ）により $k\circ j=\mathrm{id}$ であり、同様に $j\circ k=\mathrm{id}$ である。よって $j$ は全単射である。$j$ の一意性も、$j\circ\iota=\iota'$ を満たす連続写像が $\iota(X)$ 上で決まることと延長の一意性から従う。$\square$

帰納法により $d(x_{k+1},x_k)\le c^k\,d(x_1,x_0)$ である（$d(x_{k+1},x_k)=d(T(x_k),T(x_{k-1}))\le c\,d(x_k,x_{k-1})$）。$m>n$ ならば三角不等式から
$$ d(x_m,x_n)\le\sum_{k=n}^{m-1}d(x_{k+1},x_k)\le\sum_{k=n}^{\infty}c^k\,d(x_1,x_0)=\frac{c^n}{1-c}\,d(x_1,x_0) $$
であり、$c^n\to0$ なので $(x_n)$ は Cauchy列である。完備性からある $x^\ast\in X$ に $x_n\to x^\ast$ となる。$T$ は $d(T(x),T(y))\le c\,d(x,y)$ を満たすので連続であり、$T(x^\ast)=\lim_nT(x_n)=\lim_nx_{n+1}=x^\ast$ である。上の不等式で $m\to\infty$ とすると誤差の評価を得る（距離の連続性は thm-complete-metric-space-extension の証明と同じ三角不等式の評価による）。$y^\ast$ も不動点なら $d(x^\ast,y^\ast)=d(T(x^\ast),T(y^\ast))\le c\,d(x^\ast,y^\ast)$ で $c<1$ なので $d(x^\ast,y^\ast)=0$ である。$\square$