特異単体的集合

前提知識: 単体的集合, 単体圏Δ, 連続写像, 基本亜群

位相空間 $Y$ の特異単体的集合 $\operatorname{Sing}Y$ は、標準単体から $Y$ への連続写像をすべて集め、面への制限と退化（座標の足し合わせとの合成）を構造写像とした単体的集合である。頂点は $Y$ の点、辺は $Y$ の道、$2$ 単体は $Y$ に描いた三角形であり、$\operatorname{Sing}Y$ は $Y$ のホモトピー論的な情報を組合せ的な形で記録する。$\operatorname{Sing}Y$ はいつも Kan複体 であり、その単体を基底とする自由アーベル群に面の交代和を入れた鎖複体は 特異ホモロジー の特異鎖複体そのものである。
この記事では主定理として $\operatorname{Sing}Y$ の基本圏が $Y$ の基本亜群と同型であることを証明し、$\operatorname{Sing}$ が極限と非交和を保つが押し出しを保たないこと、幾何学的実現 との随伴とホモトピー群の比較（引用）を述べる。

定義

記号は 単体的集合 と 単体圏Δ に従う。$[n]=\{0<1< \dots< n\}$ とし、順序を保つ写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ を $\Delta$ の射とする。$\delta^i\colon[n-1]\to[n]$ は $i$ を飛ばす単射、$\sigma^i\colon[n+1]\to[n]$ は $i$ を 2 回とる全射である。
$n\ge0$ に対し、$\mathbb{R}^{n+1}$ の部分空間
$$ \lvert\Delta^n\rvert:=\{(t_0,\dots,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid t_i\ge0,\ t_0+\dots+t_n=1\} $$
を位相的 $n$ 単体という。$\alpha\colon[m]\to[n]$ に対し、頂点 $e_i$ を $e_{\alpha(i)}$ に送るアフィン写像
$$ \lvert\alpha\rvert\colon\lvert\Delta^m\rvert\to\lvert\Delta^n\rvert,\qquad\lvert\alpha\rvert(t)_j:=\sum_{i\,:\,\alpha(i)=j}t_i $$
を考える（和が空なら $0$）。$\lvert\alpha\circ\beta\rvert=\lvert\alpha\rvert\circ\lvert\beta\rvert$ は $\sum_{i:\alpha(i)=j}\sum_{l:\beta(l)=i}t_l=\sum_{l:\alpha\beta(l)=j}t_l$ から従い、$\lvert\mathrm{id}\rvert=\mathrm{id}$ である。$\lvert\delta^i\rvert$ は $i$ 番目に座標 $0$ を挿入する埋め込みで、像は面 $\{t_i=0\}$ である。$\lvert\sigma^i\rvert$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の座標を足し合わせる写像である。

$(\alpha\beta)^*\sigma=\sigma\circ\lvert\alpha\rvert\circ\lvert\beta\rvert=\beta^*(\alpha^*\sigma)$、$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$ なので、$\operatorname{Sing}Y$ は $\Delta^{\mathrm{op}}$ から集合の圏への関手、すなわち単体的集合である。$g\circ(\sigma\circ\lvert\alpha\rvert)=(g\circ\sigma)\circ\lvert\alpha\rvert$ なので $\operatorname{Sing}g$ は構造写像と可換であり、$\operatorname{Sing}(g'\circ g)=\operatorname{Sing}g'\circ\operatorname{Sing}g$ から $\operatorname{Sing}$ は位相空間の圏から単体的集合の圏への関手である。面写像と退化写像は
$$ d_i\sigma=\sigma\circ\lvert\delta^i\rvert\ (\text{面 }\{t_i=0\}\text{ への制限}),\qquad s_i\sigma=\sigma\circ\lvert\sigma^i\rvert $$
である。May92 Example 1.5（p. 2）はこれを $Y$ の total singular complex $S(Y)$ と呼んでいる。

低い次元の単体

$\lvert\Delta^0\rvert$ は 1 点なので、$\operatorname{Sing}Y$ の頂点は $Y$ の点と同じである。$\lvert\Delta^1\rvert$ を $\lambda\mapsto(1-\lambda,\lambda)$ で $[0,1]$ と同一視し、辺 $\sigma$ に道 $\gamma_\sigma(\lambda):=\sigma(1-\lambda,\lambda)$ を対応させる。$d_1\sigma=\sigma(e_0)=\gamma_\sigma(0)$、$d_0\sigma=\sigma(e_1)=\gamma_\sigma(1)$ なので、辺 $\sigma$ は $d_1\sigma$ から $d_0\sigma$ への道であり、この対応は辺の集合と道の集合の全単射である。以下、辺とその道を同じ文字で書く。頂点 $y$ の退化した辺 $s_0y=y\circ\lvert\sigma^0\rvert$ は $y$ にとどまる定値の道 $c_y$ である。
$2$ 単体 $\sigma\colon\lvert\Delta^2\rvert\to Y$ は $Y$ に描いた三角形で、その 3 辺は $d_2\sigma$（$e_0$ から $e_1$）、$d_0\sigma$（$e_1$ から $e_2$）、$d_1\sigma$（$e_0$ から $e_2$）である。一般に $\sigma$ が退化していることは、ある $i$ について $\sigma$ が $\lvert\sigma^i\rvert$ を通って $\lvert\Delta^{n-1}\rvert$ から来ることであり、定値の $n$ 単体（$n\ge1$）は退化している。

$\operatorname{Sing}Y$ は Kan 複体である。すなわち、すべての $n\ge1$、$0\le k\le n$ について、ホーン $\Lambda^n_k\to\operatorname{Sing}Y$ は $\Delta^n\to\operatorname{Sing}Y$ に延びる。これは、ホーンの実現 $\{t\in\lvert\Delta^n\rvert\mid\text{ある }j\ne k\text{ で }t_j=0\}$ が $\lvert\Delta^n\rvert$ のレトラクトであることから従う（Kan複体 の定理「特異単体的集合は Kan 複体である」、May92 Lemma 1.5、p. 3）。

主定理：基本圏と基本亜群

単体的集合 $K$ の基本圏 $hK$ を、頂点を対象とし、辺 $e$ を $d_1e$ から $d_0e$ への射の生成元とする自由圏を、次の関係で割った圏とする（Kan複体 の節「連結成分とホモトピー圏」）。

• $2$ 単体 $\tau$ ごとに $[d_1\tau]=[d_0\tau]\circ[d_2\tau]$。
• 頂点 $x$ ごとに $[s_0x]=\mathrm{id}_x$。
  $hK$ の射は、つながる辺の有限列の類である。一方、$Y$ の基本亜群 $\Pi_1(Y)$ は、$Y$ の点を対象とし、道の端点を固定したホモトピー類を射とする圏で、合成は $[\delta]\circ[\gamma]:=[\gamma\cdot\delta]$（道 $\gamma$ のあとに $\delta$ をたどる）である。端点を固定したホモトピーを $\simeq$ と書く。
  次の補題は、$\operatorname{Sing}Y$ の $2$ 単体が「道のホモトピー」そのものであることを述べる。$\lvert\Delta^2\rvert$ の中の 2 本の道
  $$ b(\lambda):=\begin{cases}(1-2\lambda,\,2\lambda,\,0)&(0\le\lambda\le\tfrac12)\\(0,\,2-2\lambda,\,2\lambda-1)&(\tfrac12\le\lambda\le1)\end{cases},\qquad c(\lambda):=(1-\lambda,\,0,\,\lambda) $$
  を考える。$b$ は $e_0\to e_1\to e_2$ と 2 辺をたどり、$c$ は $e_0$ から $e_2$ へ直進する。

この証明では Kan 条件を引用せず、段 2 で必要な $2$ 単体を lem-sing-triangle の 2 で直接作った。

極限と余極限

一方、$\operatorname{Sing}$ は押し出しを保たない（下の反例の表の 1 行目）。これは $\operatorname{Sing}$ が 幾何学的実現 $\lvert\cdot\rvert$ の右随伴であることと整合する：右随伴は極限を保つが、余極限は一般に保たない。

幾何学的実現とホモトピー型

単体的集合 $X$ と位相空間 $Y$ について、自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Top}}(\lvert X\rvert,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(X,\operatorname{Sing}Y),\qquad f\mapsto(x\mapsto f\circ\iota_x) $$
がある（$\iota_x$ は単体 $x$ の特性写像）。すなわち $\lvert\cdot\rvert\dashv\operatorname{Sing}$ であり、余単位は $\varepsilon_Y\colon\lvert\operatorname{Sing}Y\rvert\to Y$、$[\sigma,t]\mapsto\sigma(t)$ である（幾何学的実現 の定理「幾何学的実現と特異単体的集合の随伴」）。
ホモトピー論の側では、次の比較が成り立つ。どれもこの記事では証明しない。

• Kan 複体 $\operatorname{Sing}Y$ の組合せ的なホモトピー群（境界を頂点 $y$ に送る $n$ 単体のホモトピー類）は、$Y$ のホモトピー群 $\pi_n(Y,y)$ と同型である（May92 Theorem 16.1、p. 62）。$n=0,1$ の場合が上の cor-sing-components である。
• 余単位 $\varepsilon_Y$ は、すべての $n$ と基点でホモトピー群の同型を誘導する。すなわち弱ホモトピー同値である（May92 Theorem 16.6 (ii)、p. 65）。$Y$ が CW 複体なら $\varepsilon_Y$ はホモトピー同値である（同）。
• $\varepsilon_Y$ は特異ホモロジーの同型も誘導する（May92 Proposition 16.2 (ii)、p. 63）。
  この比較により、$\operatorname{Sing}Y$ は $Y$ の弱ホモトピー型を記録する組合せ的な模型であり、Kan 複体を「空間」とみなす 空間の∞圏 の出発点になる。位相空間で豊穣された圏の射空間に $\operatorname{Sing}$ を施すと単体的豊穣圏が得られるのも、この性質による（単体的豊穣圏 の命題「位相圏と単体的豊穣圏の比較」）。

特異鎖との関係

$\operatorname{Sing}Y$ の $n$ 単体を基底とする自由アーベル群 $\mathbb{Z}[(\operatorname{Sing}Y)_n]$ は単体的アーベル群をなし、境界 $\partial=\sum_{i=0}^n(-1)^id_i$ を入れた鎖複体は、定義からそのまま 特異ホモロジー の特異鎖複体 $C_\bullet(Y)$ である（$d_i\sigma=\sigma\circ\lvert\delta^i\rvert$ は特異単体の $i$ 番目の面）。単体的集合 $K$ のホモロジーをこの鎖複体のホモロジーとして定めると、$H_n(\operatorname{Sing}Y)=H_n(Y)$ である（May92 §2、p. 5）。退化した単体の生成する部分複体は可縮なので、退化単体を除いた正規化鎖複体でも同じホモロジーが得られる（単体的対象 の定理「正規化定理と Dold–Kan 対応」の 1）。

反例

補足

• 写像空間：$\operatorname{Sing}Y$ を∞圏とみたとき、頂点 $x,y$ の間の写像空間は、$x$ から $y$ への道の空間（コンパクト開位相、コンパクト生成空間の圏で扱う）の特異単体的集合と同型である（写像空間(∞圏) の命題「特異単体的集合の写像空間は道の空間」）。
• 条件付きの単体：特異単体に条件を課して、面と退化で閉じた部分単体的集合を作ることがある。層別空間の出口道の∞圏（出口道の∞圏）はその例である。
• 積の位相：コンパクト生成空間の圏では、$\operatorname{Sing}$ は直積位相を $k$ 化した積も保つ（幾何学的実現 の命題「特異単体的集合は有限積を保つ」）。

関連項目

• 前提: 単体的集合, 位相空間, 基本亜群
• 比較: 幾何学的実現, Kan複体, 脈体
• 直後に読む: 特異ホモロジー, ホモトピー群, Kan–Quillenモデル構造
• 発展: 空間の∞圏, 単体的豊穣圏, 出口道の∞圏