自然変換(∞圏)

概要

定義

$\mathcal C,\mathcal D$ を準圏とする。準圏は内部ホーンを充填できる単体的集合であり、∞-圏の関手（関手(∞圏)）$F:\mathcal C\to\mathcal D$ は単体的集合の写像である。

∞圏の自然変換

関手∞圏（関手圏(∞圏)）を
$$\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)_n= \operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(\mathcal C\times\Delta^n,\mathcal D)$$
とする。この単体的集合が準圏であることと、その基本性質は関手圏(∞圏) の記事が扱う。関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ の間の自然変換 $\alpha:F\to G$ は、この準圏の辺である。同値に、写像
$$\alpha:\mathcal C\times\Delta^1\to\mathcal D$$
で、端点0への制限が $F$、端点1への制限が $G$ となるものをいう。

各頂点 $x$ への制限が成分 $\alpha_x:F(x)\to G(x)$ を与える。定義は HTT09 §1.2.7 Notation 1.2.7.2、関手圏の準圏性は同節の Proposition 1.2.7.3 による。
自然変換は必ずしも可逆ではない。関手∞圏で同値射となる変換を自然同値という。同値射とは、ホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）に移したとき同型になる辺のことである。

直感

通常の自然性の四角形は、∞圏では整合的な2単体に置き換わる。$\mathcal C\times\Delta^1$ のすべての高次単体への像を指定することで、自然性のホモトピー同士の整合性まで含める。
単に「各対象で射を一本選び、各矢印で四角形をホモトピー可換にする」だけでは、一般に全データを与えたことにならない。自然性は対象別の条件ではなく、図式全体の条件である。

例

通常の自然変換の回復

$\mathcal C=N(A),\mathcal D=N(B)$ が通常の圏の脈体なら、$\alpha$ は関手 $A\times[1]\to B$ と同じである。このデータは通常の自然変換 $F\to G$ を与え、四角形の可換性は通常の等式となる。

一対象の添字

$\mathcal C=*$ なら、$F,G$ は $\mathcal D$ の二対象であり、自然変換はその間の射である。$\mathcal D=N(0\to1)$ の射 $0\to1$ は自然変換だが自然同値ではない。

空間を値域とする場合

$\mathcal C=*$、$\mathcal D=X$ がKan複体なら、自然変換は $X$ の二点を結ぶ道であり、可逆な射となる。一般に図式 $F,G:\mathcal C\to X$ の自然変換は、すべての高次整合性を含む図式の変形である。

反例：各対象に成分があっても変換は存在しない

$A=B$ を群 $\mathbb Z/2$ の一対象圏とし、$F$ を恒等関手、$G$ をすべての射を単位に送る関手とする。唯一の対象では $F(*)$ から $G(*)$ への射を選べる。しかし自然性は非単位元 $g$ に対して $\alpha=\alpha g$ を要求し、群での消去によって $g=e$ という矛盾が出る。従って成分の存在だけでは自然変換にならない。

性質

通常版の自然性との一致

通常の圏の脈体における自然変換は、通常の自然変換と一対一に対応する。HTT09 §1.2.7。この対応を関手∞圏全体の同型 $\operatorname{Fun}(N(A),N(B))\cong N(\operatorname{Fun}(A,B))$ に拡張した形は関手(∞圏)・関手圏(∞圏) の記事の命題が扱う。ここでは辺、すなわち自然変換の部分だけを示す。

積圏の可換四角形

$N(A)\times\Delta^1=N(A\times[1])$ である。$A\times[1]\to B$ の端点の制限は $F,G$、辺 $(x,0)\to(x,1)$ の像は $\alpha_x$ になる。積圏の四角形を保存することが $G(f)\alpha_x=\alpha_yF(f)$ である。逆にこの等式を満たす族から積圏上の関手が定まる。

前合成・後合成

$K:\mathcal B\to\mathcal C$ と $L:\mathcal D\to\mathcal E$ に対して、自然変換 $\alpha$ から $\alpha K:FK\to GK$ と $L\alpha:LF\to LG$ を得る。

単体的写像の合成

前者は $\mathcal B\times\Delta^1\xrightarrow{K\times1}\mathcal C\times\Delta^1\xrightarrow{\alpha}\mathcal D$、後者は $L\circ\alpha$ と定める。いずれも端点への制限が要求された関手になり、面・退化との可換性は単体的写像の合成から従う。

自然同値の判定

すでに自然変換 $\alpha$ が与えられているなら、それが自然同値であることと、すべての $\alpha_x$ が $\mathcal D$ の同値射であることは同値である。これは点ごとの同値判定の定理であり、成分を任意に並べれば自然変換を作れるという主張ではない。KerNat §4.4 Theorem 4.4.4.4（Tag 01DK）。
自然変換の垂直合成は、関手∞圏における射の合成として与えられる。選んだ合成とその整合性を含めて扱うので、すべての準圏の表示で厳密な合成演算をあらかじめ選ぶ必要はない。

自然変換の空間と豊穣表示

自然変換は、写像空間（写像空間(∞圏)）
$$ \operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)}(F,G) $$
の点として捉えられる。写像空間は、射だけでなく射の間のホモトピーも含むKan複体で表示できる。右写像空間 $\operatorname{Hom}^R$・左写像空間 $\operatorname{Hom}^L$・円柱モデルのどれを用いてもよく、これらは互いに弱同値である（HTT09 §4.2.1）。この空間は
$$ \int_c\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(c),G(c)) $$
という∞圏のエンド（エンド(∞圏)）により記述される。エンドは左ねじれ矢印∞圏上の極限（極限(∞圏)）であり、$c\to d$ に $\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(c),G(d))$ を対応させて取る（ねじれ矢印圏の向きは同論文の規約に従う）。Hau21 §§3–4。
単体的豊穣圏の厳密な自然変換対象とは、適切なモデルと導来化を介して比較する。局所KanなHomであることだけで、未置換の厳密エンドが上の空間を計算すると断定しない。HTT09 §1.2.7 Remark 1.2.7.1、Hau21 Remark 4.7。