固定体

(i) $\sigma\in S$ は体の準同型なので、$\sigma(x)=x$、$\sigma(y)=y$ なら $\sigma(x\pm y)=x\pm y$、$\sigma(xy)=xy$、$x\ne0$ のとき $\sigma(x^{-1})=x^{-1}$ である。$\sigma(1)=1$ だから、$1$ から加減乗除で作られる素体の元はすべて固定される。
(ii) $x\in L$ に対し $\operatorname{Stab}(x)=\{\sigma\in\operatorname{Aut}(L)\mid\sigma(x)=x\}$ とおく。$\sigma(x)=x$ なら $\sigma^{-1}(x)=x$ であり、合成も閉じるので $\operatorname{Stab}(x)$ は部分群である。$x\in L^S$ は $S\subset\operatorname{Stab}(x)$ と同じことで、部分群は $S$ を含めば $\langle S\rangle$ も含むから、$\langle S\rangle\subset\operatorname{Stab}(x)$ すなわち $x\in L^{\langle S\rangle}$ と同値である。
(iii)・(iv)・(vi) は定義からただちに従う。
(v) (iv) を $S$ に当てると $S\subset\operatorname{Aut}(L/L^S)$ であり、(iii) により $L^{\operatorname{Aut}(L/L^S)}\subset L^S$ を得る。逆に (iv) の後半を $M=L^S$ に当てると $L^S\subset L^{\operatorname{Aut}(L/L^S)}$ である。後半も同様で、(iv) の後半と (iii) の後半から $\operatorname{Aut}(L/L^{\operatorname{Aut}(L/M)})\subset\operatorname{Aut}(L/M)$、(iv) の前半を $S=\operatorname{Aut}(L/M)$ に当てて逆の包含を得る。
(vii) $x\in L^S$、$\sigma\in S$ なら $\tau\sigma\tau^{-1}(\tau(x))=\tau(\sigma(x))=\tau(x)$ なので $\tau(L^S)\subset L^{\tau S\tau^{-1}}$ である。$\tau^{-1}$ と $\tau S\tau^{-1}$ に同じ議論を当てると $\tau^{-1}(L^{\tau S\tau^{-1}})\subset L^S$ となり、等号を得る。$\blacksquare$

$M=L^S$ なら (v) の前半により $L^{\operatorname{Aut}(L/M)}=M$ であり、逆は $S=\operatorname{Aut}(L/M)$ とすればよい。部分群についても (v) の後半から同様である。条件を満たす $M$ に対して $H=\operatorname{Aut}(L/M)$ は $H=\operatorname{Aut}(L/L^H)$ を満たし（$L^H=M$ だから）、$L^H=M$ と戻る。条件を満たす $H$ についても同じである。包含を逆にすることは (iii) による。$\blacksquare$

(i) $E\subset L^H\subset L$ だから $[L:E]=[L:L^H]\,[L^H:E]$ である。Artin の定理より $[L:L^H]=|H|\ge[L:E]$ なので $[L^H:E]=1$、すなわち $E=L^H$ である。
(ii) $L^{H_1}=L^{H_2}$ なら、Artin の定理により $H_1=\operatorname{Gal}(L/L^{H_1})=\operatorname{Gal}(L/L^{H_2})=H_2$ となる。$\blacksquare$

prop-fixed-field-basic (ii) により、$\tau$ で固定される元を求めればよい。
多項式への帰着. $f\in L$ を、互いに素な $g,h\in k[t]$（$h$ はモニック）で $f=g/h$ と表す。この表し方は一意である。$\tau$ は $k[t]$ の環自己同型 $g(t)\mapsto g(t+1)$ を引き起こすので、$g(t+1)$ と $h(t+1)$ も互いに素で（共通因子 $d$ があれば $\tau^{-1}(d)$ が $g,h$ の共通因子になる）、$h(t+1)$ はモニックである。従って $\tau(f)=g(t+1)/h(t+1)$ も既約な表し方であり、$\tau(f)=f$ は $g(t+1)=g(t)$ かつ $h(t+1)=h(t)$ と同値である。よって $L^{\tau}$ は、固定される多項式の商全体である。
標数 $0$. $g$ が次数 $n\ge1$、最高次係数 $c$ なら、$g(t+1)-g(t)$ の $t^{n-1}$ の係数は $nc$ である（$t^n$ の項からだけ生じ、$t^{n-1}$ の項の寄与は打ち消し合う）。標数 $0$ では $nc\ne0$ なので $g$ は固定されない。よって固定される多項式は定数だけで、$L^{\langle\tau\rangle}=k$ である。また $\tau^m(t)=t+m\ne t$（$m\ge1$）なので $\tau$ の位数は無限である。
標数 $p$. $\tau^m(t)=t+m$ は $0< m< p$ で $t$ と異なり、$m=p$ で $t$ に戻るので位数は $p$ である。$u:=t^p-t$ とおくと $(t+1)^p=t^p+1$ より $\tau(u)=u$ である。
まず、任意の $g\in k[t]$ がただ一通りに
$$ g=\sum_{i=0}^{p-1}a_i(u)\,t^i\qquad(a_i\in k[X]) $$
と書けることを示す。$1,t,\dots,t^{p-1}$ の $k[u]$ 係数の和の全体を $N$ とする。$t\cdot t^{p-1}=t^p=u+t$ だから $N$ は $t$ 倍で閉じ、$1$ を含むので $k[t]$ 全体に等しい。一意性は次数で分かる。$a_i\ne0$ なら $a_i(u)t^i$ の次数は $p\deg a_i+i$ で、$i$ ごとに $p$ で割った余りが異なる。よって $0$ でない項の次数はすべて異なり、和は $0$ にならない。
$g=\sum_ia_i(u)t^i$ が固定されるとする。$\tau(a_i(u))=a_i(u)$ だから
$$ \tau(g)-g=\sum_{i=1}^{p-1}a_i(u)\bigl((t+1)^i-t^i\bigr)=\sum_{j=0}^{p-2}\Bigl(\sum_{i=j+1}^{p-1}\binom ij a_i(u)\Bigr)t^j $$
であり、右辺はすでに上の形の表し方になっている。$a_i\ne0$ となる最大の $i$ を $m$ とし、$m\ge1$ と仮定すると、$t^{m-1}$ の係数は $m\,a_m(u)$ である。$1\le m\le p-1$ なので $m$ は $k$ で $0$ でなく、この係数は $0$ でない。一意性から $\tau(g)\ne g$ となり矛盾する。よって $g=a_0(u)\in k[u]$ であり、逆に $k[u]$ の元は固定される。固定される多項式が $k[u]$ なので $L^{\langle\tau\rangle}=k(u)$ である。次数は Artin の定理から $[L:L^{\langle\tau\rangle}]=p$ である（$t$ が $X^p-X-u\in k(u)[X]$ の根であることからも上界が分かる）。$\blacksquare$