Lie微分

流れの定義により曲線 $t\mapsto\varphi_t(p)$ は $t=0$ で $p$ を通り、そこでの速度ベクトルは $X_p$ である。$\varphi_t^\ast f=f\circ\varphi_t$ なので
$$(\mathcal{L}_Xf)(p)=\lim_{t\to0}\frac{f(\varphi_t(p))-f(p)}{t}=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}f(\varphi_t(p))$$
であり、右辺は合成関数 $t\mapsto f(\varphi_t(p))$ の $t=0$ での微分なので、連鎖律により $df_p\bigl(\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\varphi_t(p)\bigr)=df_p(X_p)=X_p(f)$ に等しい。$\square$

$p\in M$ と $f\in C^\infty(M)$ を固定する。$(\mathcal{L}_XY)_p$ は $T_pM$ 内の曲線 $t\mapsto(\varphi_t^\ast Y)_p$ の $t=0$ での微分であり、$v\mapsto v(f)$ は $T_pM$ 上の線形写像なので、
$$(\mathcal{L}_XY)_p(f)=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(\varphi_t^\ast Y)_p(f)$$
である。ここで $(\varphi_t^\ast Y)_p(f)=\bigl(d(\varphi_{-t})(Y_{\varphi_t(p)})\bigr)(f)=Y_{\varphi_t(p)}(f\circ\varphi_{-t})$ である。$F(q,u):=f(\varphi_{-u}(q))$ は $(q,u)$ について滑らかで、$H(t,u):=Y_{\varphi_t(p)}\bigl(F(\cdot,u)\bigr)$ とおくと $(\varphi_t^\ast Y)_p(f)=H(t,t)$ なので、連鎖律により
$$(\mathcal{L}_XY)_p(f)=\frac{\partial H}{\partial t}(0,0)+\frac{\partial H}{\partial u}(0,0)$$
である。第 1 項は $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\,(Yf)(\varphi_t(p))=X_p(Yf)$（prop-lie-deriv-scalar を関数 $Yf$ に適用）。第 2 項は、$Y_p$ が $q$ についての 1 階微分作用素であり $F$ が滑らかなので $u$ についての微分と交換でき、
$$\frac{\partial H}{\partial u}(0,0)=\frac{d}{du}\Big|_{u=0}Y_p\bigl(F(\cdot,u)\bigr)=Y_p\Bigl(\frac{d}{du}\Big|_{u=0}F(\cdot,u)\Bigr)=Y_p(-Xf)$$
である（$\frac{d}{du}\big|_{u=0}f(\varphi_{-u}(q))=-X_q(f)$ を prop-lie-deriv-scalar から用いた）。よって $(\mathcal{L}_XY)_p(f)=X_p(Yf)-Y_p(Xf)=[X,Y]_p(f)$ であり、$f$ は任意なので $(\mathcal{L}_XY)_p=[X,Y]_p$ である。$\square$

$g\in C^\infty(M)$ に対し
$$[X,Y](g)=\sum_kX^k\partial_k\Bigl(\sum_jY^j\partial_jg\Bigr)-\sum_kY^k\partial_k\Bigl(\sum_jX^j\partial_jg\Bigr)=\sum_j\Bigl(\sum_kX^k\partial_kY^j-Y^k\partial_kX^j\Bigr)\partial_jg+\sum_{j,k}\bigl(X^kY^j-Y^kX^j\bigr)\partial_k\partial_jg$$
であり、最後の和は $\partial_k\partial_jg=\partial_j\partial_kg$ と添字 $j,k$ の入れ替えにより $0$ になるので成分表示を得る。反対称性は定義 $[X,Y]g=X(Yg)-Y(Xg)$ から明らかである。$[X,fY](g)=X(fY(g))-fY(X(g))=X(f)Y(g)+f[X,Y](g)$ から第 2 の式が、反対称性と第 2 の式から $[fX,Y]=-[Y,fX]=-Y(f)X-f[Y,X]=f[X,Y]-Y(f)X$ が従う。Jacobi 恒等式は定義から展開すれば確かめられる。$\square$

$p\in M$ を固定する。引き戻しの定義から、$\varphi_t(p)$ での評価は $p$ での引き戻しの評価に等しい：$(\varphi_t^\ast\eta)_p=\eta_{\varphi_t(p)}\circ d\varphi_t$ なので $(\varphi_t^\ast\eta)_p\circ d(\varphi_{-t})_{\varphi_t(p)}=\eta_{\varphi_t(p)}$、また $d\varphi_t\bigl((\varphi_t^\ast X_b)_p\bigr)=X_{b,\varphi_t(p)}$ であり、したがって
$$\bigl(\varphi_t^\ast(T(\eta_1,\dots,X_s))\bigr)(p)=T_{\varphi_t(p)}(\eta_{1,\varphi_t(p)},\dots,X_{s,\varphi_t(p)})=(\varphi_t^\ast T)_p\bigl((\varphi_t^\ast\eta_1)_p,\dots,(\varphi_t^\ast X_s)_p\bigr)$$
である。$t\mapsto(\varphi_t^\ast T)_p$、$t\mapsto(\varphi_t^\ast\eta_a)_p$、$t\mapsto(\varphi_t^\ast X_b)_p$ はそれぞれ有限次元線形空間内の滑らかな曲線で、評価 $(T,\eta_1,\dots,X_s)\mapsto T(\eta_1,\dots,X_s)$ は多重線形なので、右辺を $t=0$ で微分すると積の微分法により
$$(\mathcal{L}_XT)_p(\eta_1,\dots,X_s)+\sum_aT_p(\dots,(\mathcal{L}_X\eta_a)_p,\dots)+\sum_bT_p(\dots,(\mathcal{L}_XX_b)_p,\dots)$$
になる。左辺を $t=0$ で微分すると prop-lie-deriv-scalar により $X_p\bigl(T(\eta_1,\dots,X_s)\bigr)$ であり、prop-lie-deriv-bracket により $\mathcal{L}_XX_b=[X,X_b]$ なので主張の式を得る。1-形式の式は $r=0$、$s=1$ の場合であり、$\eta=df$ とすると $(\mathcal{L}_Xdf)(Y)=X(Yf)-[X,Y]f=Y(Xf)=d(Xf)(Y)$ である。$\mathcal{L}_X(fT)$ と $\mathcal{L}_X(T\otimes S)$ の式は、$\varphi_t^\ast(fT)=(\varphi_t^\ast f)(\varphi_t^\ast T)$、$\varphi_t^\ast(T\otimes S)=\varphi_t^\ast T\otimes\varphi_t^\ast S$（定義から明らか）を同様に積の微分法で微分すれば得られる。$\square$

prop-lie-deriv-tensor-formula に $\eta_a=dx^{i_a}$、$X_b=\partial_{j_b}$ を代入する。$\mathcal{L}_Xdx^i=d(Xx^i)=dX^i=\sum_k\partial_kX^i\,dx^k$ であり、cor-lie-deriv-bracket-properties により $[X,\partial_j]=-\sum_k\partial_jX^k\,\partial_k$ である。よって
$$(\mathcal{L}_XT)^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}=X\bigl(T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}\bigr)-\sum_a\sum_k\partial_kX^{i_a}\,T(\dots,dx^k,\dots)+\sum_b\sum_k\partial_{j_b}X^k\,T(\dots,\partial_k,\dots)$$
となり、これが主張の式である。$\square$

$\varphi_t^\ast\omega$ は交代的なので極限 $\mathcal{L}_X\omega$ も交代的であり、$\mathcal{L}_X\omega\in\Omega^p(M)$ である。微分形式の引き戻しは外積を保つ（$\varphi_t^\ast(\omega\wedge\eta)=\varphi_t^\ast\omega\wedge\varphi_t^\ast\eta$、微分形式の記事の引き戻しの定義）ので、各点で $t\mapsto(\varphi_t^\ast\omega)_p$、$t\mapsto(\varphi_t^\ast\eta)_p$ は滑らかな曲線で $\wedge$ は双線形であり、積の微分法により $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}(\varphi_t^\ast\omega\wedge\varphi_t^\ast\eta)_p=(\mathcal{L}_X\omega)_p\wedge\eta_p+\omega_p\wedge(\mathcal{L}_X\eta)_p$ である。制限との可換性は、$X|_U$ の流れが $\varphi_t$ の制限であることから従う。$\square$

$D:=d\iota_X+\iota_Xd\colon\Omega(M)\to\Omega(M)$ とおく。$D$ は次数を保つ $\mathbb{R}$-線形写像である。
(1) $D$ は次数 $0$ の微分である。微分形式の記事の命題（外微分の Leibniz 則、内部積の Leibniz 則）により、$\omega\in\Omega^p(M)$、$\eta\in\Omega^q(M)$ に対し
$$\begin{aligned}d\iota_X(\omega\wedge\eta)&=d\bigl(\iota_X\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge\iota_X\eta\bigr)=d\iota_X\omega\wedge\eta+(-1)^{p-1}\iota_X\omega\wedge d\eta+(-1)^pd\omega\wedge\iota_X\eta+\omega\wedge d\iota_X\eta,\\ \iota_Xd(\omega\wedge\eta)&=\iota_X\bigl(d\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge d\eta\bigr)=\iota_Xd\omega\wedge\eta+(-1)^{p+1}d\omega\wedge\iota_X\eta+(-1)^p\iota_X\omega\wedge d\eta+\omega\wedge\iota_Xd\eta\end{aligned}$$
であり、辺々足すと $\iota_X\omega\wedge d\eta$ と $d\omega\wedge\iota_X\eta$ の項が打ち消し合って $D(\omega\wedge\eta)=D\omega\wedge\eta+\omega\wedge D\eta$ を得る。
(2) $D$ は $d$ と可換である：$dD=d\iota_Xd=Dd$（$d^2=0$）。
(3) $D$ と $\mathcal{L}_X$ は関数と関数の微分の上で一致する。$f\in C^\infty(M)$ に対し $Df=\iota_Xdf=df(X)=X(f)=\mathcal{L}_Xf$（prop-lie-deriv-scalar）。また $D(df)=d\iota_Xdf=d(Xf)$ であり、prop-lie-deriv-tensor-formula により $\mathcal{L}_X(df)=d(Xf)$ である。
(4) 局所性。$\mathcal{L}_X$（prop-lie-deriv-forms）、$d$、$\iota_X$ はいずれも開集合への制限と可換なので、$D$ もそうである。したがって $\mathcal{L}_X\omega=D\omega$ を示すには、座標近傍 $U$ ごとに $U$ 上で示せばよい。
(5) $U$ 上で $\omega=\sum_I\omega_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ と書く。$\mathcal{L}_X$ と $D$ はともに $\mathbb{R}$-線形な次数 $0$ の微分（prop-lie-deriv-forms と (1)）なので、
$$\mathcal{L}_X\omega=\sum_I\Bigl(\mathcal{L}_X\omega_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}+\sum_{k=1}^p\omega_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathcal{L}_X(dx^{i_k})\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\Bigr)$$
であり、$D\omega$ についても同じ式が $\mathcal{L}_X$ を $D$ に置き換えて成り立つ。(3) により $\mathcal{L}_X\omega_I=D\omega_I$、$\mathcal{L}_X(dx^{i})=D(dx^{i})$ なので $\mathcal{L}_X\omega=D\omega$ である。$\square$

thm-lie-deriv-cartan と $d^2=0$ により $d\mathcal{L}_X=d\iota_Xd=\mathcal{L}_Xd$ である。$\iota_X\iota_X=0$ により $\iota_X\mathcal{L}_X=\iota_Xd\iota_X=\mathcal{L}_X\iota_X$ である。$d\omega=0$ なら Cartan の公式の第 2 項が消える。$\square$

$\varphi_t^\ast T=T$ なら $t\mapsto(\varphi_t^\ast T)_p$ は定数なので $\mathcal{L}_XT=0$ である。逆に $\mathcal{L}_XT=0$ とする。$p$ を固定し、$\varphi_{t_0}(p)$ が定義される $t_0$ をとると、$|s|$ が小さいとき $\varphi_{t_0+s}=\varphi_s\circ\varphi_{t_0}$ なので $(\varphi_{t_0+s}^\ast T)_p=\bigl(\varphi_{t_0}^\ast(\varphi_s^\ast T)\bigr)_p$ であり、$\varphi_{t_0}^\ast$ は $T^{r,s}_{\varphi_{t_0}(p)}M\to T^{r,s}_pM$ なる線形写像（$T_{\varphi_{t_0}(p)}$ に引き戻しの定義を適用したもの）なので
$$\frac{d}{dt}\Big|_{t=t_0}(\varphi_t^\ast T)_p=\varphi_{t_0}^\ast\Bigl(\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}(\varphi_s^\ast T)_{\varphi_{t_0}(p)}\Bigr)=\varphi_{t_0}^\ast\bigl((\mathcal{L}_XT)_{\varphi_{t_0}(p)}\bigr)=0$$
である。よって $t\mapsto(\varphi_t^\ast T)_p$ は（連結な定義区間上で）定数であり、$t=0$ の値 $T_p$ に等しい。$\square$

第 1 式は prop-lie-deriv-bracket と捩れなし条件 $[X,Y]=\nabla_XY-\nabla_YX$ から従う。第 2 式は、共変微分の Leibniz 則 $X(\eta(Y))=(\nabla_X\eta)(Y)+\eta(\nabla_XY)$ を prop-lie-deriv-tensor-formula の $(\mathcal{L}_X\eta)(Y)=X(\eta(Y))-\eta([X,Y])$ に代入し、$\eta([X,Y])=\eta(\nabla_XY)-\eta(\nabla_YX)$ を用いれば得られる。成分表示は $Y=\partial_j$ とおいたものである。$\square$

成分の式を示す。$\nabla_kT^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}=\partial_kT^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}+\sum_a\sum_l\Gamma^{i_a}_{kl}T^{i_1\cdots l\cdots i_r}_{j_1\cdots j_s}-\sum_b\sum_l\Gamma^l_{kj_b}T^{i_1\cdots i_r}_{j_1\cdots l\cdots j_s}$、$\nabla_kX^{i}=\partial_kX^{i}+\sum_l\Gamma^{i}_{kl}X^l$、$\nabla_{j}X^k=\partial_{j}X^k+\sum_l\Gamma^k_{jl}X^l$ を共変微分版の右辺に代入し、偏微分の項を集めると偏微分版の右辺になる。残る Christoffel 記号を含む項は
$$\sum_kX^k\Bigl(\sum_{a,l}\Gamma^{i_a}_{kl}T^{\cdots l\cdots}_{\cdots}-\sum_{b,l}\Gamma^l_{kj_b}T^{\cdots}_{\cdots l\cdots}\Bigr)-\sum_{a}\sum_{k,l}\Gamma^{i_a}_{kl}X^lT^{\cdots k\cdots}_{\cdots}+\sum_b\sum_{k,l}\Gamma^k_{j_bl}X^lT^{\cdots}_{\cdots k\cdots}$$
である。第 3 の和でダミー添字 $k,l$ を入れ替えると $-\sum_a\sum_{k,l}\Gamma^{i_a}_{lk}X^kT^{\cdots l\cdots}_{\cdots}$ となり、捩れなし $\Gamma^{i_a}_{lk}=\Gamma^{i_a}_{kl}$ により第 1 の和の $a$ の部分と相殺する。同様に第 4 の和で $k,l$ を入れ替えると $\sum_b\sum_{k,l}\Gamma^l_{j_bk}X^kT^{\cdots}_{\cdots l\cdots}$ となり、捩れなし $\Gamma^l_{j_bk}=\Gamma^l_{kj_b}$ により第 1 の和の $b$ の部分と相殺する。よって Christoffel 記号の項は全体として $0$ になり、両辺は一致する。座標によらない式は、成分の式を $\eta_a=dx^{i_a}$、$X_b=\partial_{j_b}$ で評価したものと見比べれば分かる（$(\nabla X)^{i}_{k}=\nabla_kX^i$ が $(1,1)$ 型テンソル場 $\nabla X$ の成分である）。$\square$

cor-lie-deriv-bracket-properties の $\mathcal{L}_X(fW)=X(f)W+f\mathcal{L}_XW$ を用いる。$f\in C^\infty(M)$ とすると
$$(\mathcal{L}_X\nabla)(fY,Z)=\mathcal{L}_X(f\nabla_YZ)-\nabla_{X(f)Y+f[X,Y]}Z-f\nabla_Y(\mathcal{L}_XZ)=X(f)\nabla_YZ+f\mathcal{L}_X(\nabla_YZ)-X(f)\nabla_YZ-f\nabla_{[X,Y]}Z-f\nabla_Y(\mathcal{L}_XZ)$$
となり、$X(f)\nabla_YZ$ の項が打ち消し合って $f(\mathcal{L}_X\nabla)(Y,Z)$ になる。第 2 変数については、$\nabla_Y(fZ)=Y(f)Z+f\nabla_YZ$ と $\mathcal{L}_X(fZ)=X(f)Z+f\mathcal{L}_XZ$ により
$$\begin{aligned}(\mathcal{L}_X\nabla)(Y,fZ)&=\mathcal{L}_X\bigl(Y(f)Z+f\nabla_YZ\bigr)-\nabla_{[X,Y]}(fZ)-\nabla_Y\bigl(X(f)Z+f\mathcal{L}_XZ\bigr)\\&=X(Y(f))Z+Y(f)\mathcal{L}_XZ+X(f)\nabla_YZ+f\mathcal{L}_X(\nabla_YZ)-[X,Y](f)Z-f\nabla_{[X,Y]}Z-Y(X(f))Z-X(f)\nabla_YZ-Y(f)\mathcal{L}_XZ-f\nabla_Y(\mathcal{L}_XZ)\end{aligned}$$
であり、$X(Y(f))-Y(X(f))-[X,Y](f)=0$ により $Z$ の項が消え、$X(f)\nabla_YZ$ と $Y(f)\mathcal{L}_XZ$ の項も打ち消し合って $f(\mathcal{L}_X\nabla)(Y,Z)$ が残る。各変数について $C^\infty(M)$-線形なので、テンソル場の特徴づけ（微分形式の記事の定義を参照）により $(1,2)$ 型テンソル場である。$\square$

prop-lie-deriv-covariant-low の $\mathcal{L}_XW=\nabla_XW-\nabla_WX$ を $W=\nabla_YZ$ に適用すると $\mathcal{L}_X(\nabla_YZ)=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_{\nabla_YZ}X$ である。また捩れなし条件から $\nabla_Y[X,Z]=\nabla_Y(\nabla_XZ-\nabla_ZX)=\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_Y\nabla_ZX$ である。これらを定義に代入すると
$$(\mathcal{L}_X\nabla)(Y,Z)=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_{\nabla_YZ}X-\nabla_{[X,Y]}Z-\nabla_Y\nabla_XZ+\nabla_Y\nabla_ZX=R(X,Y)Z+\nabla_Y\nabla_ZX-\nabla_{\nabla_YZ}X$$
となる。$\square$

def-lie-deriv-connection の式を $\mathcal{L}_X(\nabla_YZ)-\nabla_Y(\mathcal{L}_XZ)$ について解けばよい。Killing ベクトル場の流れは等長変換なので Riemann 接続を保ち、prop-lie-deriv-invariance と同様の議論で（本記事の $\mathcal{L}_X\nabla$ の代数的定義が流れによる定義 $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\varphi_t^\ast\nabla$ と一致すること Yan57 を認めれば）$\mathcal{L}_X\nabla=0$ となる。$\square$