Weilの玉河数予想

$g$ の第 1 列を除いた部分の第 1 行は $x_1u$、残りの行は $x'u+B$ である（$x'=(x_2,\dots,x_n)^{\mathsf T}$）。よって $dg=|x_1|^{n-1}\,dx\,du\,dB$ である。$\det g=x_1\det B$ である。$n-1$ 次の $d(\cdot)$ を $d'$ と書き、lem-wtn-phi を $n-1$ で使って $B=d'(s)A$、$dB=|s|^{n-2}\,ds\,d\mu_{n-1}(A)$ とする。$t:=\det g=x_1s$ を $s$ の代わりの座標にすると $ds=|x_1|^{-1}dt$ なので$$dg=|x_1|^{n-1}\,|t/x_1|^{n-2}\,|x_1|^{-1}\,dx\,du\,dt\,d\mu_{n-1}(A)=|t|^{n-2}\,dx\,du\,dt\,d\mu_{n-1}(A)$$である。

次に $g=d(t)h$（$h\in\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$）とし、$h$ の第 1 列を $\tilde x$ とする。$x=d(t)\tilde x$ なので $dx=|t|\,d\tilde x$ である。$d(t)^{-1}$ は $e_2,\dots,e_n$ を動かさないので $d(t)^{-1}L(x)=L(\tilde x)$ であり、$x_1=t\tilde x_1$ より$$h=L(\tilde x)\begin{pmatrix}1&u\\0&d'(\tilde x_1^{-1})A\end{pmatrix}=s(\tilde x)h(u,A)$$となる。よって $dg=|t|^{n-1}\,dt\,d\tilde x\,du\,d\mu_{n-1}(A)$ である。lem-wtn-phi の $dg=|t|^{n-1}\,dt\,d\mu_n(h)$ と比べると、$\mu_n=d\tilde x\,du\,d\mu_{n-1}(A)$ を得る。$x_1=0$ の部分は測度 $0$ である。$\square$

成分の最大公約数が $1$ のベクトルを原始ベクトルといい、その全体を $P$ とする。Bezoutの等式 による標準的な議論で、原始ベクトルは $\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$ の行列の第 1 列に延ばせるので、$P=\Gamma e_1$ である。$e_1$ の $\Gamma$ での固定部分群は $\Gamma_1:=\{h(u,A)\mid u\in\mathbb Z^{n-1},\ A\in\mathrm{SL}_{n-1}(\mathbb Z)\}$ である。

$D'$ を $\mathrm{SL}_{n-1}(\mathbb R)/\mathrm{SL}_{n-1}(\mathbb Z)$ の 基本領域 とする。$h(u,A)h(v,C)=h(v+uC,AC)$ なので、$E:=\{h(u,A)\mid u\in[0,1)^{n-1},\ A\in D'\}$ は $H/\Gamma_1$ の基本領域である。lem-wtn-fiber により、$\{s(x)h\mid x_1\ne0,\ h\in E\}$ は測度 $0$ の集合を除いて $G/\Gamma_1$ の基本領域である。$s(x)he_1=x$ なので、$\varphi\ge0$ について$$\int_{G/\Gamma}\sum_{v\in P}\varphi(gv)\,d\mu_n=\int_{G/\Gamma}\sum_{\gamma\in\Gamma/\Gamma_1}\varphi(g\gamma e_1)\,d\mu_n=\int_{G/\Gamma_1}\varphi(ge_1)\,d\mu_n=V_{n-1}\int_{\mathbb R^n}\varphi(x)\,dx$$である。$\mathbb Z^n\setminus\{0\}$ は $mP$（$m\ge1$）の互いに交わらない和なので、$\varphi(x)=f(mx)$ として $m$ について足すと、$\int f(mx)\,dx=m^{-n}\int f$ から主張を得る。$\square$

$g=(g_p)_p\in\mathrm{SL}_n(\mathbb A_f)$ とし、$g_p\notin\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_p)$ となる素数の有限集合を $S$ とする。

体の上の特殊線形群は基本行列で生成されるので（掃き出し法）、各 $p\in S$ について $g_p$ を基本行列の積に書ける。単位行列（成分 $0$ の基本行列）を挟めば、$S$ の全部の $p$ に共通の添字の列 $(i_j,l_j)_{1\le j\le m}$ と $a_{p,j}\in\mathbb Q_p$ によって $g_p=\prod_{j=1}^mE_{i_jl_j}(a_{p,j})$ と書ける。

$N\ge1$ を任意にとる。各 $j$ について、次を満たす $r_j\in\mathbb Q$ がある：$p\in S$ なら $r_j-a_{p,j}\in p^N\mathbb Z_p$、$\ell\notin S$ なら $r_j\in\mathbb Z_\ell$。実際、各 $p\in S$ について $a_{p,j}-r_p\in\mathbb Z_p$ となる $r_p\in\mathbb Z[1/p]$ をとり（$p$ 進展開の負の冪の部分）、$r':=\sum_{p\in S}r_p$ とおくと、$p\in S$ で $a_{p,j}-r'\in\mathbb Z_p$ である。中国の剰余定理により、すべての $p\in S$ で $m'-(a_{p,j}-r')\in p^N\mathbb Z_p$ となる整数 $m'$ があるので、$r_j:=r'+m'$ とすればよい。

$\gamma:=\prod_jE_{i_jl_j}(r_j)\in\mathrm{SL}_n(\mathbb Q)$ とする。$\ell\notin S$ なら $\gamma\in\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_\ell)$ である。$\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_p)$ は $\mathrm{SL}_n(\mathbb Q_p)$ の開部分群で積は連続なので、$N$ を十分大きくとれば $p\in S$ で $\gamma^{-1}g_p\in\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_p)$ である。よって $\gamma^{-1}g\in K_f$ である。$\square$

$G_{\mathbb Q}=\mathrm{SL}_n(\mathbb Q)$ と書き、$D\subset\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ を $\Gamma\backslash\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ の 基本領域 とする。$D\times K_f$ が $G_{\mathbb Q}\backslash\mathrm{SL}_n(\mathbb A_{\mathbb Q})$ の基本領域であることを示す。

$g=(g_\infty,g_f)$ について、lem-wtn-strong により $g_f=\gamma k$（$\gamma\in G_{\mathbb Q}$、$k\in K_f$）と書ける。$\gamma^{-1}g_\infty=\delta d$（$\delta\in\Gamma$、$d\in D$）とすると、$\gamma\delta\in G_{\mathbb Q}$ で、$g=\gamma\delta\cdot(d,\delta^{-1}k)$、$\delta^{-1}k\in K_f$ である。逆に $\gamma\in G_{\mathbb Q}$ が $D\times K_f$ の点を $D\times K_f$ の点へ写すなら、$\gamma\in\prod_p\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_p)$ なので $\gamma$ の成分は整数で、$\gamma\in\Gamma$ であり、$D$ の性質から $\gamma=1$ である。

$K=\mathbb Q$ なので $\tau=\tau^{\mathrm{un}}$ で、同じ $\omega_n$ をすべての素点で使う。lem-wtn-zp と thm-wtn-volume により$$\tau(\mathrm{SL}_n)=\mu_n(D)\prod_p\mu_n(\mathrm{SL}_n(\mathbb Z_p))=\prod_{i=2}^n\zeta(i)\cdot\prod_{i=2}^n\zeta(i)^{-1}=1$$である。$\square$

形式の比較．$\mathrm{Lie}$ の整構造は $\mathfrak{sl}_n(\mathbb Z)$ と $\mathfrak{gl}_n(\mathbb Z)/\mathbb Z$ である。$d\pi$ の像は $\mathfrak{gl}_n(\mathbb Z)/\mathbb Z$ の中で指数 $n$ である（跡が $\mathfrak{gl}_n(\mathbb Z)/(\mathfrak{sl}_n(\mathbb Z)+\mathbb Z)\cong\mathbb Z/n\mathbb Z$ を与える）。$\mathfrak{gl}_n(\mathbb Z)=\mathbb ZE_{11}\oplus\mathfrak{sl}_n(\mathbb Z)$ で、$d(\det)$ は単位元で跡なので、$\omega_n$ は $\mathfrak{sl}_n(\mathbb Z)$ の基底で $\pm1$ の値をとる。よって $\pi^*\omega'=\pm n\,\omega_n$ である。

局所因子．$\omega'$ は $\mathbb Z$ 上で至る所 $0$ にならないので（GL18 Example 1.2.3.8）、$\mu_{\omega',p}(\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z_p))=\#\mathrm{PGL}_n(\mathbb F_p)/p^{n^2-1}$ である。$\#\mathrm{PGL}_n(\mathbb F_p)=\#\mathrm{GL}_n(\mathbb F_p)/(p-1)$ なので、これは $\prod_{i=2}^n(1-p^{-i})$ である。

基本領域．$\mathrm{PGL}_n(\mathbb Q_p)=\mathrm{GL}_n(\mathbb Q_p)/\mathbb Q_p^\times$、$\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z_p)=\mathrm{GL}_n(\mathbb Z_p)/\mathbb Z_p^\times$ である。$K':=\prod_p\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z_p)$ とおく。$g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb A_f)$ について、$\mathbb A_f^\times=\mathbb Q_{>0}\cdot\prod_p\mathbb Z_p^\times$ により $\det g=ru$ と書ける。対角行列で $\det$ を消してから lem-wtn-strong を使うと、$\mathrm{PGL}_n(\mathbb A_f)=\mathrm{PGL}_n(\mathbb Q)K'$ を得る。$\mathrm{PGL}_n(\mathbb Q)$ の元で $K'$ に入るものは、スカラーを掛けると $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ の元で代表される。よって prf-wtn-sln と同じ議論で、$D'$ を $\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z)\backslash\mathrm{PGL}_n(\mathbb R)$ の基本領域として $D'\times K'$ が基本領域である。

実の余体積．$\pi$ は全単射 $\Gamma\backslash\mathrm{SL}_n(\mathbb R)\to\mathrm{PGL}_n(\mathbb Z)\backslash\mathrm{PGL}_n(\mathbb R)$ を引き起こす。全射：$g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ をスカラーで $|\det g|=1$ にし、$\det g=-1$ なら行列式 $-1$ の $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ の元を左から掛ける。単射：$g,g'\in\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ で $g'=c\gamma g$（$c\in\mathbb R^\times$、$\gamma\in\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$）なら、$c^n\det\gamma=1$ から $c=\pm1$ である。$c=-1$ で $n$ が奇数のときは $\det\gamma=-1$ なので $-\gamma\in\Gamma$ であり、それ以外のときは $\det\gamma=1$ で $c\gamma\in\Gamma$ である。いずれも $g'\in\Gamma g$ である。$\pi$ は局所同相で $|\pi^*\omega'|=n|\omega_n|$ なので、$\mu_{\omega'}(D')=nV_n$ である。

結論．$\tau(\mathrm{PGL}_n)=nV_n\prod_p\prod_{i=2}^n(1-p^{-i})=n$ である。$\square$