Banach環とC*-環のスペクトル理論

$S_N:=\sum_{n=0}^Nx^n$ とおく。$M>N$ なら
$$ \|S_M-S_N\| \leq\sum_{n=N+1}^M\|x\|^n \leq\frac{\|x\|^{N+1}}{1-\|x\|}, $$
だから $(S_N)_N$ はCauchy列である。完備性により $S_N\to S\in\mathcal A$ となる。一方、有限等比級数の恒等式から
$$ (1-x)S_N=S_N(1-x)=1-x^{N+1}. $$
$\|x^{N+1}\|\leq\|x\|^{N+1}\to0$ なので、積の連続性により $(1-x)S=S(1-x)=1$ である。したがって $S=(1-x)^{-1}$ であり、$\|S\|\leq\sum_n\|x\|^n=1/(1-\|x\|)$ である。$\square$

$b+h=b(1+b^{-1}h)$ であり、$\|b^{-1}h\|\leq\|b^{-1}\|\|h\|<1$ である。Neumann級数を $-b^{-1}h$ に適用すると $1+b^{-1}h$ が可逆で $(1+b^{-1}h)^{-1}=\sum_{n\geq0}(-b^{-1}h)^n$ だから、$b+h$ も可逆で
$$ (b+h)^{-1}-b^{-1}=\sum_{n\geq1}(-b^{-1}h)^nb^{-1} $$
である。右辺のノルムは $\sum_{n\geq1}\|b^{-1}\|^{n+1}\|h\|^n$ 以下で、これが主張の右辺に等しい。$\square$

$p$ が定数 $c$ なら両辺は $\{c\}$ なので、$p$ は非定数とする。$\mu\in\mathbb C$ に対し、代数学の基本定理により
$$ p(z)-\mu=c\prod_{j=1}^d(z-\lambda_j) $$
と因数分解できる。したがって
$$ p(a)-\mu1=c\prod_{j=1}^d(a-\lambda_j1). $$
右辺の各因子は互いに可換する。すべての因子が可逆なら積も可逆である。逆に、可換する有限個の因子の積が可逆なら、各因子は「残りの因子の積と積全体の逆元との積」を逆元にもつので可逆である。ゆえに $p(a)-\mu1$ が可逆でないことと、ある $j$ について $a-\lambda_j1$ が可逆でないことは同値である。後者は $\lambda_j\in\sigma(a)$、すなわち $\mu=p(\lambda_j)\in p(\sigma(a))$ と同値である。$\square$

有界性と閉性。 $|\lambda|>\|a\|$ なら $\lambda1-a=\lambda(1-a/\lambda)$ は prop-banach-neumann-series により可逆である。写像 $\lambda\mapsto\lambda1-a$ は連続で $\mathcal A^\times$ は開だから（cor-banach-invertibles-open）、$\rho(a)$ は開集合、$\sigma(a)$ は閉集合である。有界閉集合だからコンパクトである。
レゾルベントの正則性。 $\varphi$ を $\mathcal A$ 上の連続線形汎関数とし、$g_\varphi(\lambda):=\varphi(R_a(\lambda))$（$\lambda\in\rho(a)$）とおく。$\lambda,\mu\in\rho(a)$ に対して
$$ R_a(\lambda)-R_a(\mu)=R_a(\lambda)\bigl((\mu1-a)-(\lambda1-a)\bigr)R_a(\mu)=(\mu-\lambda)R_a(\lambda)R_a(\mu) $$
である（レゾルベント恒等式）。逆元の連続性により $\mu\to\lambda$ で $R_a(\mu)\to R_a(\lambda)$ だから、$\frac{g_\varphi(\mu)-g_\varphi(\lambda)}{\mu-\lambda}\to-\varphi(R_a(\lambda)^2)$ となり、$g_\varphi$ は $\rho(a)$ 上で正則である。$|\lambda|>\|a\|$ では Neumann 級数から
$$ R_a(\lambda)=\sum_{n\geq0}\frac{a^n}{\lambda^{n+1}},\qquad \|R_a(\lambda)\|\leq\frac{1}{|\lambda|-\|a\|} $$
である。
非空性。 $\sigma(a)=\emptyset$ と仮定すると、各 $g_\varphi$ は整関数で、$|\lambda|\geq2\|a\|+1$ では $|g_\varphi(\lambda)|\leq\|\varphi\|/(|\lambda|-\|a\|)\to0$ である。有界な閉円板の上では連続性から有界なので $g_\varphi$ は有界な整関数となり、Liouvilleの定理(複素解析) の記事の定理「Liouville の定理」により定数、しかも無限遠で $0$ に近づくので $g_\varphi\equiv0$ である。特に $\varphi(a^{-1})=-g_\varphi(0)=0$ がすべての $\varphi$ で成り立つ。Hahn–Banach の定理（Bass24 Theorem 18.6、p. 188）により、$x\neq0$ なら $\varphi(x)=\|x\|$、$\|\varphi\|=1$ となる $\varphi$ がある（$\mathbb Cx$ 上の汎関数 $cx\mapsto c\|x\|$ を延長する）。したがって $a^{-1}=0$ となるが、$1=aa^{-1}=0$ は $\mathcal A$ が零環でないことに反する。
半径公式の下からの評価。 $\lambda\in\sigma(a)$ なら prop-banach-polynomial-spectral-mapping により $\lambda^n\in\sigma(a^n)$ だから、有界性の部分を $a^n$ に当てて $|\lambda|^n\leq\|a^n\|$ である。よって $r(a)\leq\inf_n\|a^n\|^{1/n}\leq\liminf_n\|a^n\|^{1/n}$ である。
半径公式の上からの評価。 $|\lambda_0|>r(a)$ を固定する。各 $\varphi$ について $h_\varphi(w):=g_\varphi(1/w)$ は $0<|w|<1/r(a)$ で正則であり、$|w|<1/\|a\|$ では $h_\varphi(w)=\sum_{n\geq0}\varphi(a^n)w^{n+1}$ である。この級数表示から $h_\varphi$ は $w=0$ へ正則に延び、円板 $|w|<1/r(a)$ 全体で正則になる。正則関数の Taylor 級数は、関数が正則な最大の円板で収束する（Taylor展開(複素解析) の記事の定理「正則関数の冪級数展開」）。$|w_0|:=1/|\lambda_0|<1/r(a)$ だから $\sum_n\varphi(a^n)\lambda_0^{-n-1}$ は収束し、特に $\sup_n|\varphi(a^n/\lambda_0^n)|<\infty$ である。
$x_n:=a^n/\lambda_0^n$ とおき、$x_n$ を連続線形汎関数の空間 $\mathcal A^*$（Banach 空間）上の線形汎関数 $\varphi\mapsto\varphi(x_n)$ とみなす。いま示したことは、この族が各 $\varphi$ で有界であることだから、一様有界性原理 の記事の定理「一様有界性原理」により作用素ノルムが一様に有界である。Hahn–Banach の定理から、この作用素ノルムは $\|x_n\|$ に等しい（上で選んだ $\varphi$ で $\varphi(x_n)=\|x_n\|$）。よって $\|a^n\|\leq C|\lambda_0|^n$ となり、$\limsup_n\|a^n\|^{1/n}\leq|\lambda_0|$ である。$|\lambda_0|\downarrow r(a)$ として $\limsup_n\|a^n\|^{1/n}\leq r(a)$ を得る。
以上から $\limsup\leq r(a)\leq\inf\leq\liminf$ であり、極限が存在して $r(a)$ と下限に等しい。$\square$

$a\in\mathcal A$ をとる。thm-banach-spectrum-radius により $\lambda\in\sigma(a)$ がある。$\lambda1-a$ は可逆でないので仮定から $0$ であり、$a=\lambda1$ である。$\square$

正規元 $b$ に対して
$$ \|b^2\|^2 =\|(b^2)^*b^2\| =\|(b^*)^2b^2\| =\|(b^*b)^2\| =\|b^*b\|^2 =\|b\|^4. $$
ここで正規性により $b$ と $b^*$ を交換し、自己共役元 $b^*b$ に $C^*$-恒等式を適用した。ゆえに $\|b^2\|=\|b\|^2$ である。$a^{2^k}$ も正規元なので帰納的に
$$ \|a^{2^k}\|=\|a\|^{2^k} $$
を得る。Gelfandのスペクトル半径公式の極限を部分列 $n=2^k$ に沿って取れば
$$ r(a)=\lim_{k\to\infty}\|a^{2^k}\|^{1/2^k}=\|a\| $$
である。$\square$

1：$\|u\|=\|u^{-1}\|=1$ だから thm-banach-spectrum-radius により $\sigma(u)$ と $\sigma(u^{-1})$ は閉単位円板に含まれる。$\lambda\in\sigma(u)$ なら $\lambda\neq0$（$u$ は可逆）で、$\lambda1-u=-\lambda u(\lambda^{-1}1-u^{-1})$ だから $\lambda^{-1}\in\sigma(u^{-1})$、すなわち $|\lambda|\geq1$ である。よって $|\lambda|=1$ である。
2：$e^{x}:=\sum_{n\geq0}x^n/n!$ はノルム収束し、可換な $x,y$ について $e^{x+y}=e^xe^y$ である（有限和と同じ計算を絶対収束する級数で行う）。$u:=e^{ia}$ とおくと、対合の連続性と $a^*=a$ から $u^*=e^{-ia}$ であり、$uu^*=u^*u=e^0=1$ だから $u$ はユニタリである。$\lambda\in\sigma(a)$ とし、
$$ b:=\sum_{n\geq1}\frac{i^n}{n!}(a-\lambda1)^{n-1} $$
とおくと、$e^{ia}=e^{i\lambda}e^{i(a-\lambda1)}$ から $e^{ia}-e^{i\lambda}1=e^{i\lambda}(a-\lambda1)b$ であり、$b$ は $a$ と可換である。もし $e^{ia}-e^{i\lambda}1$ が可逆で逆元が $c$ なら、$(a-\lambda1)\cdot e^{i\lambda}bc=1$ かつ $cb e^{i\lambda}\cdot(a-\lambda1)=1$ となり、$a-\lambda1$ は左右の逆元をもつので可逆になって矛盾する。よって $e^{i\lambda}\in\sigma(u)$ で、1 から $|e^{i\lambda}|=e^{-\operatorname{Im}\lambda}=1$、すなわち $\lambda\in\mathbb R$ である。$|\lambda|\leq\|a\|$ は thm-banach-spectrum-radius による。$\square$

$\mathcal B$ で可逆なら $\mathcal A$ で可逆だから $\sigma_{\mathcal A}(b)\subset\sigma_{\mathcal B}(b)$ である。逆を示すには、$b\in\mathcal B$ が $\mathcal A$ で可逆なら $b^{-1}\in\mathcal B$ であることを示せばよい。
まず一般に、$x\in\mathcal B$ について $\sigma_{\mathcal B}(x)$ の境界の点は $\sigma_{\mathcal A}(x)$ に属する。実際 $\lambda$ を境界の点とし、$\lambda_n\to\lambda$、$\lambda_n\in\rho_{\mathcal B}(x)$ をとる。$\lambda\in\rho_{\mathcal A}(x)$ なら、逆元の連続性（cor-banach-invertibles-open）により $\mathcal A$ で $(\lambda_n1-x)^{-1}\to(\lambda1-x)^{-1}$ であり、左辺は $\mathcal B$ の元で $\mathcal B$ は閉だから $(\lambda1-x)^{-1}\in\mathcal B$、すなわち $\lambda\in\rho_{\mathcal B}(x)$ となる。$\sigma_{\mathcal B}(x)$ は閉だから $\lambda\in\sigma_{\mathcal B}(x)$ で、これは矛盾である。
$b\in\mathcal B$ が $\mathcal A$ で可逆とする。$h:=b^*b\in\mathcal B$ は自己共役で $\mathcal A$ で可逆である。thm-cstar-selfadjoint-unitary-spectrum を $C^*$-環 $\mathcal B$ に当てると $\sigma_{\mathcal B}(h)\subset\mathbb R$ であり、$\mathbb C$ の中で内点をもたないので $\sigma_{\mathcal B}(h)$ はその境界に等しく、上で示したことから $\sigma_{\mathcal B}(h)\subset\sigma_{\mathcal A}(h)$ である。$0\notin\sigma_{\mathcal A}(h)$ だから $0\notin\sigma_{\mathcal B}(h)$、すなわち $h^{-1}\in\mathcal B$ である。$h^{-1}b^*b=1$ から $b^{-1}=h^{-1}b^*\in\mathcal B$ を得る。$\square$

$*$-準同型であること。 $\varphi\in\Delta(\mathcal A)$ と自己共役元 $h$ について、$\varphi(h)\in\sigma(h)\subset\mathbb R$ である（thm-cstar-selfadjoint-unitary-spectrum）。任意の $a$ を $a=h+ik$、$h:=(a+a^*)/2$、$k:=(a-a^*)/(2i)$ と自己共役元で表すと、$a^*=h-ik$ だから $\varphi(a^*)=\varphi(h)-i\varphi(k)=\overline{\varphi(a)}$ である。すなわち $\widehat{a^*}=\overline{\widehat a}$ である。
等長であること。 可換環ではすべての元が正規元なので、thm-banach-gelfand-theory と prop-cstar-normal-radius から $\|\widehat a\|_\infty=r(a)=\|a\|$ である。特に $\Gamma$ は単射で、像は完備、したがって $C(\Delta(\mathcal A))$ の閉部分空間である。
全射であること。 像 $\Gamma(\mathcal A)$ は定数関数 $\widehat1=1$ を含み、複素共役で閉じた部分環で、$\Delta(\mathcal A)$ の点を分離する（$\varphi\neq\psi$ ならある $a$ で $\widehat a(\varphi)=\varphi(a)\neq\psi(a)=\widehat a(\psi)$）。複素版の Stone–Weierstrass の定理（Bass24 Theorem 20.45、p. 255）により像は稠密であり、閉だから $C(\Delta(\mathcal A))$ 全体に等しい。$\square$

$\mathcal B:=C^*(a)$ を、$1,a,a^*$ の多項式全体の閉包とする。$a$ は正規なので $\mathcal B$ は可換な単位的 $C^*$-環であり、lem-cstar-spectral-permanence により $\sigma_{\mathcal B}(a)=\sigma(a)$ である。
写像 $\iota\colon\Delta(\mathcal B)\to\sigma(a)$、$\varphi\mapsto\varphi(a)$ を考える。値は $\sigma_{\mathcal B}(a)$ に入り、thm-banach-gelfand-theory により全射である。$\varphi(a)$ が決まれば $\varphi(a^*)=\overline{\varphi(a)}$ も決まり（prf-cstar-commutative-gelfand-naimark の最初の段）、$\varphi$ は $1,a,a^*$ の多項式の上で決まり、連続性で $\mathcal B$ 全体で決まるので、$\iota$ は単射である。弱*位相の定義から $\iota$ は連続で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射だから同相である。
thm-cstar-commutative-gelfand-naimark の等長 $*$-同型 $\Gamma\colon\mathcal B\to C(\Delta(\mathcal B))$ と $\iota$ による同一視 $C(\sigma(a))\cong C(\Delta(\mathcal B))$ を合成し、$f(a):=\Gamma^{-1}(f\circ\iota)$ と定める。$\Gamma(a)=\widehat a=\iota$ だから恒等関数は $a$ へ送られ、これは等長な単位的 $*$-準同型である。一意性：二つの $*$-準同型は $z$ と $\overline z$ の多項式の上で一致し、それらは Stone–Weierstrass の定理により $C(\sigma(a))$ で稠密で、$*$-準同型は連続（$C^*$-環の間の $*$-準同型 $\pi$ は $\|\pi(x)\|^2=\|\pi(x^*x)\|=r(\pi(x^*x))\leq r(x^*x)=\|x\|^2$ を満たす）だから、全体で一致する。最後に、$\sigma_{\mathcal B}(f(a))$ は $f(a)$ の Gelfand 変換 $f\circ\iota$ の値域 $f(\sigma(a))$ に等しく（thm-banach-gelfand-theory）、lem-cstar-spectral-permanence により $\sigma(f(a))=f(\sigma(a))$ である。$\square$