∂∂̄-補題

同義語：∂∂̄補題∂∂̄-lemmaddc補題ddc-lemma

概要

前提知識: Kähler多様体, Dolbeaultコホモロジー, Dolbeaultラプラシアン, Kählerの恒等式, Hodgeの定理

$\partial\bar\partial$-補題（$\partial\bar\partial$-lemma）とは、コンパクト Kähler 多様体 $X$ の上の $d$ 閉な $(p,q)$ 形式 $u$ について、
$$ u\text{ は }d\text{ 完全}\iff u\text{ は }\partial\text{ 完全}\iff u\text{ は }\bar\partial\text{ 完全}\iff u=\partial\bar\partial v\text{ となる }(p-1,q-1)\text{ 形式 }v\text{ がある} $$
が成り立つという定理である。一般の複素多様体では、$d$ 完全・$\partial$ 完全・$\bar\partial$ 完全は互いに異なる条件であり、$\partial\bar\partial$ 完全はそのどれよりも強い。コンパクト Kähler 多様体では、$d$ 閉で型のそろった形式に限れば、これらがすべて一致する。
この補題によって、Dolbeault コホモロジー、de Rham コホモロジーの $(p,q)$ 成分、およびその中間にある Bott–Chern コホモロジーが、計量を使わずに標準的に同一視される。さらに、同じコホモロジー類に属する 2 つの Kähler 形式は大域的な関数 $\varphi$ によって $\omega'=\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ と書ける。前者は Hodge 対称性（Hodge対称性）の計量によらない証明の土台であり、後者は、Kähler 類を固定してその中で Kähler 計量を動かす議論の出発点である。
局所的には、$d$ 閉な $(p,q)$ 形式（$p,q\ge1$）はつねに $\partial\bar\partial v$ の形に書ける。大域的な主張が成り立つかどうかは多様体の大域的な性質で決まり、コンパクト性と Kähler 条件のどちらを外しても成り立たなくなる（節「反例と注意」）。

設定と記号

$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体とし、$\mathcal A^{p,q}(X)$ を $X$ 上の複素数値 $C^\infty$ 級の $(p,q)$ 形式の空間、$\mathcal A^k(X)=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal A^{p,q}(X)$ を $k$ 次形式の空間とする。$p$ または $q$ が負のときは $\mathcal A^{p,q}(X)=0$ と約束する。外微分は $d=\partial+\bar\partial$ と分かれ、
$$ \partial^2=0,\qquad\bar\partial^2=0,\qquad\partial\bar\partial=-\bar\partial\partial $$
である。$(p,q)$ 形式 $u$ について $du=\partial u+\bar\partial u$ の 2 つの項は型 $(p+1,q)$ と $(p,q+1)$ で異なるので、
$$ du=0\iff\partial u=0\text{ かつ }\bar\partial u=0 $$
である。
完全性の 4 つの意味．$d$ 閉な $u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ について、次の 4 つの条件を考える。

(a) $d$ 完全：ある $w\in\mathcal A^{p+q-1}(X)$ で $u=dw$。
(b) $\partial$ 完全：ある $v\in\mathcal A^{p-1,q}(X)$ で $u=\partial v$。
(c) $\bar\partial$ 完全：ある $v\in\mathcal A^{p,q-1}(X)$ で $u=\bar\partial v$。
(d) $\partial\bar\partial$ 完全：ある $v\in\mathcal A^{p-1,q-1}(X)$ で $u=\partial\bar\partial v$。
(a) の $w$ は型のそろっていない形式でよい。$p=0$ または $q=0$ なら (d) は $u=0$ を意味する。
(d) からは (a)(b)(c) がどの複素多様体でも従う。実際、$v\in\mathcal A^{p-1,q-1}(X)$ について
$$ \partial\bar\partial v=\partial(\bar\partial v)=\bar\partial(-\partial v)=d(\bar\partial v) $$
である（最後の等号は $d(\bar\partial v)=\partial\bar\partial v+\bar\partial^2v=\partial\bar\partial v$ による）。$\partial\bar\partial$-補題の中身は、コンパクト Kähler 多様体ではこの逆向きも成り立つことである。
Hermite 計量を 1 つ固定したときは、Dolbeaultラプラシアンの記事と同じ各点の Hermite 内積と $L^2$ 内積 $\langle\!\langle\ ,\ \rangle\!\rangle$、形式的随伴 $\partial^*=-*\bar\partial*$、$\bar\partial^*=-*\partial*$、$d^*=\partial^*+\bar\partial^*$、および
$$ \Delta=dd^*+d^*d,\qquad\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\bar\partial,\qquad\Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial $$
を使う。$\Delta_\partial$ の核を $\mathcal H^{p,q}_\partial(X)$、$\Delta_{\bar\partial}$ の核を $\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ と書く。

$\partial$ に関する調和分解

Dolbeaultラプラシアンの主定理「Dolbeault コホモロジーの Hodge の定理」は $\bar\partial$ についての直交分解である。複素共役をとると、$\partial$ についても同じ形の分解が得られる。

$\partial$ に関する直交分解

$X$ をコンパクトな複素多様体、$h$ を Hermite 計量とする。

$\eta\in\mathcal A^{p,q}(X)$ について、$\Delta_\partial\eta=0$ と「$\partial\eta=0$ かつ $\partial^*\eta=0$」は同値である。
$L^2$ 内積について互いに直交する直和分解
$$ \mathcal A^{p,q}(X)=\mathcal H^{p,q}_\partial(X)\oplus\partial\mathcal A^{p-1,q}(X)\oplus\partial^*\mathcal A^{p+1,q}(X) $$
が成り立つ。

要点：複素共役 $c(\alpha):=\bar\alpha$ は直交性を保つ共役線形な全単射 $\mathcal A^{q,p}(X)\to\mathcal A^{p,q}(X)$ で、$c\,\bar\partial\,c=\partial$、$c\,\bar\partial^*c=\partial^*$、$c\,\Delta_{\bar\partial}\,c=\Delta_\partial$ をみたす。Dolbeaultラプラシアンの結果を型 $(q,p)$ で書いて $c$ を施せばよい。

詳しい証明を開く

各点の内積は実の計量 $g=\operatorname{Re}h$ を延ばしたものなので $\langle c\alpha,c\beta\rangle=\overline{\langle\alpha,\beta\rangle}$ であり、$c$ は直交性を保つ。$\overline{\bar\partial\alpha}=\partial\bar\alpha$ から $c\,\bar\partial\,c=\partial$ である。また $*$ は実の作用素なので $c\,\bar\partial^*c=-c*\partial*c=-*\bar\partial*=\partial^*$ であり、したがって $c\,\Delta_{\bar\partial}\,c=\Delta_\partial$ である。

1：$\Delta_\partial\eta=0$ なら $\Delta_{\bar\partial}\bar\eta=\overline{\Delta_\partial\eta}=0$ で、Dolbeaultラプラシアンの命題「非負性と調和形式の特徴づけ」により $\bar\partial\bar\eta=0$、$\bar\partial^*\bar\eta=0$ である。共役をとって $\partial\eta=0$、$\partial^*\eta=0$ を得る。逆は定義から明らかである。

2：同記事の主定理の 2 を型 $(q,p)$ について書くと $$\mathcal A^{q,p}(X)=\mathcal H^{q,p}_{\bar\partial}(X)\oplus\bar\partial\mathcal A^{q,p-1}(X)\oplus\bar\partial^*\mathcal A^{q,p+1}(X)$$ である。$c$ を施すと、$c\,\mathcal H^{q,p}_{\bar\partial}=\mathcal H^{p,q}_\partial$、$c\,\bar\partial\mathcal A^{q,p-1}=\partial\mathcal A^{p-1,q}$、$c\,\bar\partial^*\mathcal A^{q,p+1}=\partial^*\mathcal A^{p+1,q}$ であり、$c$ は直交性を保つので主張の分解を得る。$\square$

$X$ が Kähler で計量 $h$ が Kähler 計量なら、Kählerの恒等式の定理「Laplace 作用素の関係」により $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}=2\Delta_\partial$ なので、3 つの調和形式の空間は一致する：
$$ \mathcal H^{p,q}(X):=\{\eta\in\mathcal A^{p,q}(X)\mid\Delta\eta=0\}=\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)=\mathcal H^{p,q}_\partial(X). $$
この一致と、同定理の 1 の反交換関係
$$ \bar\partial\partial^*+\partial^*\bar\partial=0 $$
が、次の主定理で Kähler 条件の効く 2 か所である。

主定理

$\partial\bar\partial$-補題

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とし、$u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ を $du=0$ をみたす形式とする。次の条件は同値である。

$u$ は $d$ 完全である。
$u$ は $\partial$ 完全である。
$u$ は $\bar\partial$ 完全である。
$u$ は $\partial\bar\partial$ 完全である：ある $v\in\mathcal A^{p-1,q-1}(X)$ で $u=\partial\bar\partial v$。
ある（したがって任意の）Kähler 計量について、$u$ は $\mathcal H^{p,q}(X)$ に $L^2$ 内積で直交する。
とくに $p=0$ または $q=0$ なら、$d$ 閉で $d$ 完全な $(p,q)$ 形式は $0$ だけである。

条件 1〜4 は計量を使わずに述べられている。条件 5 は計量に依存する条件だが、1〜4 と同値なので、ある Kähler 計量について成り立てば、どの Kähler 計量についても成り立つ。

主定理

Kähler 計量 $h$ を 1 つ固定し、条件 5 はこの $h$ について考える。4 から 1・2・3 が従うことは節「設定と記号」で見た。
1・2・3 から 5．$\eta\in\mathcal H^{p,q}(X)$ とする。$\Delta\eta=0$ で $X$ はコンパクトなので、$d\eta=0$ かつ $d^*\eta=0$ である（Laplace–de Rham作用素の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。また $\Delta_{\bar\partial}\eta=\Delta_\partial\eta=0$ なので、Dolbeaultラプラシアンの命題「非負性と調和形式の特徴づけ」と lem-ddbar-partial-decomposition の 1 により $\bar\partial^*\eta=0$、$\partial^*\eta=0$ である。したがって、形式的随伴の性質から
$$ \langle\!\langle dw,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle w,d^*\eta\rangle\!\rangle=0,\qquad\langle\!\langle\partial v,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,\partial^*\eta\rangle\!\rangle=0,\qquad\langle\!\langle\bar\partial v,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,\bar\partial^*\eta\rangle\!\rangle=0 $$
である。よって $u$ が 1・2・3 のどれかをみたせば、$u$ は $\mathcal H^{p,q}(X)$ に直交する。
5 から 3．$\bar\partial u=0$ なので、Dolbeaultラプラシアンの主定理の 3 により $u=\eta+\bar\partial s$（$\eta\in\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)=\mathcal H^{p,q}(X)$、$s\in\mathcal A^{p,q-1}(X)$）と書ける。$\bar\partial s$ は $\eta$ に直交する（同定理の 2）ので、$0=\langle\!\langle u,\eta\rangle\!\rangle=\|\eta\|^2$ となり、$\eta=0$、すなわち $u=\bar\partial s$ である。
3 から 4．$u=\bar\partial s$、$s\in\mathcal A^{p,q-1}(X)$ とする。lem-ddbar-partial-decomposition の 2 により
$$ s=\eta'+\partial v+\partial^*w\qquad(\eta'\in\mathcal H^{p,q-1}_\partial(X),\ v\in\mathcal A^{p-1,q-1}(X),\ w\in\mathcal A^{p+1,q-1}(X)) $$
と書ける。Kähler 条件により $\eta'\in\mathcal H^{p,q-1}_{\bar\partial}(X)$ でもあるから $\bar\partial\eta'=0$ である。また $\bar\partial\partial v=-\partial\bar\partial v$、$\bar\partial\partial^*w=-\partial^*\bar\partial w$（反交換関係）なので
$$ u=\bar\partial s=-\partial\bar\partial v-\partial^*\bar\partial w $$
である。ここで $\partial u=0$ を使う。$\partial(\partial\bar\partial v)=0$ だから $\partial\partial^*\bar\partial w=0$ であり、
$$ \|\partial^*\bar\partial w\|^2=\langle\!\langle\partial\partial^*\bar\partial w,\bar\partial w\rangle\!\rangle=0 $$
となる。よって $\partial^*\bar\partial w=0$ で、$u=\partial\bar\partial(-v)$ である。
以上で 1・2・3 ⇒ 5 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1・2・3 が示された。$p=0$ または $q=0$ のときは $\mathcal A^{p-1,q-1}(X)=0$ なので、4 は $u=0$ を意味する。$\square$

証明の中で、コンパクト性は部分積分（形式的随伴の等式を大域的な内積に使うこと）と、楕円型作用素の理論による直交分解に使われている。Kähler 条件は、$\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}=\mathcal H^{p,q}_\partial$（「5 から 3」の $\eta$ と「3 から 4」の $\eta'$ を両方の意味で調和とみなすこと）と、反交換関係 $\bar\partial\partial^*=-\partial^*\bar\partial$ に使われている。この証明は Dem12 Ch. VI Lemma (8.6)（p. 311）の筋に沿う。

$\partial\bar\partial$-補題が成り立つ多様体と Bott–Chern コホモロジー

主定理の条件 1〜4 は計量を含まないので、Kähler でない多様体についても意味をもつ。

$\partial\bar\partial$-補題が成り立つ多様体

コンパクト複素多様体 $X$ が $\partial\bar\partial$-補題をみたすとは、すべての $p,q$ と、$du=0$ をみたすすべての $u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ について、$u$ が $d$ 完全・$\partial$ 完全・$\bar\partial$ 完全のどれかであれば $u$ は $\partial\bar\partial$ 完全である、ということである。

thm-ddbar-main により、コンパクト Kähler 多様体は $\partial\bar\partial$-補題をみたす。この性質は計量を使わずに定義されているので、双正則写像で保たれる。

Bott–Chern コホモロジー

複素多様体 $X$ について
$$ H^{p,q}_{BC}(X):=\frac{\{u\in\mathcal A^{p,q}(X)\mid du=0\}}{\partial\bar\partial\mathcal A^{p-1,q-1}(X)} $$
を $X$ の型 $(p,q)$ の Bott–Chern コホモロジーという。

分母は分子に含まれる（$\partial\bar\partial v$ は $d$ 閉）。節「設定と記号」で見たように $\partial\bar\partial v$ は $\bar\partial$ 完全かつ $d$ 完全なので、類をとる自然な線形写像
$$ \iota_{\bar\partial}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{\bar\partial}(X),\qquad\iota_{dR}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C) $$
が定まる。また $\overline{\partial\bar\partial v}=\bar\partial\partial\bar v=\partial\bar\partial(-\bar v)$ なので、複素共役は共役線形な全単射
$$ H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{q,p}_{BC}(X),\qquad[u]\mapsto[\bar u] $$
を与える（2 回施すと恒等写像）。Dolbeault コホモロジーには、このような共役の写像は一般にない（Hodge対称性の記事の節「素朴な共役は定義されない」）。
$\iota_{dR}$ の像は、型 $(p,q)$ の $d$ 閉形式で代表される de Rham コホモロジー類の全体、すなわち Hodge分解の記事の定義「Hodge 成分」の $H^{p,q}(X)$ である。

Bott–Chern コホモロジーとの比較

コンパクト複素多様体 $X$ が $\partial\bar\partial$-補題をみたすとする（たとえば $X$ がコンパクト Kähler 多様体）。

$\iota_{\bar\partial}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ は同型である。すなわち、Dolbeault コホモロジーの各類は $d$ 閉な代表をもち、その代表は $\partial\bar\partial$ 完全な形式の差を除いて一意である。
$\iota_{dR}$ は単射で、同型 $H^{p,q}_{BC}(X)\cong H^{p,q}(X)$ を与える。
したがって計量によらない標準的な同型
$$ H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\xrightarrow{\ \iota_{dR}\circ\iota_{\bar\partial}^{-1}\ }H^{p,q}(X)\subset H^{p+q}_{dR}(X;\mathbb C) $$
がある。これは Dolbeault 類を、その $d$ 閉な代表の de Rham 類へ写す写像である。

1 の単射性．$d$ 閉な $u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ の Dolbeault 類が $0$、すなわち $u$ が $\bar\partial$ 完全なら、$\partial\bar\partial$-補題により $u$ は $\partial\bar\partial$ 完全で、Bott–Chern 類も $0$ である。
1 の全射性．$\alpha\in\mathcal A^{p,q}(X)$ を $\bar\partial\alpha=0$ とする。$\beta:=\partial\alpha\in\mathcal A^{p+1,q}(X)$ は $\partial\beta=0$、$\bar\partial\beta=\bar\partial\partial\alpha=-\partial\bar\partial\alpha=0$ をみたすので $d$ 閉であり、しかも $\partial$ 完全である。$\partial\bar\partial$-補題により $\beta=\partial\bar\partial\gamma$（$\gamma\in\mathcal A^{p,q-1}(X)$）と書ける。$\alpha':=\alpha-\bar\partial\gamma$ とおくと
$$ \bar\partial\alpha'=0,\qquad\partial\alpha'=\partial\alpha-\partial\bar\partial\gamma=\beta-\beta=0 $$
なので $\alpha'$ は $d$ 閉で、$\alpha$ と同じ Dolbeault 類に属する。よって $[\alpha]=\iota_{\bar\partial}[\alpha']_{BC}$ である（$q=0$ のときは $\mathcal A^{p,-1}(X)=0$ なので $\beta=0$、$\alpha'=\alpha$ である）。
2．$d$ 閉な $u\in\mathcal A^{p,q}(X)$ が $d$ 完全なら、$\partial\bar\partial$-補題により $\partial\bar\partial$ 完全である。これが $\iota_{dR}$ の単射性である。像が $H^{p,q}(X)$ であることは上で述べた。
3．1 と 2 の合成である。$\square$

コンパクト Kähler 多様体では、Hodge分解の定理「Hodge 分解定理」の 3・4 が調和形式を使って同じ同型 $H^{p,q}(X)\cong H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ を与えている。上の定理は、この同型が Kähler 計量の選び方によらないこと（どちらの Kähler 計量の調和代表も同じ $d$ 閉な代表の類を定めること）を示している。とくに Bott–Chern コホモロジーは有限次元である（Dolbeaultラプラシアンの主定理の 1）。定理は Dem12 Ch. VI Definition (8.1)（p. 310）、Corollary (8.7)（p. 312）にある。

実 $(1,1)$ 形式と Kähler ポテンシャル

$\partial\bar\partial$-補題の最もよく使われる形は、実の $(1,1)$ 形式についての次の言い換えである。実数値の関数 $\varphi$ について $\overline{i\partial\bar\partial\varphi}=-i\bar\partial\partial\varphi=i\partial\bar\partial\varphi$ なので、$i\partial\bar\partial\varphi$ は実の $(1,1)$ 形式である。

実 $(1,1)$ 形式の $\partial\bar\partial$-補題

$X$ を $\partial\bar\partial$-補題をみたす連結なコンパクト複素多様体（たとえば連結なコンパクト Kähler 多様体）とし、$\alpha$ を $d$ 完全な実の $(1,1)$ 形式とする。このとき実数値の $C^\infty$ 級関数 $\varphi$ で
$$ \alpha=i\partial\bar\partial\varphi $$
となるものがあり、$\varphi$ は定数の差を除いて一意である。

存在．$\alpha$ は $d$ 閉かつ $d$ 完全なので、$\partial\bar\partial$-補題により複素数値の関数 $v$ で $\alpha=\partial\bar\partial v$ となるものがある。$\alpha$ は実なので
$$ \alpha=\bar\alpha=\bar\partial\partial\bar v=-\partial\bar\partial\bar v $$
であり、2 つの表示を平均すると $\alpha=\partial\bar\partial\frac{v-\bar v}2=\partial\bar\partial(i\operatorname{Im}v)=i\partial\bar\partial(\operatorname{Im}v)$ となる。$\varphi:=\operatorname{Im}v$ とおけばよい。
一意性．実数値の $\varphi$ が $i\partial\bar\partial\varphi=0$ をみたせば $\varphi$ が定数であることを示せばよい。正則局所座標 $(z_1,\dots,z_n)$ で $i\partial\bar\partial\varphi=i\sum_{j,k}\frac{\partial^2\varphi}{\partial z_j\partial\bar z_k}dz_j\wedge d\bar z_k$ なので、$j=k$ の係数から
$$ \sum_{j=1}^n\frac{\partial^2\varphi}{\partial z_j\partial\bar z_j}=\frac14\sum_{j=1}^n\Bigl(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_j^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y_j^2}\Bigr)=0 $$
であり、$\varphi$ は座標近傍の上で $\mathbb R^{2n}$ の調和関数（調和関数）である。$X$ はコンパクトなので $\varphi$ は最大値 $M$ をとる。$\{\varphi=M\}$ は閉集合で、調和関数の定理「最大値原理」（連結な開集合の内部で最大値をとる調和関数は定数）を座標の球の上で使うと開集合でもある。$X$ は連結なので $\varphi\equiv M$ である。$\square$

一意性の議論は BHPV04 Ch. IV Lemma (2.2)（p. 138）と同じで、そこでは複素数値の $f$ で $\partial\bar\partial f=0$ となるもの（多重調和関数）が定数になることが示されている。

同じ類の Kähler 形式

$X$ を連結なコンパクト Kähler 多様体とし、$\omega$、$\omega'$ を $X$ 上の Kähler 形式で、実係数の de Rham コホモロジー $H^2_{dR}(X;\mathbb R)$ で同じ類を定めるものとする。このとき実数値の $C^\infty$ 級関数 $\varphi$ で
$$ \omega'=\omega+i\partial\bar\partial\varphi $$
となるものが、定数の差を除いてただ 1 つある。逆に、実数値の $\varphi$ について $\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ が正（Kähler形式の定義「正の $(1,1)$ 形式と Kähler 形式」の意味）であれば、それは $\omega$ と同じ類の Kähler 形式である。

$\omega'-\omega$ は実の $(1,1)$ 形式で、仮定により実の $1$ 次形式の外微分なので $d$ 完全である。cor-ddbar-real を当てはめればよい。逆については、$i\partial\bar\partial\varphi=d(i\bar\partial\varphi)$ は $d$ 閉かつ $d$ 完全な実の $(1,1)$ 形式なので、$\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ は $d$ 閉な実の $(1,1)$ 形式で、$\omega$ と同じ類に属する。正であれば Kähler 形式である。$\square$

こうして、Kähler 類を固定したときの Kähler 形式の全体は、関数 $\varphi$（Kähler ポテンシャルの差）の集合 $\{\varphi\mid\omega+i\partial\bar\partial\varphi>0\}$ を定数で割ったものと同一視される。局所的には、閉じた実 $(1,1)$ 形式はつねに $\frac i2\partial\bar\partial\psi$ と書ける（Kähler形式の定理「局所 $\partial\bar\partial$ ポテンシャルの存在」）が、局所ポテンシャルは一般に大域的に貼り合わない。cor-ddbar-real は、貼り合わないことの障害がちょうど de Rham コホモロジー類であることを述べている。

コンパクト Riemann 面の $(1,1)$ 形式

$X$ を連結なコンパクト Riemann 面とする。$X$ の Hermite 計量はすべて Kähler 計量である（Kähler多様体の命題「複素曲線はHermitian計量ごとにKähler」）ので、$X$ はコンパクト Kähler 多様体である。$(1,1)$ 形式 $u$ は最高次の形式なので自動的に $d$ 閉であり、
$$ u\text{ は }\partial\bar\partial\text{ 完全}\iff\int_Xu=0 $$
が成り立つ。実際、Poincaré 双対性（War83 Theorem 6.13、p. 226）により $H^2_{dR}(X)$ は $H^0_{dR}(X)\cong\mathbb C$ の双対で、その対は $[u]\mapsto\int_Xu$ で与えられるから、$u$ が $d$ 完全であることと $\int_Xu=0$ は同値である。あとは thm-ddbar-main による。$u$ が実なら、cor-ddbar-real により $u=i\partial\bar\partial\varphi$ と実数値の $\varphi$ で書ける。局所座標 $z=x+iy$ では $i\partial\bar\partial\varphi=\frac12\bigl(\varphi_{xx}+\varphi_{yy}\bigr)dx\wedge dy$ なので、これは「積分が $0$ の関数 $f$ について方程式 $\Delta\varphi=f$ が解ける」という Poisson 方程式の可解性（Hodgeの定理の系「Poisson 方程式の可解性」）の、Riemann 面での言い換えになっている。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
コンパクト	$\mathbb C$ 上の $u=dz$	$d$ 完全 ⇒ $\partial\bar\partial$ 完全、$\partial$ 完全 ⇒ $\bar\partial$ 完全
Kähler	岩澤多様体の $u=dz_1\wedge dz_2$（ex-ddbar-iwasawa）	$\partial$ 完全 ⇒ $\partial\bar\partial$ 完全
$d$ 閉	楕円曲線上の $u=\bar\partial f$、$f=\cos(2\pi x)$	$\bar\partial$ 完全 ⇒ $\partial\bar\partial$ 完全
局所版での $p,q\ge1$	円板上の $u=dz$	局所的に $\partial\bar\partial$ 完全

1 行目：$\mathbb C$ は標準的な計量で Kähler 多様体だがコンパクトでない。$u=dz$ は $d$ 閉な $(1,0)$ 形式で、$dz=d(z)=\partial(z)$ だから $d$ 完全かつ $\partial$ 完全である。一方 $u\neq0$ なので、型 $(1,0)$ の形式として $\partial\bar\partial$ 完全（$(0,-1)$ 形式は $0$ だけ）でも $\bar\partial$ 完全（$(1,-1)$ 形式は $0$ だけ）でもない。破る含意は thm-ddbar-main の「2 ⇒ 3」「1 ⇒ 4」である。証明で使った部分積分 $\langle\!\langle\partial v,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,\partial^*\eta\rangle\!\rangle$ が、コンパクトな台をもたない $v=z$ には使えないことが原因である。
3 行目：楕円曲線 $E=\mathbb C/(\mathbb Z+i\mathbb Z)$ の上で $f(x+iy)=\cos(2\pi x)$ は周期的な関数である。$\partial\bar\partial f=\frac14(f_{xx}+f_{yy})\,dz\wedge d\bar z=-\pi^2\cos(2\pi x)\,dz\wedge d\bar z\neq0$ なので、$u:=\bar\partial f$ は $\bar\partial$ 完全な $(0,1)$ 形式だが $\partial u=\partial\bar\partial f\neq0$ である。$\partial\bar\partial$ 完全な形式は $d$ 閉なので、$u$ は $\partial\bar\partial$ 完全でない。$d$ 閉の仮定を外すと、補題の結論は意味を失う。
4 行目：局所的な主張は「$d$ 閉な $(p,q)$ 形式は、$p,q\ge1$ なら各点の近傍で $\partial\bar\partial v$ の形に書ける」である（Wel08 Ch. II Lemma 2.15、p. 50。$(1,1)$ 形式の場合は Kähler形式の定理「局所 $\partial\bar\partial$ ポテンシャルの存在」が証明している）。$p=0$ または $q=0$ では、円板上の $dz$ が 1 行目と同じ理由で反例になる。

岩澤多様体

複素 Heisenberg 群
$$ G:=\left\{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}\ \middle|\ x,y,z\in\mathbb C\right\} $$
を $(x,y,z)\in\mathbb C^3$ で座標づけると、積は $(a,b,c)\cdot(x,y,z)=(a+x,\ b+y,\ c+z+ay)$ である。$\Gamma\subset G$ を $x,y,z$ が Gauss 整数環 $\mathbb Z[i]$ に属する元のなす部分群とし、$\Gamma$ を左からの積で作用させた商 $X:=\Gamma\backslash G$ を岩澤多様体という。

$X$ はコンパクトな複素 3 次元多様体である。
$G$ 上の正則 1 形式 $dx$、$dy$、$\theta:=dz-x\,dy$ は左からの積で不変であり、$X$ 上の正則 1 形式を定める。
$u:=dx\wedge dy$ は $X$ 上の $d$ 閉な $(2,0)$ 形式で、$u=-d\theta=\partial(-\theta)$ をみたす。したがって $u$ は $d$ 完全かつ $\partial$ 完全だが、$u\neq0$ なので $\partial\bar\partial$ 完全でない。
とくに $X$ は $\partial\bar\partial$-補題をみたさず、Kähler 計量をもたない。

1 と 2 の要点．$\Gamma$ は離散部分群として $G\cong\mathbb C^3$ に左から自由かつ固有不連続に作用し、$\Gamma$ の平行移動で $G$ の各点を $K^3$（$K$ は複素平面の単位正方形）に移せる。左からの積 $L_{(a,b,c)}$ による引き戻しは $L^*dz=dz+a\,dy$ をみたし、$L^*\theta=\theta$ となる。

1 と 2 の詳しい証明を開く

1：左からの積 $g\mapsto\gamma g$ は双正則写像で、$\gamma g=g$ なら $\gamma$ は単位元なので作用は自由である。離散部分群の左からの作用は固有不連続なので、$X$ は複素多様体で、$G\to X$ は被覆写像である。$K:=\{t\in\mathbb C\mid0\le\operatorname{Re}t\le1,\ 0\le\operatorname{Im}t\le1\}$ とおく。任意の $(x,y,z)\in G$ に対し、$a,b\in\mathbb Z[i]$ を選んで $a+x,\ b+y\in K$ とし、次に $c\in\mathbb Z[i]$ を選んで $c+z+ay\in K$ とすると、$(a,b,c)\cdot(x,y,z)\in K^3$ である。よって $X$ はコンパクト集合 $K^3$ の像であり、コンパクトである。

2：左からの積で座標は $x\mapsto a+x$、$y\mapsto b+y$、$z\mapsto c+z+ay$ と変わるので、引き戻しは $L^*dx=dx$、$L^*dy=dy$、$L^*dz=dz+a\,dy$ であり、$$L^*\theta=dz+a\,dy-(a+x)\,dy=dz-x\,dy=\theta$$ である。$\Gamma$ で不変な形式は被覆 $G\to X$ を通して $X$ 上の形式を定め、正則性は局所的な性質なので保たれる。

3．$d\theta=-dx\wedge dy$ である。$\theta$ は正則なので $\bar\partial\theta=0$、$d\theta=\partial\theta$ である。$u=dx\wedge dy$ は定数係数なので $du=0$ で、型は $(2,0)$ である。$\partial\bar\partial$ 完全な形式は型 $(p,q)$ で $q\ge1$ をもつので、型 $(2,0)$ の $u\neq0$ は $\partial\bar\partial$ 完全でない。
4．3 は def-ddbar-manifold の条件を破る。$X$ が Kähler 計量をもてば thm-ddbar-main により $\partial\bar\partial$-補題をみたすはずなので、Kähler 計量はない。$\square$

岩澤多様体は Dem12 Ch. VI Example (8.10)（p. 312）にあり、そこでは $\theta$ が $d$ 閉でない正則 1 形式であることから Kähler でないことが導かれている（コンパクト Kähler 多様体上の正則形式は $d$ 閉である：Kählerの恒等式の系「コンパクト Kähler 多様体上の正則形式と Kähler 形式の冪」）。上の 3 はその言い換えで、$\partial$ 完全な $d\theta$ を $\partial\bar\partial$ の像に入れられないことが、正則形式 $\theta$ が閉でないことと表裏になっている。
注意を 3 つ挙げる。

Hodge 対称性への応用．thm-ddbar-bott-chern と Bott–Chern コホモロジーの共役を組み合わせると、$\partial\bar\partial$-補題をみたすコンパクト複素多様体では Dolbeault コホモロジーの間に標準的な共役線形同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^{q,p}_{\bar\partial}(X)$ ができる。これは Hodge対称性の記事の主定理である。Hopf 曲面（Hodge分解の例「反例：Hopf 曲面」）は $\dim H^{1,0}_{\bar\partial}(X)=0\neq1=\dim H^{0,1}_{\bar\partial}(X)$ なので、その対偶として $\partial\bar\partial$-補題をみたさない。
$dd^c$ の形．$d^c:=-i(\partial-\bar\partial)$ とおくと $d^c$ は実の作用素で、$dd^c=2i\partial\bar\partial$ である（Wel08 Ch. V (4.1)、p. 192）。この記号で、主定理の 4 は「$u=dd^cv'$」、cor-ddbar-real は「$\alpha=dd^c\varphi'$（$\varphi'$ は実数値）」と書ける。このため $dd^c$-補題とも呼ばれる。$d^c$ の定数倍の規格化は文献によって異なる。
完全性の意味の違い．主定理の 1 の $w$ は型のそろっていない形式でもよく、2・3 の $v$ は型が決まっている。$d$ 閉な形式の各型成分が $d$ 閉とは限らないので、型の混ざった $d$ 閉形式には主定理をそのまま使えない。主定理は型 $(p,q)$ の $d$ 閉形式についての主張である。