部分体

$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ において、$\mathbb{Q}$ は実数体 $\mathbb{R}$ の部分体、$\mathbb{R}$ は複素数体 $\mathbb{C}$ の部分体である。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ と $\mathbb{C}$ の素体であり（後の prop-subfield-prime-field）、真部分体をもたない。$\mathbb{C}$ の部分体としては、ほかに代数的数の全体 $\overline{\mathbb{Q}}$ や、実数の代数的数の全体 $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{R}$ がある（$\overline{\mathbb{Q}}$ が部分体であることは 体の拡大 の記事の系「代数的な元のなす部分体と推移性」、共通部分が部分体であることは後の prop-subfield-intersection による）。

$F=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\subset\mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ の部分体である。prop-subfield-criterion の 2 で確かめる。$1\in F$ であり、差 $(a+b\sqrt2)-(c+d\sqrt2)=(a-c)+(b-d)\sqrt2$ は $F$ に属する。$c+d\sqrt2\neq0$ なら、$\sqrt2$ が無理数であることから $c-d\sqrt2\neq0$ でもあり、
$$ \frac{a+b\sqrt2}{c+d\sqrt2}=\frac{(a+b\sqrt2)(c-d\sqrt2)}{c^2-2d^2}=\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt2\in F $$
である（$c^2-2d^2=(c+d\sqrt2)(c-d\sqrt2)\neq0$）。$F$ は $\mathbb{Q}$ と $\sqrt2$ を含む最小の部分体 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ に等しい（$\mathbb{Q}$ と $\sqrt2$ を含む部分体は $a+b\sqrt2$ を必ず含むから）。体 の記事の例「有理数に $\sqrt2$ を添加した体」も参照。

$p^n$ 個の元からなる有限体 $\mathbb{F}_{p^n}$ の部分体は、$n$ の正の約数 $m$ ごとにただ 1 つずつあり、それは $\{a\mid a^{p^m}=a\}$ で、元の個数は $p^m$ である（有限体 の記事の命題「有限体の部分体」）。たとえば $\mathbb{F}_{16}$ の部分体は $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_4,\mathbb{F}_{16}$ の 3 つであり、$8$ 個の元からなる体 $\mathbb{F}_8$ は $\mathbb{F}_{16}$ の部分体として現れない（$3\nmid4$）。

体 $L$ の自己同型のなす部分群 $G$ に対し、$G$ のすべての元で動かない元の全体 $L^G$ は $L$ の部分体である（固定体。Galois拡大 の記事の定義「固定体」）。たとえば複素共役 $z\mapsto\bar z$ で動かない複素数の全体は $\mathbb{R}$ である。また、標数が素数 $p$ の体 $K$ の元の $p$ 乗全体 $K^p=\{a^p\mid a\in K\}$ は、Frobenius 準同型（Frobenius写像）$a\mapsto a^p$ の像として $K$ の部分体である（完全体 の記事の定義の前の段落）。$K^p=K$ となる体が完全体である。

整数環 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分環であるが、$2\in\mathbb{Z}$ の $\mathbb{Q}$ における逆元 $1/2$ は $\mathbb{Z}$ に属さないので、部分体でない。同様に、体 $k$ 上の多項式環 $k[t]$ は有理関数体 $k(t)$ の部分環だが部分体でない（$t^{-1}\notin k[t]$）。これらの例は「$1$ を含み差と積で閉じる」を満たすが「$0$ でない元の逆元で閉じる」を満たさず、含意「体の部分環は部分体である」を破る。体の部分環はつねに整域である（体に零因子はない）が、体とは限らない。部分環が体になるための十分条件は後の prop-subfield-algebraic-subring で与える。

$F_1=\mathbb{Q}(\sqrt2)$、$F_2=\mathbb{Q}(\sqrt3)$ を $\mathbb{R}$ の部分体とする。和集合 $F_1\cup F_2$ は部分体でない。実際 $\sqrt2,\sqrt3\in F_1\cup F_2$ だが、和 $\sqrt2+\sqrt3$ は $F_1$ にも $F_2$ にも属さない。$\sqrt2+\sqrt3\in F_1$ なら $\sqrt3\in F_1$ となるが、これは 体の拡大 の記事の例「2 つの平方根の添加」で否定されている。$\sqrt2+\sqrt3\in F_2$ なら $\sqrt2=a+b\sqrt3$（$a,b\in\mathbb{Q}$）と書け、2 乗して $2=a^2+3b^2+2ab\sqrt3$、$\sqrt3$ が無理数であることから $ab=0$ かつ $a^2+3b^2=2$ となる。$b=0$ なら $a^2=2$、$a=0$ なら $b^2=2/3$ で、どちらも有理数の解をもたない。
この例は「部分体 2 つの和集合」を満たすが「和で閉じる」を満たさず、含意「部分体の和集合は部分体である」を破る。2 つの部分体を含む最小の部分体は和集合ではなく、それが生成する部分体（合成体）$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ である。部分体が包含について全順序に並ぶなら和集合は部分体である（prop-subfield-intersection の 3）。

$\mathbb{Q}$ の部分集合 $\{0,1\}$ は、演算を $1+1:=0$ と定めれば 2 元体 $\mathbb{F}_2$ と同じ体になる。しかしこの演算は $\mathbb{Q}$ の加法の制限ではなく（$\mathbb{Q}$ では $1+1=2\notin\{0,1\}$）、$\{0,1\}$ は $\mathbb{Q}$ の部分体でない。実際、$\mathbb{Q}$ の部分体はすべて $\mathbb{Q}$ 自身であり（prop-subfield-prime-field）、標数 $2$ の体は $\mathbb{Q}$ の部分体として現れない。この例は「部分集合がある演算で体になる」を満たすが「$K$ の演算を制限したもの」を満たさず、prop-subfield-criterion の 3 で演算の制限を外した含意を破る。

$\mathbb{Q}$ の自己同型は恒等写像だけである（$\mathbb{Q}$ は自身の素体なので、prop-subfield-prime-field の 4 による）。$\mathbb{R}$ の自己同型が恒等写像だけであることは、$\mathbb{Q}$ の固定（同じく 4 による）に、平方による順序の保存と $\mathbb{Q}$ の稠密性を合わせて示される（環準同型 の記事の命題「実数体と複素数体の自己同型」の 1）。
これに対し $\mathbb{C}$ は、$\mathbb{R}$ の元を動かさない恒等でない自己同型（複素共役）をもつ。素体の上の自己同型が恒等写像だけであるかどうかは体によって異なる。