局所化

反射律は $u=1$ に対して $1\cdot(sa-sa)=0$ だから成り立つ。対称律は $u(ta-sb)=0$ ならば $u(sb-ta)=-u(ta-sb)=0$ だから成り立つ。推移律を示す。$(a,s)\sim(b,t)$ かつ $(b,t)\sim(c,r)$ とし、それぞれ $u,v\in S$ で
$$ u(ta-sb)=0,\qquad v(rb-tc)=0 $$
が成り立つとする。$w:=uvt\in S$ とおくと、$A$ の可換性から
$$ w(ra-sc)=vr\cdot(uta)-us\cdot(vtc)=vr\cdot(usb)-us\cdot(vrb)=0 $$
である。ここで 1 つ目の等号は $w=uvt$ を展開して可換性を使い、2 つ目の等号で $uta=usb$ と $vtc=vrb$ を使った。よって $(a,s)\sim(c,r)$ であり、$\sim$ は同値関係である。$u$ と $v$ の積にさらに $t$ を掛けておくことが要点である。
加法が代表元によらないことを示す。$(a,s)\sim(a',s')$、すなわち $u(s'a-sa')=0$ となる $u\in S$ があるとし、$(b,t)$ を固定する。このとき
$$ s't(ta+sb)-st(ta'+s'b)=t^2(s'a-sa')+(s'tsb-sts'b)=t^2(s'a-sa') $$
だから、$u\cdot\bigl(s't(ta+sb)-st(ta'+s'b)\bigr)=t^2u(s'a-sa')=0$ であり、$(ta+sb,st)\sim(ta'+s'b,s't)$ を得る。加法の定義式は $(a,s)$ と $(b,t)$ について対称なので、2 つ目の変数についても同じである。乗法についても
$$ s't\cdot ab-st\cdot a'b=tb(s'a-sa') $$
に $u$ を掛ければ $0$ になるので、$(ab,st)\sim(a'b,s't)$ である。
環の公理は、対応する分数の等式が $A$ における恒等式として（$u=1$ で）成り立つことから従う。たとえば分配律は
$$ \frac{a}{s}\Bigl(\frac{b}{t}+\frac{c}{r}\Bigr)=\frac{a(rb+tc)}{str},\qquad\frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}+\frac{a}{s}\cdot\frac{c}{r}=\frac{srab+stac}{s^2tr} $$
の 2 つの分数について、$s^2tr\cdot a(rb+tc)-str(srab+stac)=0$ が $A$ で成り立つことから従う。結合律・交換律も同様である。$a/s+0/1=(a+0)/s=a/s$、$(a/s)(1/1)=a/s$、$a/s+(-a)/s=0/s^2=0/1$（$1\cdot(1\cdot0-s^2\cdot0)=0$）だから、$0/1$ が零元、$1/1$ が単位元、$(-a)/s$ が $a/s$ の加法逆元である。
最後に $\iota_S(a+b)=(a+b)/1=(1\cdot a+1\cdot b)/(1\cdot1)=a/1+b/1$、$\iota_S(ab)=ab/1=(a/1)(b/1)$、$\iota_S(1)=1/1$ だから $\iota_S$ は環準同型である。

1. $(s/1)(1/s)=s/s$ であり、$1\cdot(1\cdot s-s\cdot1)=0$ だから $s/s=1/1$ である。
2. $a/s=(a/1)(1/s)=\iota(a)\iota(s)^{-1}$ である。
3. $a/1=0/1$ であることは、ある $u\in S$ について $u(1\cdot a-1\cdot0)=ua=0$ となることと同値である。
4. $S^{-1}A=0$ は $1/1=0/1$ と同値であり、3 により、ある $u\in S$ について $u=u\cdot1=0$ となること、すなわち $0\in S$ と同値である。
5. $S$ の元がすべて非零因子なら、3 により $\ker\iota=0$ である。逆に $S$ のある元 $s$ が零因子なら、$sa=0$ となる $a\neq0$ があり、3 により $a\in\ker\iota$ なので $\iota$ は単射でない。

まず上の式で $g$ が定まることを示す。$a/s=b/t$ とすると、ある $u\in S$ について $u(ta-sb)=0$ であり、$f$ を施すと $f(u)\bigl(f(t)f(a)-f(s)f(b)\bigr)=0$ である。$f(u)$ は単元だから $f(t)f(a)=f(s)f(b)$ であり、$B$ の可換性と $f(s),f(t)$ の可逆性から $f(a)f(s)^{-1}=f(b)f(t)^{-1}$ を得る。
$g$ が環準同型であることは
$$ g\Bigl(\frac{a}{s}+\frac{b}{t}\Bigr)=f(ta+sb)f(st)^{-1}=f(a)f(s)^{-1}+f(b)f(t)^{-1},\qquad g\Bigl(\frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}\Bigr)=f(ab)f(st)^{-1}=f(a)f(s)^{-1}f(b)f(t)^{-1} $$
と $g(1/1)=f(1)f(1)^{-1}=1$ から従う。$g(\iota(a))=g(a/1)=f(a)$ だから $g\circ\iota=f$ である。
一意性を示す。$g'\colon S^{-1}A\to B$ が環準同型で $g'\circ\iota=f$ を満たすとする。$s\in S$ に対し $(s/1)(1/s)=1$ だから $g'(s/1)g'(1/s)=1$、すなわち $g'(1/s)=g'(\iota(s))^{-1}=f(s)^{-1}$ である。よって $g'(a/s)=g'(a/1)g'(1/s)=f(a)f(s)^{-1}=g(a/s)$ となり、$g'=g$ である。

1. $a/s,b/t\in S^{-1}I$ と $c/r\in S^{-1}A$ に対し、$a/s+b/t=(ta+sb)/(st)$ と $(c/r)(a/s)=ca/(rs)$ の分子は $I$ に属するので、$S^{-1}I$ は加法と $S^{-1}A$ の元による乗法で閉じている。$0/1\in S^{-1}I$ も明らかである。
2. $s\in I\cap S$ なら $1/1=s/s\in S^{-1}I$ である。逆に $1/1=a/s$（$a\in I$）とすると、ある $u\in S$ について $u(s-a)=0$、すなわち $us=ua$ であり、$us\in S$ かつ $ua\in I$ だから $us\in I\cap S$ である。
3. $a\in\iota^{-1}(J)$ なら $a/1\in J$ であり、$a/s=(1/s)(a/1)\in J$ だから $S^{-1}(\iota^{-1}(J))\subset J$ である。逆に $a/s\in J$ なら $a/1=(s/1)(a/s)\in J$、すなわち $a\in\iota^{-1}(J)$ だから、$a/s\in S^{-1}(\iota^{-1}(J))$ である。

第 1 段：$\mathfrak p$ を $S$ と交わらない素イデアルとすると、$S^{-1}\mathfrak p$ は $S^{-1}A$ の素イデアルで、$\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak p)=\mathfrak p$ である。まず lem-localization-extended-ideal の 1 と 2 により $S^{-1}\mathfrak p$ は真のイデアルである。$(a/s)(b/t)\in S^{-1}\mathfrak p$ とすると、$ab/(st)=p/r$（$p\in\mathfrak p$、$r\in S$）と書け、ある $u\in S$ について $u(rab-stp)=0$、すなわち $urab=ustp\in\mathfrak p$ である。$ur\in S$ は $\mathfrak p$ に属さないので、$\mathfrak p$ が素であることから $ab\in\mathfrak p$、したがって $a\in\mathfrak p$ または $b\in\mathfrak p$、すなわち $a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ または $b/t\in S^{-1}\mathfrak p$ である。よって $S^{-1}\mathfrak p$ は素イデアルである。次に $\mathfrak p\subset\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak p)$ は明らかである。逆に $a/1\in S^{-1}\mathfrak p$ とすると $a/1=p/r$（$p\in\mathfrak p$、$r\in S$）と書け、ある $u\in S$ について $u(ra-p)=0$、すなわち $ura=up\in\mathfrak p$ であり、$ur\notin\mathfrak p$ だから $a\in\mathfrak p$ である。
第 2 段：$\mathfrak P$ を $S^{-1}A$ の素イデアルとすると、$\iota^{-1}(\mathfrak P)$ は $S$ と交わらない $A$ の素イデアルで、$S^{-1}(\iota^{-1}(\mathfrak P))=\mathfrak P$ である。環準同型による素イデアルの逆像は素イデアルである。実際 $\iota^{-1}(\mathfrak P)$ はイデアルであり、$1/1\notin\mathfrak P$ から $1\notin\iota^{-1}(\mathfrak P)$、また $ab\in\iota^{-1}(\mathfrak P)$ なら $(a/1)(b/1)\in\mathfrak P$ だから $a/1\in\mathfrak P$ または $b/1\in\mathfrak P$ である。$s\in S$ が $\iota^{-1}(\mathfrak P)$ に属すると、単元 $s/1$ が $\mathfrak P$ に属して $\mathfrak P=S^{-1}A$ となり矛盾するので、$\iota^{-1}(\mathfrak P)\cap S=\emptyset$ である。最後の等式は lem-localization-extended-ideal の 3 である。
第 1 段と第 2 段により、2 つの対応は互いに逆であり、全単射である。$\mathfrak p\subset\mathfrak p'$ なら定義から $S^{-1}\mathfrak p\subset S^{-1}\mathfrak p'$ であり、$\mathfrak P\subset\mathfrak P'$ なら $\iota^{-1}(\mathfrak P)\subset\iota^{-1}(\mathfrak P')$ だから、どちらの向きも包含関係を保つ。

$S=A\setminus\mathfrak p$ とおく。$\mathfrak p\cap S=\emptyset$ だから、lem-localization-extended-ideal の 2 により $\mathfrak pA_{\mathfrak p}=S^{-1}\mathfrak p$ は真のイデアルである。
まず $a/s\in\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ であることと $a\in\mathfrak p$ が同値であることを示す。$a\in\mathfrak p$ なら定義から $a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ である。逆に $a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ なら $a/1=(s/1)(a/s)\in S^{-1}\mathfrak p$ だから、thm-localization-prime-correspondence の証明の第 1 段で示した $\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak p)=\mathfrak p$ により $a\in\mathfrak p$ である。
次に単元を決定する。$a\notin\mathfrak p$ なら $a\in S$ だから $s/a$ が定義でき、$(a/s)(s/a)=1/1$ である。逆に $a/s$ が単元なら、真のイデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ に属さないので、上で示したことから $a\notin\mathfrak p$ である。よって $A_{\mathfrak p}$ の単元の全体は $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の補集合である。
したがって、$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ に含まれないイデアル $J$ は単元を含むので $J=A_{\mathfrak p}$ である。すなわち $A_{\mathfrak p}$ の真のイデアルはすべて $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ に含まれる。とくに $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は極大イデアルであり、他の極大イデアル $\mathfrak m$ があれば $\mathfrak m\subset\mathfrak pA_{\mathfrak p}\subsetneq A_{\mathfrak p}$ から極大性により $\mathfrak m=\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ となる。よって $A_{\mathfrak p}$ は局所環である。この議論は Zornの補題を使わない。
最後に剰余体を求める。$\pi\colon A\to A_{\mathfrak p}\to\kappa(\mathfrak p)$ を標準写像と商写像の合成とする。$\ker\pi=\iota^{-1}(\mathfrak pA_{\mathfrak p})=\mathfrak p$ だから、$\pi$ は単射な環準同型 $\bar\pi\colon A/\mathfrak p\to\kappa(\mathfrak p)$ を誘導する。$\kappa(\mathfrak p)$ は体だから、$A/\mathfrak p$ の $0$ でない元は $\bar\pi$ により単元に送られ、prop-localization-universal を $S'=(A/\mathfrak p)\setminus\{0\}$ に適用して環準同型 $\Phi\colon\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)\to\kappa(\mathfrak p)$、$\bar a/\bar s\mapsto\pi(a)\pi(s)^{-1}$ を得る。体から零環でない環への環準同型は単射である（核は $1$ を含まないイデアルなので $0$）。また $\kappa(\mathfrak p)$ の任意の元は $a/s\in A_{\mathfrak p}$ の類であり、$s\notin\mathfrak p$ だから $\bar s\neq0$ で、$a/s=(a/1)(s/1)^{-1}$ の類は $\pi(a)\pi(s)^{-1}=\Phi(\bar a/\bar s)$ に等しい。よって $\Phi$ は全射であり、同型である。

$\psi\circ\varphi=0$ だから $S^{-1}\psi\circ S^{-1}\varphi=S^{-1}(\psi\circ\varphi)=0$ であり、$\operatorname{Im}S^{-1}\varphi\subset\ker S^{-1}\psi$ である。逆に $m/s\in\ker S^{-1}\psi$ とすると $\psi(m)/s=0/1$ だから、ある $u\in S$ について $u\psi(m)=0$、すなわち $\psi(um)=0$ である。仮定により $um=\varphi(m')$ となる $m'\in M'$ があり、
$$ \frac{m}{s}=\frac{um}{us}=\frac{\varphi(m')}{us}=S^{-1}\varphi\Bigl(\frac{m'}{us}\Bigr) $$
となる。ここで $m/s=um/(us)$ は $1\cdot(us\cdot m-s\cdot um)=0$ による。よって $\ker S^{-1}\psi\subset\operatorname{Im}S^{-1}\varphi$ である。
短完全列 $0\to M'\to M\to M''\to0$ に適用すれば、$S^{-1}0=0$ だから $0\to S^{-1}M'\to S^{-1}M\to S^{-1}M''\to0$ も短完全列である。単射 $\varphi$ は $0\to M'\to M$ の完全性、全射 $\psi$ は $M\to M''\to0$ の完全性として扱えばよい。

写像 $S^{-1}A\times M\to S^{-1}M$、$(a/s,m)\mapsto am/s$ が定まることを確かめる。$a/s=a'/s'$ とすると、ある $u\in S$ について $u(s'a-sa')=0$ であり、$u(s'\cdot am-s\cdot a'm)=u(s'a-sa')m=0$ だから $am/s=a'm/s'$ である。この写像は各変数について $A$ 線形（双線形写像）なので、テンソル積の普遍性により $A$ 線形写像 $\Phi\colon S^{-1}A\otimes_AM\to S^{-1}M$、$\Phi(a/s\otimes m)=am/s$ が誘導される。$\Phi$ は $S^{-1}A$ 線形でもある。実際 $S^{-1}A\otimes_AM$ の $S^{-1}A$ 加群構造は左因子への掛け算で与えられ、$\Phi((b/t)(a/s\otimes m))=\Phi(ba/(ts)\otimes m)=bam/(ts)=(b/t)\Phi(a/s\otimes m)$ である。
全射性：$m/s=\Phi(1/s\otimes m)$ である。
単射性：まず $S^{-1}A\otimes_AM$ の任意の元 $\xi=\sum_{i=1}^n a_i/s_i\otimes m_i$ が $1/s\otimes m$ の形に書けることを示す。$s:=s_1s_2\cdots s_n\in S$、$t_i:=\prod_{j\neq i}s_j$ とおくと $a_i/s_i=a_it_i/s=(1/s)\cdot(a_it_i/1)$ だから
$$ \xi=\sum_i\frac{1}{s}\cdot\frac{a_it_i}{1}\otimes m_i=\sum_i\frac{1}{s}\otimes a_it_im_i=\frac{1}{s}\otimes m,\qquad m:=\sum_ia_it_im_i $$
である。ここで $(a/1)\otimes m=1\otimes am$ はテンソル積の定義（$A$ の元を左右に移せること）による。さて $\Phi(\xi)=m/s=0$ とすると、ある $u\in S$ について $um=0$ であり、
$$ \xi=\frac{1}{s}\otimes m=\frac{u}{us}\otimes m=\frac{1}{us}\otimes um=0 $$
である。よって $\Phi$ は単射である。
自然性：$A$ 線形写像 $\varphi\colon M\to N$ に対し、$(\mathrm{id}\otimes\varphi)(a/s\otimes m)=a/s\otimes\varphi(m)\mapsto a\varphi(m)/s=S^{-1}\varphi(am/s)$ だから、$\Phi_N\circ(\mathrm{id}\otimes\varphi)=S^{-1}\varphi\circ\Phi_M$ である。

$\varphi\colon M'\to M$ を単射な $A$ 線形写像とする。prop-localization-tensor の自然性により、$\mathrm{id}\otimes\varphi\colon S^{-1}A\otimes_AM'\to S^{-1}A\otimes_AM$ は同型 $\Phi_{M'},\Phi_M$ を通して $S^{-1}\varphi\colon S^{-1}M'\to S^{-1}M$ と同一視され、後者は prop-localization-exact により単射である。よって $\mathrm{id}\otimes\varphi$ は単射であり、$S^{-1}A$ は平坦である。

1 ならば 2 は明らかであり、極大イデアルは素イデアルなので 2 ならば 3 も明らかである。3 ならば 1 を示す。$M\neq0$ と仮定し、$x\in M$、$x\neq0$ をとる。$x$ の零化イデアル $\operatorname{Ann}(x):=\{a\in A\mid ax=0\}$ は $A$ のイデアルであり、$1\cdot x=x\neq0$ だから真のイデアルである。真のイデアルはある極大イデアル $\mathfrak m$ に含まれる（可換環の記事。この存在は Zorn の補題を用いる。AM69 Corollary 1.4）。仮定 3 により $M_{\mathfrak m}=0$ だから $x/1=0/1$ であり、ある $u\in A\setminus\mathfrak m$ について $ux=0$ である。すると $u\in\operatorname{Ann}(x)\subset\mathfrak m$ となり、$u\notin\mathfrak m$ に矛盾する。よって $M=0$ である。