エピグラフ

1 は、上に閉じた $\mathbb{R}$ の閉集合が空集合・$\mathbb{R}$・$[a,+\infty)$ のどれかであることによる。2 はファイバーの包含と下限の大小の言いかえである。

どれも各点 $x$ での不等式の言いかえである。

1 は 半連続 の命題「開集合・閉集合による特徴づけ」の 2 を、2 は凸不等式を狭義エピグラフの点の凸結合で読みかえる。

1 の $\supset$：$\bar\varphi(x)\le\lambda$ とし、$(x,\lambda)$ の近傍 $W$ をとる。積位相の定義から、$x$ の近傍 $U$ と $\varepsilon>0$ で $U\times(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\subset W$ となるものがある。$\inf_U\varphi\le\bar\varphi(x)\le\lambda< \lambda+\varepsilon$ なので、$\varphi(y)< \lambda+\varepsilon$ となる $y\in U$ がある。$\mu:=\max\{\varphi(y),\lambda-\varepsilon/2\}$ とおく（$\varphi(y)=-\infty$ なら $\mu=\lambda-\varepsilon/2$）。$\mu$ は実数で $\lambda-\varepsilon< \mu< \lambda+\varepsilon$、$\varphi(y)\le\mu$ なので、$(y,\mu)\in\operatorname{epi}\varphi\cap W$ である。$W$ は任意なので $(x,\lambda)$ は $\operatorname{epi}\varphi$ の閉包に入る。
1 の $\subset$：$(x,\lambda)$ が $\operatorname{epi}\varphi$ の閉包に入るとし、$U\in\mathcal{N}(x)$、$\varepsilon>0$ をとる。$U\times(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)$ は $(x,\lambda)$ の近傍なので、$\varphi(y)\le\mu< \lambda+\varepsilon$ となる $(y,\mu)$（$y\in U$）がある。よって $\inf_U\varphi< \lambda+\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $\inf_U\varphi\le\lambda$ である。$U$ について上限をとって $\bar\varphi(x)\le\lambda$ を得る。
2：1 により $\operatorname{epi}\bar\varphi$ は閉集合なので、半連続 の命題「エピグラフとハイポグラフの閉性」により $\bar\varphi$ は下半連続である。$\bar\varphi\le\varphi$ は定義の直後に見た。$\psi$ が下半連続で $\psi\le\varphi$ なら、prop-epi-which-sets の 2 により $\operatorname{epi}\varphi\subset\operatorname{epi}\psi$ であり、右辺は閉なので $\operatorname{epi}\bar\varphi=\overline{\operatorname{epi}\varphi}\subset\operatorname{epi}\psi$ である。再び prop-epi-which-sets の 2 により $\psi\le\bar\varphi$ である。$\square$

1：$(x,\lambda)\in C$ は、有限個の $(x_i,\lambda_i)\in\operatorname{epi}\varphi$ と $t_i>0$、$\sum t_i=1$ によって $x=\sum t_ix_i$、$\lambda=\sum t_i\lambda_i$ と書けることである。このとき $x_i\in D(\varphi)$ で $\lambda_i\ge\varphi(x_i)$ なので $\lambda\ge\sum t_i\varphi(x_i)$ であり、逆に $\lambda_i=\varphi(x_i)$ ととれば $(x,\sum t_i\varphi(x_i))\in C$ である。よって $\operatorname{co}\varphi(x)$ は右辺の下限に等しい。$a$ はアフィンなので $\sum t_i\varphi(x_i)\ge\sum t_ia(x_i)=a(x)$ であり、$\operatorname{co}\varphi\ge a>-\infty$ である。$m=1$、$x_1=x$ とおけば $\operatorname{co}\varphi\le\varphi$ である。
$C$ は上に閉じている（$\lambda_i$ を一斉に増やせばよい）。$\operatorname{co}\varphi(x)< \lambda$ なら $(x,\lambda')\in C$ となる $\lambda'< \lambda$ があり、上に閉じていることから $(x,\lambda)\in C$ である。また定義から $C\subset\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)$ である。凸性：$x,y\in D(\operatorname{co}\varphi)$、$0< t< 1$、$\varepsilon>0$ とすると、$(x,\operatorname{co}\varphi(x)+\varepsilon)$ と $(y,\operatorname{co}\varphi(y)+\varepsilon)$ は $\operatorname{epi}_s(\operatorname{co}\varphi)\subset C$ に入る。$C$ は凸なので凸結合も $C\subset\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)$ に入り、$\operatorname{co}\varphi((1-t)x+ty)\le(1-t)\operatorname{co}\varphi(x)+t\operatorname{co}\varphi(y)+\varepsilon$ である。$\varepsilon\downarrow0$ とすればよい（一方が $+\infty$ なら自明）。最大性：$g\colon E\to(-\infty,+\infty]$ が凸で $g\le\varphi$ なら、$\operatorname{epi}\varphi\subset\operatorname{epi}g$ で右辺は凸集合なので $C\subset\operatorname{epi}g$ である。$(x,\lambda)\in C$ なら $g(x)\le\lambda$ なので、$\lambda$ について下限をとって $g\le\operatorname{co}\varphi$ である。
2：$\psi$ を $\operatorname{co}\varphi$ の下半連続包とする。$C\subset\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)$ から $\overline{C}\subset\overline{\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)}$ である。逆に $(x,\lambda)\in\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)$ は $(x,\lambda+\frac1n)\in\operatorname{epi}_s(\operatorname{co}\varphi)\subset C$ の極限なので、$\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)\subset\overline{C}$ であり、$\overline{\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)}\subset\overline{C}$ である。よって thm-epi-closure の 1 から $\overline{C}=\overline{\operatorname{epi}(\operatorname{co}\varphi)}=\operatorname{epi}\psi$ である。$a$ は連続なので下半連続で $a\le\operatorname{co}\varphi$ だから、thm-epi-closure の 2 から $a\le\psi\le\operatorname{co}\varphi\le\varphi$ であり、$\psi$ は $-\infty$ をとらない真の関数である。凸集合の閉包は凸なので（$x_n\to x$、$y_n\to y$ なら $(1-t)x_n+ty_n\to(1-t)x+ty$）$\operatorname{epi}\psi$ は凸であり、$\psi$ は凸である。$\psi$ は下半連続である。$g$ が凸で下半連続で $g\le\varphi$ なら、1 により $g\le\operatorname{co}\varphi$ であり、thm-epi-closure の 2 により $g\le\psi$ である。
3：$\varphi$ は真で連続アフィン下界をもつので $\varphi^*$ は真であり、Fenchel–Moreauの定理 の系「下半連続凸包としての二重共役」により、$\varphi^{**}$ は $\varphi$ 以下の凸で下半連続な関数のうち最大のものである。2 の $\psi$ も同じ性質をもつので、互いに他以下であり $\psi=\varphi^{**}$ である。$\square$

$\varphi^*(f)\le c$ は「すべての $x\in E$ で $\langle f,x\rangle-\varphi(x)\le c$」と同じであり、これは $\langle f,x\rangle-c\le\varphi(x)$（$x\in E$）と書き直せる（$\varphi(x)=+\infty$ の点では両辺とも自明に成り立つ）。$\square$